ピタゴラスの定理

ある並べ替え証明では、辺の長さが${\displaystyle a+b}$そして、辺の長さがa、b、cで​​斜辺がcである 4 つの直角三角形が含まれています。右側の正方形では、三角形の角が三角形の直角の角に対応するように三角形が配置され、中央に辺の長さがcの正方形が形成されます。各外側の正方形の面積は( a + b ) ²と2 ab + c ²であり、2 abは4 つの三角形の合計面積を表します。左側の大きな正方形内では、4 つの三角形が移動され、辺の長さがaとbの 2 つの相似な長方形が形成されます。これらの長方形は新しい位置で、2 つの新しい正方形を区切ります。1 つは辺の長さがaの正方形が左下隅に形成され、もう 1 つは辺の長さがbの正方形が右上隅に形成されます。この新しい位置では、この左側には、面積が( a + b ) ²と2 ab + a ² + b ²の正方形があります。両方の正方形の面積が( a + b ) ²であることから、もう一方の正方形の面積も互いに等しくなり、2 ab + c ² = 2 ab + a ² + b ²となります。 4 つの三角形の面積を等式の両辺から取り除くと、残るのはa ² + b ² = c ²です。^{[ 27 ]}

別の証明では、2 番目のボックス内の長方形も、正方形の連続する角に対応する角を 1 つ持つように配置できます。このようにして、今度は連続する角に 2 つのボックスが形成され、面積はa ²とb ²となり、再び面積が2 ab + a ² + b ²の 2 番目の正方形につながります。

イギリスの数学者サー・トーマス・ヒースは、ユークリッドの 『原論』第1.47命題の注釈でこの証明を示し、ドイツの数学者カール・アントン・ブレッチュナイダーとヘルマン・ハンケルがピタゴラスはこの証明を知っていた可能性があると提案したことに言及している。ヒース自身はピタゴラスの証明として別の提案を支持しているが、議論の冒頭で「ピタゴラス以降最初の5世紀に属する現存するギリシャ文学には、この証明やその他の特定の偉大な幾何学的発見を彼に帰属させる記述はない」と認めている。^{[ 28 ]}近年の研究では、ピタゴラスが数学の創始者として何らかの役割を果たしたという見方にますます疑問が投げかけられているが、これに関する議論は続いている。^{[ 29 ]}

この定理は、図の下部に示すように、一辺cの正方形の周りに対称的に配置された同じ三角形の 4 つのコピーを使用して代数的に証明できます。 ^{[ 30 ]}これにより、一辺がa + bで面積が( a + b ) ²のより大きな正方形が得られます。4 つの三角形と正方形の一辺c は、より大きな正方形と同じ面積を持つ必要があります。 $${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$$ 贈る $${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$$

同様の証明では、図の上半分のように、辺の長さがa、b、cの直角三角形を 4 つ、辺の長さがcの正方形の中に配置します。 ^{[ 31 ]}これらの三角形は相似で、面積は1/2 abです。一方、小さな正方形の辺の長さはb − aで、面積は( b − a ) ²です。したがって、大きな正方形の面積は次のように なります。$${\displaystyle (ba)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(ba)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$$

しかしこれは一辺がcで面積がc ^{2 の}正方形なので、 $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$$

この証明は、3つの相似な三角形の辺の比例関係、すなわち、相似な三角形の対応する2辺の比は、三角形の大きさに関係なく同じであるという事実に基づいています。

図に示すように、ABC を直角三角形とし、直角はCにあるとします。点Cから垂線を引き、辺ABとの交点をHとします。点H は斜辺cの長さをdとeに分割します。新しい三角形ACH は、三角形ABCと相似です。なぜなら、どちらも直角を持ち (垂線の定義による)、点Aで同じ角度を持つため、3 番目の角度も両方の三角形で同じになり、図ではθと示されているからです。同様の推論により、三角形CBHもABCと相似です。三角形の相似の証明には、三角形の公準が必要です。三角形の内角の和は 2 つの直角であり、平行線公準と同等です。三角形の相似は、対応する辺の比が等しいことにつながります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {BC}{AB}}&={\frac {BH}{BC}}\\{\frac {AC}{AB}}&={\frac {AH}{AC}}.\end{aligned}}}$$

最初の結果は角度θの余弦を等しくし、2番目の結果はそれらの正弦を等しくします。

これらの比率は次のように表すことができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}BC^{2}&=AB\times BH,\\AC^{2}&=AB\times AH.\end{aligned}}}$$ これら2つの等式を足し合わせると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}BC^{2}+AC^{2}&=AB\times BH+AB\times AH\\&=AB(AH+BH),\end{aligned}}}$$ これは簡略化すると、ピタゴラスの定理を示す。 $$BC² + AC² = AB²。$$

この証明が歴史の中でどのような役割を果たしたのかについては、多くの憶測がなされている。根本的な疑問は、なぜユークリッドはこの証明を用いず、別の証明を考案したのかということである。一つの推測は、相似三角形による証明は比例の理論に関わるものであり、比例の理論は『原論』の後半で初めて議論されるテーマであり、当時、比例の理論はさらなる発展を必要としていたというものである。^{[ 33 ]}

アルバート・アインシュタインに帰せられることもある分割による証明^{[ 34 ]}では、ピースを動かす必要はありません。分割とは、三角形の直角の頂点から斜辺に垂線を下ろし、三角形全体を2つの部分に分割することです。これらの2つの部分は元の直角三角形と同じ形をしており、元の三角形の2辺を斜辺としており、それらの面積の合計は元の三角形の面積の合計です。直角三角形の面積と斜辺の2乗の比は相似な三角形で同じであるため、3つの三角形の面積の関係は、大きな三角形の辺の2乗にも当てはまります。言い換えれば、元の三角形の面積は2つの小さな三角形の面積の合計であり、三角形の拡大縮小は面積を拡大縮小係数の2乗で変化させるため、元の斜辺の2乗は短い斜辺の2乗の合計になります。^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

概説すると、ユークリッドの『原論』 （第1巻命題47）における証明は次のように進みます。大きな正方形は左右の長方形に分割されます。まず、左側の長方形の面積の半分の面積を持つ三角形が作図されます。次に、左端の正方形の面積の半分の面積を持つ別の三角形が作図されます。これら2つの三角形が合同であることが示され、この正方形の面積が左側の長方形と同じであることが証明されます。この議論に続いて、右側の長方形と残りの正方形についても同様の議論が行われます。2つの長方形を合わせて斜辺上に正方形を再構成すると、その面積は他の2つの正方形の面積の合計と同じになります。詳細は後述します。

A、B、Cを直角三角形の頂点とし、 Aを直角とする。Aから斜辺の対辺に垂線を下ろし、斜辺上の正方形を作る。この垂線は斜辺上の正方形を2つの長方形に分割し、それぞれの長方形の面積は、2辺上の2つの正方形の面積と同じになる。

正式な証明には、4つの基本的な補題が必要です。

1. 2 つの三角形において、一方の三角形の 2 辺が他方の三角形の 2 辺と等しく、かつそれらの辺によって囲まれた角が等しい場合、それらの三角形は合同です (辺-角-辺)。
2. 三角形の面積は、同じ底辺を持ち、同じ高さを持つ平行四辺形の面積の半分である。
3. 長方形の面積は、隣り合う2辺の長さの積に等しい。
4. 正方形の面積は、その2辺の積に等しい（3より導かれる）。

次に、各上部の正方形は、下部の正方形を構成する 2 つの長方形のいずれかに関連付けられた別の三角形と合同な三角形に関連付けられています。^{[ 37 ]}

証明は以下のとおりです。

1. ACB を直角CABを持つ直角三角形とする。
2. 辺BC、AB、CAのそれぞれに、 CBDE、BAGF、ACIH の順に正方形が描かれる。正方形の作図には、ユークリッドの直前の定理が必要であり、平行線公準に依存する。^{[ 38 ]}
3. 点Aから、 BDとCEに平行な線を引きます。この線はBCとDEとそれぞれ点KとLで垂直に交わります。
4. CFとADを結んで、三角形BCFと三角形BDAを作ります。
5. 角CABと角BAGはどちらも直角なので、 C、A、Gは同一直線上にある。
6. 角CBDと角FBAはどちらも直角です。したがって、角ABDは角FBCに等しくなります。なぜなら、どちらも直角と角ABCの和だからです。
7. ABはFBと等しく、BDはBCと等しく、角ABDは角FBCと等しいので、三角形ABDは三角形FBCと合同でなければならない。
8. A - K - Lは直線であり、BDに平行であるため、長方形BDLK は三角形ABDの 2 倍の面積を持ちます。これは、両者が底辺BDを共有し、高さBK (共通の底辺に垂直で、平行線BDとALを結ぶ線) が同じであるためです。(補題 2)
9. CはAおよびGと同一線上にあり、この線はFBに平行であるため、正方形BAGFの面積は三角形FBCの面積の2倍でなければならない。
10. したがって、長方形BDLK は正方形BAGF = AB ²と同じ面積を持たなければなりません。
11. ステップ3から10を図の反対側に適用することで、長方形CKLEの面積が正方形ACIH = AC ²と同じであることが同様に示されます。
12. これら2つの結果を足し合わせると、AB ² + AC ² = BD × BK + KL × KC となる。
13. BD = KLなので、BD × BK + KL × KC = BD ( BK + KC ) = BD × BC
14. したがって、CBDEは正方形であるため( BD × BC = BC ² ) 、 AB ² + AC ² = BC ²となります。

この証明は、ユークリッドの『原論』 第1巻命題47として掲載されており 、斜辺上の正方形の面積が他の2つの正方形の面積の合計であることを示している。^{[ 39 ] [ 40 ]} これは、ピタゴラスが用いたと推測される三角形の相似による証明とは全く異なる。^{[ 41 ] [ b ]}

並べ替えによる別の例は、中央のアニメーションで示されています。小さな中央の正方形の周りに、辺の長さがa、b、cの4 つの同一の直角三角形を配置して、面積c ²の大きな正方形を形成します。次に、三角形を移動して、辺の長さがaとbの 2 つの長方形を形成します。これらの長方形と小さな正方形を組み合わせると、面積がa ²とb ²の 2 つの正方形が生成され、これらは最初の大きな正方形と同じ面積を持つ必要があります。^{[ 42 ]}

3 番目、右端の画像も証明を示しています。上側の 2 つの正方形は、青と緑の陰影で示されているように分割され、それらを並べ替えると斜辺上の下側の正方形に収まるようにすることができます。あるいは逆に、大きな正方形は、他の 2 つの正方形を埋めるように分割することができます。このように、ある図形を分割して並べ替えることで別の図形を得る方法を分割といいます。これは、大きな正方形の面積が 2 つの小さな正方形の面積に等しいことを示しています。^{[ 43 ]}

添付のアニメーションで示されているように、面積保存せん断マッピングと平行移動により、直角に隣接する辺の正方形を斜辺の正方形に変換し、それらを合わせて正確に覆うことができます。^{[ 44 ]}各せん断では底辺と高さは変更されないため、面積も変更されません。平行移動も形状をまったく変更しないため、面積は変更されません。各正方形は最初に平行四辺形にせん断され、次に斜辺の正方形の1つのセクションに平行移動できる長方形になります。

ジェームズ・A・ガーフィールド米国大統領による関連する証明は、彼が大統領に選出される前に、米国下院議員であったときに発表された。^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]}正方形の代わりに台形を使用しており、これは上記の証明の2番目の正方形の内側の対角線に沿って二等分することで、図に示すような台形を構成できる。台形の面積は正方形の面積の半分、つまり $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$$

内側の正方形も同様に半分に分割され、三角形は2つしかないので、証明は係数を除いて上記と同じように進む。$\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$⁠ は、2 倍することで除去され、結果が得られます。

辺の変化が斜辺の変化をもたらすことを研究し、微積分を用いることで、ピタゴラスの定理にたどり着くことができる。^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}

図の上部に示すように、三角形ABCは直角三角形であり、 BCは斜辺です。同時に、図の下部に示すように、三角形の各辺の長さは、斜辺の長さがy、辺ACの長さがx、辺ABの長さがaとなっています。

辺AC をDまでわずかに延長してx をdxだけ増やすと、yもdyだけ増加します。これらは三角形CDEの 2 辺を形成し、( Eを斜辺CEに垂直になるように選ぶと) これはABCとほぼ相似な直角三角形になります。したがって、辺の比は同じでなければなりません。つまり、次のようになります。 $$\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$$これはy dy = x dx と書き換えることができ、これは直接積分によって解くことができる 微分方程式です。$${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx,}$$ 贈る $${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$$ 定数はx = 0、y = aから導き出すことができ、次の式が得られる。 $${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$$これは形式的な証明というよりは直感的な証明です。dxとdyの 代わりに適切な極限を使用すれば、より厳密な証明にすることができます。

ピタゴラス数とは、^a² + b² = c²^を満たす³つの正の整数a、b、cのことです。言い換えれば、ピタゴラス数とは、3 辺すべてが整数である直角三角形の辺の長さを表します。^{[ 2 ]}このような数列は、一般的に( a、b、c )と表記されます。よく知られている例としては、(3、4、5)や(5、12、13)などがあります。

原始ピタゴラス数とは、 a、b、cが互いに素である数（a、b、cの最大公約数が1である数）のことである。

以下は、値が100未満の原始ピタゴラス数のリストです。

ピタゴラス数を生成する公式は数多くあります。その中でも、ユークリッドの公式が最もよく知られています。任意の正の整数mとnが与えられたとき、この公式は、整数が 1 個であることを示しています。 $${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$ ピタゴラス数を形成する。

辺の長さが与えられた直角三角形${\displaystyle a,b,c}$そして高さd (直角から斜辺cに垂直な線) である。ピタゴラスの定理は、 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$$逆ピタゴラスの定理 は、2つの脚a 、b^を高さdに関連付ける[ ^{57 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$$ この方程式は次のように変換できます。 $${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}$$ ここで^、x² + y² = ^z²は^、ゼロでない任意の実数x、y、zに対して成り立つ。a 、b、dが整数である場合、最小の解a > b > dは次のようになる。 $${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$$ 最小のピタゴラス数3、4、5を使用します。逆ピタゴラスの定理は光学方程式の特殊な場合です。$$\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$$ 分母が平方数である場合、および辺p、q、rが平方数である七角形三角形の場合。

ピタゴラスの定理の帰結の一つとして、長さが互いに不等な線分（つまり、その比が有理数ではない線分）を定規とコンパスを用いて作図できるという点があります。ピタゴラスの定理は、三角形の斜辺と辺が平方根演算によって関係づけられるため、長さが互いに不等な線分を作図できるという原理に基づいています。

右の図は、長さが任意の正の整数の平方根の比となる線分を構成する方法を示しています。^{[ 58 ]}各三角形には、測定単位として選択された辺（「1」とラベル付けされています）があります。各直角三角形では、ピタゴラスの定理によって、この単位を用いて斜辺の長さが決定されます。斜辺が、完全平方数ではない正の整数の平方根によって単位と関連付けられている場合、それは単位と通約不可能な長さの実現となります。例えば、$\displaystyle {\sqrt {2}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\sqrt {3}}}$⁠、 ⁠$\displaystyle {\sqrt {5}}}$詳細については、二次無理数を参照してください。

比較不可能な長さは、ピタゴラス学派の数の概念、すなわち整数のみの概念と矛盾していた。ピタゴラス学派は、共通の小単位の整数倍を比較することによって比例を扱っていた。^{[ 59 ]}ある伝説によれば、メタポントゥムのヒッパソス（紀元前470 年頃）は、無理数または比較不可能な数の存在を知らせたために海で溺死したという。^{[ 60 ]}クルト・フォン・フリッツは、ヒッパソスの貢献について綿密な議論を書いた。^{[ 61 ]}

任意の複素数に対して$${\displaystyle z=x+iy,}$$ 絶対値またはモジュラスは次のように表されます。 $${\displaystyle r=|z|={\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.}$$ したがって、3つの量r、x、yはピタゴラスの定理によって関係付けられます。 $${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$$rは正の数またはゼロとして定義されますが、xとyは正の値だけでなく負の値も取り得ること に注意してください。幾何学的には、 rは複素平面上のzから原点Oまでの距離です。

_{これは、例えば2点}z1とz2間の距離を求めるために一般化できます。必要な距離は次のように与えられます _。$${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$$ つまり、これらはピタゴラスの定理の一種によって関連付けられている。 $${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$$

デカルト座標における距離の公式はピタゴラスの定理から導き出されます。^{[ 62 ]} ( x1 _, y1 )と( x2 , _{y2 )}が平面上の点である場合、それらの間の距離（ユークリッド距離とも呼ばれる）は次のように与えられます_。

$${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$$

より一般的には、ユークリッドn次元空間では、2 点間のユークリッド距離は、${\displaystyle A=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})}$そして${\displaystyle B=(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})}$は、ピタゴラスの定理の一般化によって、次のように定義される。

$${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$$

ユークリッド距離の代わりにこの値の二乗（二乗ユークリッド距離、またはSED）を使用すると、結果として得られる方程式は平方根を回避し、座標のSEDの単純な合計になります。

$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$$

二乗形式は、両方の点の滑らかな凸関数であり、最適化理論や統計学で広く使用されており、最小二乗法の基礎を形成しています。

デカルト座標が使用されない場合、例えば2次元で極座標が使用される場合、あるいはより一般的には曲線座標が使用される場合、ユークリッド距離を表す式はピタゴラスの定理よりも複雑になりますが、そこから導出できます。2点間の直線距離を曲線座標に変換する典型的な例は、物理学におけるルジャンドル多項式の応用に見られます。曲線座標とデカルト座標の関係式にピタゴラスの定理を用いることで、これらの式を導き出すことができます。例えば、極座標( r , θ )は次のように表すことができます。

$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

すると、位置が( r ₁ , θ ₁ )と( r ₂ , θ ₂ )である 2 つの点が距離sだけ離れていることになります。

$${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$$ 二乗計算を行い、項を組み合わせると、デカルト座標における距離のピタゴラスの定理は、極座標における分離を次のように表します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \left(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$$三角関数の積和公式 を使用します。この公式は余弦定理であり、一般化されたピタゴラスの定理と呼ばれることもあります。^{[ 63 ]}この結果から、2 つの場所への半径が直角である場合、囲まれた角Δθ = π /2 となり、ピタゴラスの定理に対応する形式が再び得られます。${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$直角三角形に有効なピタゴラスの定理は、任意の三角形に有効なより一般的な余弦定理の特殊な場合である。

辺の長さがa、b、斜辺がcである直角三角形において、三角法は辺aと斜辺 の間の角度θの正弦と余弦を次のように求めます。$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$$

そこから次のことが導かれる。 $${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$$ 最後のステップではピタゴラスの定理を適用します。正弦と余弦の間のこの関係は、基本的なピタゴラスの三角恒等式と呼ばれることもあります。^{[ 64 ]}相似な三角形では、辺の比は三角形の大きさに関係なく同じで、角度に依存します。したがって、図では、斜辺が単位サイズの三角形の対辺は、斜辺を単位として、 sin θの大きさ、 cos θの大きさの隣辺を持ちます。

ピタゴラスの定理は、外積と内積を同様の方法で関連付けます。^{[ 65 ]}$${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$$

これは、クロス積とドット積の定義からわかるように、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\,\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{aligned}}}$$ ここで、nはaとbの両方に垂直な単位ベクトルである。この関係は、これらの定義とピタゴラスの三角関数の恒等式から導かれる。

これは、外積を定義するためにも使用できます。式を整理すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$$

これは、例えば7次元の場合、外積の条件、つまり定義の一部と考えることができる。^{[ 66 ] [ 67 ]}

ユークリッド幾何学の最初の4つの公理が真であると仮定すると、ピタゴラスの定理は5番目の公理と等価である。つまり、ユークリッドの第5公準はピタゴラスの定理を導き、その逆もまた然りである。

ピタゴラスの定理は、3辺が正方形の面積だけでなく、あらゆる類似図形にも一般化できる。これは紀元前5世紀のキオス島のヒポクラテスによって知られており^{[ 68 ]} 、ユークリッドは『原論』にこれを盛り込んだ[ ^{69 ] 。}

直角三角形の各辺に、対応する辺を持つ相似な図形（ユークリッド幾何学を参照）を立てると、2つの短い辺に立てた図形の面積の合計は、長い辺に立てた図形の面積に等しくなります。

この拡張では、元の三角形の辺が 3 つの合同な図形の対応する辺であると仮定しています (したがって、相似な図形間の辺の共通比はa : b : cです)。^{[ 70 ]}ユークリッドの証明は凸多角形にのみ適用されましたが、この定理は凹多角形や曲線境界を持つ相似な図形にも適用されます (ただし、図形の境界の一部は元の三角形の辺になります)。^{[ 70 ]}

この一般化の基本的な考え方は、平面図形の面積は任意の線形寸法の二乗に比例し、特に任意の辺の長さの二乗に比例するというものです。したがって、面積がA、B、Cの相似な図形を、それぞれ長さがa、b、cの辺上に立てると、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\\&\quad \implies A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C.\end{aligned}}}$$

しかし、ピタゴラスの定理によれば、a ² + b ² = c ²なので、A + B = Cとなります。

逆に、ピタゴラスの定理を用いずに3つの相似な図形についてA + B = Cを証明できれば、そこから逆算して定理の証明を構築できます。例えば、中心の三角形を複製して斜辺上に三角形Cを作り、残りの2辺上に中心の三角形を高さで割った相似な直角三角形（AとB ）を構築します。したがって、2つの小さな三角形の面積の合計は3つ目の三角形の面積と同じになり、A + B = Cとなります。そして、上記の論理を逆にすると、ピタゴラスの定理 a² + b² = c²^が得られます。（§分割^と拡大縮小による証明も参照） 

ピタゴラスの定理は、任意の三角形の辺の長さの関係を表すより一般的な定理である余弦定理の特殊な場合であり、次のように述べられています。 $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}}$$ どこ${\displaystyle \theta }$辺と辺の間の角度${\displaystyle a}$そして​${\displaystyle b}$⁠ . ^{[ 71 ]}

いつ${\displaystyle \theta }$は${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$ラジアンまたは90°、次に⁠$\displaystyle \cos {\theta }=0}$そして、この式は通常のピタゴラスの定理に帰着する。

辺a、b、cを持つ一般的な三角形の任意の選択された角度に、底辺 θ の等しい角度が選択された角度と同じになるように二等辺三角形を内接させます。選択された角度θ がラベルcの辺の対角にあるとします。二等辺三角形を内接させると、辺bの対角に角度θを持ち、辺rがcに沿った三角形CADが形成されます。図に示すように、辺aの対角に角度θを持ち、長さsの辺がcに沿った2 番目の三角形が形成されます。Thābit ibn Qurra は、 3 つの三角形の辺の関係は次のように述べました。^{[ 73 ] [ 74 ]}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s).}$$ 角度θがπ /2に近づくにつれて、二等辺三角形の底辺は狭くなり、長さrとsの重なりはますます小さくなります。θ = π /2のとき、ADBは直角三角形となり、r + s = cとなり、元のピタゴラスの定理が再び成り立ちます。

ある証明では、三角形ABC は三角形CADと同じ角度を持つが、順序が逆であることに注目します。（2 つの三角形は頂点Aの角度を共有し、どちらも角度θを含み、したがって三角形の公準により第 3 の角度も同じです。）したがって、ABCはCADの鏡像、つまり下図の三角形DACと相似です。θの対辺と隣辺の比を取ると、 $${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}.}$$ 同様に、もう一方の三角形の反射についても、 $${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}.}$$分数を消去し、次の2つの関係式を加算します。 $${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2},}$$ 求められる結果。

角度θが鈍角で、長さrとsが重ならない場合、この定理は依然として有効である。

パップスの面積定理は、直角三角形ではない三角形にも適用できる、さらに一般化した定理です。正方形の代わりに3辺に平行四辺形を使用します（もちろん、正方形は特殊なケースです）。上の図は、不等辺三角形の場合、最も長い辺の平行四辺形の面積は、他の2辺の平行四辺形の面積の合計であることを示しています。ただし、最も長い辺の平行四辺形は、図のように構成されている必要があります（矢印で示された寸法は同じで、下の平行四辺形の辺を決定します）。この正方形を平行四辺形に置き換える方法は、元のピタゴラスの定理と明らかに似ており、紀元4年にアレクサンドリアのパップス によって一般化とみなされました。^{[ 75 ] [ 76 ]}

下の図は証明の要素を示しています。図の左側に注目してください。左側の緑色の平行四辺形は、底辺bと高さhが同じであるため、下の平行四辺形の左側の青色の部分と同じ面積を持ちます。しかし、左側の緑色の平行四辺形は、底辺 (三角形の左上辺) と、その辺に垂直な高さが同じであるため、上の図の左側の緑色の平行四辺形と同じ面積を持ちます。図の右側についても同様の議論を繰り返すと、下の平行四辺形の面積は、2 つの緑色の平行四辺形の面積の合計と同じになります。

プトレマイオスの定理は、四角形が円に内接できる場合（つまり、円に内接する四角形の場合）、対辺の長さの積と対辺の長さの積の合計が対角線の長さの積に等しいことを述べています。四角形が長方形の場合、これはピタゴラスの定理に帰着します。^{[ 77 ]}プトレマイオスの定理は余弦定理を証明するためにも使用できます。^{[ 78 ]}

立体幾何学の観点から見ると、ピタゴラスの定理は次のように3次元に適用できます。図に示す直方体を考えてみましょう。面の対角線ACの長さは、ピタゴラスの定理から次のように求められます。 $${\displaystyle {\overline {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2},}$$

これらの3辺は直角三角形を形成します。対角線ACと水平辺CDを用いて、ピタゴラスの定理を再度適用することで 、体対角線ADの長さは次のように求められます。$${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2},}$$ または、すべてを一度に行う方法： $${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}.}$$

この結果は、ベクトルv（対角線AD ）の大きさを、その直交成分{ v _k }（互いに垂直な 3 つの辺） を用いて表した 3 次元表現です。$${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$$

この一段階の定式化は、ピタゴラスの定理を高次元に一般化したものと見なすことができる。しかし、実際には、この結果は、直交する平面上の直角三角形の連続に対して、元のピタゴラスの定理を繰り返し適用したに過ぎない。

ピタゴラスの定理を3次元に大幅に一般化したものが、ジャン・ポール・ド・グア・ド・マルヴェスにちなんで名付けられたド・グアの定理です。正四面体に直角の角（立方体の角など）がある場合、直角の角の反対側の面の面積の2乗は、他の3つの面の面積の2乗の合計になります。この結果は、「n次元ピタゴラスの定理」のように一般化できます。^{[ 79 ]}

させて${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$R ⁿにおける直交ベクトルとする。頂点を持つn次元単体Sを考える。${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$⁠。（頂点を持つ（n -1）次元単体${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$原点をSの「斜辺」とし、残りの( n − 1)次元の面をSの「脚」としない場合、 Sの斜辺の体積の二乗はn本の脚の体積の二乗の合計になります。

この記述は、図中の正四面体によって三次元的に示されています。「斜辺」は図の奥にある正四面体の底面であり、「脚」は手前の頂点から伸びる3つの側面です。底面の頂点からの深さが増加するにつれて、「脚」の面積は増加しますが、底面の面積は一定です。この定理は、この深さが直角の頂点を作る値にあるとき、ピタゴラスの定理の一般化が適用されることを示しています。別の言い方をすると次のようになります。^{[ 80 ]}

n次元の長方形単体の場合、右の頂点に対向する面の( n − 1)内容の二乗は、残りの面の( n − 1)内容の二乗の合計に等しくなります。

ピタゴラスの定理は、内積空間に一般化することができます^{[ 81 ]。}内積空間は、よく知られている2次元および3次元のユークリッド空間の一般化です。たとえば、関数は、関数解析のように、内積空間では無限個の成分を持つベクトルとして考えることができます^{[ 82 ]}。

内積空間では、垂直性の概念は直交性の概念に置き換えられます。2つのベクトルvとwは、それらの内積が等しい場合に直交します。${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$はゼロです。内積はベクトルのドット積の一般化です。ドット積は標準内積またはユークリッド内積と呼ばれます。ただし、他の内積も可能です。^{[ 83 ]}

長さの概念は、ベクトルvのノルム‖ v ‖の概念に置き換えられ、次のように定義されます。^{[ 84 ]}$${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\textstyle {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle }}{\vphantom {\big |}}}.}$$

内積空間において、ピタゴラスの定理は、任意の2つの直交ベクトルvとwに対して、次の式が成り立つ ことを述べている。$${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$$ ここでベクトルvとwは、直角三角形の辺に似ており、斜辺はベクトルの和v + wで与えられます。この形式のピタゴラスの定理は、内積の性質から導かれるものです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\,w} \rangle +\langle \mathbf {w,\,v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{aligned}}}$$ どこ${\displaystyle \langle \mathbf {v,\,w} \rangle =\langle \mathbf {w,\,v} \rangle =0}$直交性のため。

内積空間におけるピタゴラスの定理を非直交ベクトルにさらに一般化したものが平行四辺形の法則である。^{[ 84 ]}$${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {vw} \|^{2},}$$

これは、平行四辺形の辺の長さの二乗の和の2倍が、対角線の長さの二乗の和に等しいということを意味します。この等式を満たすノルムは、必然的に内積に対応するノルムです。^{[ 84 ]}

ピタゴラスの定理は、 2 つ以上の直交ベクトルの和にも拡張できます。v 1 、v 2 、...、v n が内積空間内のペアワイズ直交ベクトルである場合、_これらの_ベクトルの連続_するペアにピタゴラスの定理を適用すると (立体幾何学のセクションで 3 次元について説明されているように)、次の式が得られます^{[ 85 ] 。}$${\displaystyle {\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$$

ピタゴラスの定理のもう一つの一般化は、任意の次元のルベーグ可測なオブジェクトの集合に適用されます。具体的には、 n次元ユークリッド空間の1 つ以上の平行な m 次元平面にある m 次元オブジェクトの集合の尺度の二乗は、オブジェクトのすべてのm次元座標部分空間への直交射影の尺度の二乗の合計に等しくなります。^{[ 86 ]}

数学的に言うと： $${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mu _{mp_{i}}^{2}}$$ どこ：

• ${\displaystyle \mu _{m}}$はm次元における尺度である（1次元では長さ、2次元では面積、3次元では体積など）。
• ${\displaystyle s}$は、 n次元ユークリッド空間内の1つ以上の平行なm次元平面上に存在する、1つ以上の重なり合わないm次元オブジェクトの集合である。
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$は、 m次元オブジェクトの集合の総和（合計）です。
• ${\displaystyle p}$これは、元の集合を直交座標部分空間にm次元投影したものを表す。
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$は、 m次元集合のm次元座標部分空間iへの射影の尺度です。オブジェクトの射影は座標部分空間上で重なり合う可能性があるため、集合内の各オブジェクトの射影の尺度を個別に計算し、すべての射影の尺度を合計して、与えられた座標部分空間上の射影の集合の全体の尺度を得る必要があります。
• ${\displaystyle x}$は、 m次元オブジェクトが投影されるn次元空間 ( R ⁿ )内の直交するm次元座標部分空間の数( m ≤ n )です。

$${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}}$$

ピタゴラスの定理はユークリッド幾何学の公理から導き出され、実際、ある直角三角形でピタゴラスの定理が成り立たない場合、その三角形が含まれる平面はユークリッド平面ではあり得ません。より正確には、ピタゴラスの定理はユークリッドの平行線（第 5）公準を暗示し、またユークリッドの平行線（第 5）公準によって暗示されます。^{[ 87 ] [ 88 ]}したがって、非ユークリッド幾何学^{[ 89 ]}の直角三角形はピタゴラスの定理を満たしません。たとえば、球面幾何学では、単位球の八分円を囲む直角三角形の 3 辺 ( a、b、cとします) の長さはすべてπ /2に等しく、すべての角は直角ですが、 a ² + b ² = 2 c ² > c ²であるため、ピタゴラスの定理に違反します。

ここでは、非ユークリッド幾何学の2つのケース、すなわち球面幾何学と双曲平面幾何学を考察する。いずれの場合も、直角三角形以外のユークリッド幾何学の場合と同様に、ピタゴラスの定理に代わる結果は、適切な余弦定理から導かれる。

しかし、三角形が直角であるという条件を、2つの角の合計が3つ目の角に等しいという条件（例えば、A + B = C）に置き換えると、双曲幾何学と楕円幾何学においてもピタゴラスの定理は成り立ちます。辺は次のように関係付けられます。直径がaとb の円の面積の合計は、直径がcの円の面積に等しくなります。^{[ 90 ]}

球面幾何学

半径Rの球面上にある任意の直角三角形(例えば、図中のγが直角である場合) の辺がa、b、cで​​ある場合、辺間の関係は次の形式になります。^{[ 91 ]}$${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.}$$

この方程式は、すべての球面三角形に適用される 球面余弦定理の特殊な場合として導き出すことができる。$${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.}$$

球面上の無限小三角形（または同等に、無限半径の球面上の有限球面三角形）の場合、直角三角形の辺間の球面関係は、ピタゴラスの定理のユークリッド形式に帰着します。その方法を確認するために、半径Rが拡大する球面上に、辺の長さが固定された球面三角形a、b、cがあると仮定します。R が無限大に近づくと、a / R、b / R、c / Rの量はゼロに近づき、球面ピタゴラスの恒等式は{{{1}}}に帰着するため、その漸近展開を調べる必要があります。

コサイン関数のマクローリン級数は次のように表すことができます。${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$剰余項をビッグオー記法で表す。${\displaystyle x=c/R}$三角形の一辺とし、固定されたcに対してRに関する漸近展開として式を扱うと、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}}$$

aとbについても同様である。各コサインの漸近展開を直角三角形の球面関係式に代入すると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}}$$

1を引いて、両辺を負にすると、 $${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}$$

両辺に2 R ²を掛けると、固定されたa、bと変数Rに関するcの漸近展開は次のようになる。 $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.}$$

ユークリッド幾何学とピタゴラスの定理の関係${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$半径Rが無限大に近づくと残りの項が消滅するため、極限では回復される。

小さな直角三角形を用いた球面三角法の実際的な計算では、倍角の公式を用いて余弦を正弦に置き換えることができる。${\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }}$意味の喪失を避けるため。すると、球面ピタゴラスの定理は次のように書き換えることができる。 $${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$$

双曲幾何学

一様なガウス曲率−1/ R ²を持つ双曲空間では、直角三角形の辺a、b、斜辺cに対して、辺間の関係は次の形式をとります。^{[ 92 ]}$${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$$

ここで cosh は双曲線コサインです。この公式は、すべての双曲線三角形に適用される双曲線コサイン法則の特別な形式です。 ^{[ 93 ]}$${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\,\sinh {\frac {b}{R}}\,\cos \gamma ,}$$γ は辺cの反対側の頂点における角度である。

双曲線余弦のマクローリン級数cosh x ≈ 1 + x ² /2を使用すると、双曲線三角形が非常に小さくなるにつれて（つまり、a、b、cがすべてゼロに近づくにつれて）、直角三角形の双曲線関係がピタゴラスの定理の形に近づくことが示されます。

小さな直角三角形( a , b ≪ R )の場合、双曲線余弦は有意性の喪失を避けるために消去でき、 $${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$$

ピタゴラスの定理は、微分幾何学で見られる微小な三角形に適用されます。3次元空間では、2つの微小に離れた点間の距離は、 $${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$$

ここで、ds は距離の要素であり、( dx、dy、dz ) は 2 つの点を分離するベクトルの成分です。このような空間はユークリッド空間と呼ばれます。ただし、リーマン幾何学では、この表現の一般化は、一般的な座標 (デカルト座標だけでなく) および一般的な空間 (ユークリッド空間だけでなく) に有用であり、次の形式をとります。^{[ 94 ]}$${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$$

これは計量テンソルと呼ばれます。^{[ c ]}これは位置の関数である場合があり、多くの場合、曲がった空間を記述します。簡単な例としては、曲線座標で表現されたユークリッド（平面）空間があります。たとえば、極座標では次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$