算術位相幾何学

算術位相幾何学は、代数的整数論と位相幾何学を組み合わせた数学の分野です。数体と閉じた向き付け可能な3 次元多様体との類似性を確立します。

以下は数学者が数体と3次元多様体の間で用いる類推の例である: ^[1]

1. 数体は閉じた有向3次元多様体に対応する。
2. 整数環のイデアルはリンクに対応し、素イデアルは結び目に対応します。
3. 有理数体Qは3 次元球面に対応します。

最後の 2 つの例を詳しく説明すると、結び目と素数の間には、素数間の「リンク」を考慮するという類似点があります。素数の 3 つ(13、61、937)は、2 を法として「リンク」されています (レデイ記号は -1) が、2 を法として「ペアごとにリンクされていません」 (ルジャンドル記号はすべて 1)。そのため、これらの素数は「2 を法とする適切なボロミアン 3 つ」^[2]または「2 を法とするボロミアン素数」^{[3]と呼ばれています。}

1960年代には、ガロアコホモロジーに基づくジョン・テイト^[4]や、エタールコホモロジーに基づくマイケル・アルティンとジャン＝ルイ・ヴェルディエ^[5]によって類体理論の位相的解釈が与えられた。その後、デイビッド・マンフォード（および独立にユーリ・マニン）が素イデアルと結び目の類似性を考案し^{[6] 、}バリー・マズール[7]がこれをさらに研究した。^{[8 ]} 1990年代には、レズニコフ^[9]とカプラノフ^[10]がこれらの類似性を研究し始め、この研究分野に算術位相学という用語を作った。

• 算術幾何学
• 算術ダイナミクス
• 位相量子場理論
• ラングランズ計画

• 森下昌典（2011）『結び目と素数』Springer、ISBN 978-1-4471-2157-2 
• 森下正典 (2009)「結び目と素数、3次元多様体と数環の類似性」
• クリストファー・デニンガー（2002）「算術位相幾何学と動的システムに関するノート」
• アダム・S・シコラ（2001）「3次元多様体と数体上の群作用の類似性」
• カーティス・T・マクマレン（2003）「曲面上の力学から曲線上の有理点へ」
• チャオ・リーとチャーメイン・シア（2012年）『結び目と素数』

• マズールの難解な辞書