ヤング図は、 正の整数1から8までの分割に対応する図である。これらの図は、正方形の主対角線に関する鏡映によって得られる像が、互いに共役な分割となるように配置されている。n の分割のうち、最大の部分がkであるもの 数論 および組み合わせ論 において、非負整数 nの 分割 （整数分割 とも呼ばれる）とは、 n を 正の整数 の和 として表す方法のことである。項 の順序のみが異なる2つの和は、同じ分割とみなされる。（順序が重要な場合は、和は合成 となる。）例えば、4 は 5 通りの異なる方法で分割できる。
4 3 + 1 2 + 2 2 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 ゼロの唯一の分割は、部分を持たない空和である。
順序依存の構成1 + 3 は 3 + 1 と同じ分割であり、2 つの異なる構成1 + 2 + 1 と1 + 1 + 2は 2 + 1 + 1 と同じ分割を表します。
分割における個々の項は部分と呼ばれます 。n の分割の数は分割関数 p ( n )p (4) = 5 です。λ ⊢ n という λ がn の分割であることを意味します。
分割は、ヤング図 やフェラーズ図 を用いて視覚的に表現することができる。これらは、対称多項式 や対称群 の研究、そして群表現論 全般など、数学 や物理学 の多くの分野で現れる。
例 5の7つの分割は
5 4 + 1 3 + 2 3 + 1 + 1 2 + 2 + 1 2 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 分割をプラス記号を含む式としてではなく、単調増加しない項の列として扱う著者もいます。例えば、分割 2 + 2 + 1 は、タプル (2, 2, 1) またはさらに簡潔な形式(2 2 , 1) で表すことができ、上付き文字は部分の繰り返し回数を示します。
分割の多重度表記は、別の方法で次のように書くこともできます。1 m 1 2 m 2 3 m 3 ⋯ 1^{m_{1}}2^{m_{2}}3^{m_{3}}\cdots } m 1 m 2 m i 5 1 、 1 1 4 1 、 2 1 3 1 、 1 2 3 1 、 1 1 2 2 、 1 3 2 1 {\displaystyle 5^{1},1^{1}4^{1},2^{1}3^{1},1^{2}3^{1},1^{1}2^{2},1^{3}2^{1}} 1 5 15
分割関数 オイラー法を用いてp (40)を求める：プラスとマイナスの記号が付いた定規（灰色の枠）を下にスライドさせ、関連する部分を加算または減算します。記号の位置は、自然数（青）と奇数（オレンジ）を交互に並べた差によって決まります。SVGhttps://img-server.japedia.wiki/wikipedia/commons/0/05/Euler_partition_function.svg"}]]}">ファイルでは、画像にカーソルを合わせると定規が動きます。 分割関数 p （ n ） {\displaystyle p(n)} n {\displaystyle n} p （ 4 ） = 5 {\displaystyle p(4)=5} 4 {\displaystyle 4} 1 + 1 + 1 + 1 {\displaystyle 1+1+1+1} 1 + 1 + 2 {\displaystyle 1+1+2} 1 + 3 {\displaystyle 1+3} 2 + 2 {\displaystyle 2+2} 4 {\displaystyle 4} n = 0 、 1 、 2 、 … {\displaystyle n=0,1,2,\dots }
1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ... ( OEIS の シーケンス A000041 ) 。 生成関数 p {\displaystyle p}
∑ n = 0 ∞ p （ n ） q n = ∏ j = 1 ∞ ∑ 私 = 0 ∞ q j 私 = ∏ j = 1 ∞ （ 1 − q j ） − 1 。 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }p(n)q^{n}=\prod _{j=1}^{\infty }\sum _{i=0}^{\infty }q^{ji}=\prod _{j=1}^{\infty }(1-q^{j})^{-1}.} 分配関数の閉形式表現は 知られていないが、それを正確に近似する漸近展開と、それを厳密に計算できる漸化式の 両方 が存在する。それは引数の平方根 の指数関数として次のように増加する [ 3 ]
p （ n ） ～ 1 4 n 3 exp （ π 2 n 3 ） {\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}\exp \left({\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}\right)} n → ∞ {\displaystyle n\to \infty } 1937年、ハンス・ラデマッハーは 分配関数を表現する方法を発見した。p （ n ） {\displaystyle p(n)} 収束級数 による
p （ n ） = 1 π 2 ∑ k = 1 ∞ A k （ n ） k ⋅ d d n （ 1 n − 1 24 シン [ π k 2 3 （ n − 1 24 ） ] ） {\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right)}
A k （ n ） = ∑ 0 ≤ m < k 、 （ m 、 k ） = 1 e π 私 （ s （ m 、 k ） − 2 n m / k ） 。 {\displaystyle A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k,\;(m,k)=1}e^{\pi i\left(s(m,k)-2nm/k\right)}.} s （ m 、 k ） {\displaystyle s(m,k)} はデデキント和 です。
その生成関数の乗法逆関数はオイラー関数であり、オイラー の 五角数定理 によれば、この関数は引数の五角数 のべき乗の交代和で表される。
p （ n ） = p （ n − 1 ） + p （ n − 2 ） − p （ n − 5 ） − p （ n − 7 ） + ⋯ {\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots } シュリニヴァーサ・ラマヌジャンは 、分割関数がモジュラー算術において非自明なパターンを持つことを発見しました。これは現在 、ラマヌジャンの合同式 として知られています。例えば、10進数表現がn {\displaystyle n} n {\displaystyle n}
制限付きパーティション 組み合わせ論と数論の両方において、さまざまな制約を受ける分割の族がしばしば研究される。[ 5 ]
共役分割と自己共役分割 主対角線 に沿って反転すると、14 の別の分割が得られます。
行を列にすることで、数 14 の分割 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 が得られます。このような分割は互いに共役であると言われます。 数 4 の場合、分割 4 と 1 + 1 + 1 + 1 は共役ペアであり、分割 3 + 1 と 2 + 1 + 1 は互いに共役です。特に興味深いのは、2 + 2 のように、それ自体を共役とする分割です。このような分割は自己共役 であると言われます。
主張 ：自己共役な分割の数は、奇数部分が異なる分割の数と同じである。
証明（概要） ：重要な点は、奇数番目の部分はすべて中央で「折り畳む 」ことができ、自己共役図を形成できるということである。
すると、異なる奇数部分を持つ分割の集合と自己共役分割の集合との間に全単射が 得られる。次の例でそれを示す。
奇妙な部分と明確な部分 8という数字の22個の分割のうち、奇数部分 のみを含む分割は6個ある。
7 + 1 5 + 3 5 + 1 + 1 + 1 3 + 3 + 1 + 1 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 あるいは、どの数字も一度しか出現しない分割を数えることもできます。このような分割は、異なる部分を持つ分割 と呼ばれます。8の異なる部分を持つ分割を数えると、6も得られます。
8 7 + 1 6 + 2 5 + 3 5 + 2 + 1 4 + 3 + 1 これは一般的な性質です。各正の数に対して、奇数部分を持つ分割の数は、異なる部分を持つ分割の数に等しく、q ( n )で表されます。[ 9 ] レオンハルト・オイラー によって証明され[ 10 ] 、後にグレイシャーの定理 として一般化されました。
制約付き分割の種類ごとに、その制約を満たす分割の数を表す関数が存在します。重要な例として、q ( n )（異なる部分への分割）があります。q ( n )の最初のいくつかの値は（ q (0)=1から始まる）次のとおりです。
1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ... ( OEIS の シーケンス A000009 ) 。 q ( n )の生成関数 は[ 11 ]
∑ n = 0 ∞ q （ n ） x n = ∏ k = 1 ∞ （ 1 + x k ） = ∏ k = 1 ∞ 1 1 − x 2 k − 1 。 {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }q(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }(1+x^{k})=\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1-x^{2k-1}}}.} 五角数定理は q の漸化式を与える：[ 12 ]
q ( k ) = a k q ( k − 1) + q ( k − 2) − q ( k − 5) − q ( k − 7) + q ( k − 12) + q ( k − 15) − q ( k − 22) − ...ここで、 k はある整数mに対して k = 3 m 2 − m の場合、a k − 1) m
部品のサイズまたは部品数に制限がある 共役を取ることにより、 n k 個 の部分に分割する数p k n )は、最大の部分がサイズk n p k ( n ) は次の漸化式を満たします。
p k n ) = p k n − k ) + p k −1n − 1)初期値はp 0 (0) = 1n ≤ 0 または k ≤ 0で n k が p k n ) = 0 である。 [ 13 ]
関数p ( n ) は次のようにして復元される。
p （ n ） = ∑ k = 0 n p k （ n ） 。 {\displaystyle p(n)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}(n).} k を固定しn を可変とした場合、このような分割の可能な生成関数の1つは次のようになる。
∑ n ≥ 0 p k （ n ） x n = x k ∏ 私 = 1 k 1 1 − x 私 。 {\displaystyle \sum _{n\geq 0}p_{k}(n)x^{n}=x^{k}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-x^{i}}}.} より一般的に、T が正の整数の集合である場合、 n の分割のうち、すべての部分がT に属するものの数は、生成関数を持つ。
∏ t ∈ T （ 1 − x t ） − 1 。 {\displaystyle \prod _{t\in T}(1-x^{t})^{-1}.} これは、お釣り問題 （集合T が 使用可能な硬貨を指定する場合）を解決するために使用できます。2 つの特別なケースとして、すべての部分が 1 または 2 であるn の分割の数（または同等に、 n を1 または 2 の部分に分割する数）は次のようになります。
⌊ n 2 + 1 ⌋ 、 {\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{2}}+1\right\rfloor ,} また、 n のすべての部分が 1、2、または 3 である分割の数(または同等に、 n を最大 3 つの部分に分割する数) は、( n + 3) 2 / 12に最も近い整数です。 [ 14 ]
長方形内の分割とガウス二項係数 また、部分の数とサイズを同時に制限することもできます。p ( N , M ; n ) を M 個の部分を持ち、各部分のサイズが最大でNである n の分割の数とします。言い換えれば、これらはヤング図がM × N の p （ N 、 M ; n ） = p （ N 、 M − 1 ; n ） + p （ N − 1 、 M ; n − M ） {\displaystyle p(N,M;n)=p(N,M-1;n)+p(N-1,M;n-M)} p （ N 、 M ; n ） − p （ N 、 M − 1 ; n ） {\displaystyle p(N,M;n)-p(N,M-1;n)} n を最大でNのサイズの M 個の部分に分割したものを数え、そのような分割の各部分から 1 を引くと、n − M M 個の部分に分割したものが得られます。[ 15 ]
ガウス二項係数は次のように定義されます。 （ k + ℓ ℓ ） q = （ k + ℓ k ） q = ∏ j = 1 k + ℓ （ 1 − q j ） ∏ j = 1 k （ 1 − q j ） ∏ j = 1 ℓ （ 1 − q j ） 。 {\displaystyle {k+\ell \choose \ell }_{q}={k+\ell \choose k}_{q}={\frac {\prod _{j=1}^{k+\ell }(1-q^{j})}{\prod _{j=1}^{k}(1-q^{j})\prod _{j=1}^{\ell }(1-q^{j})}}.} p ( N , M ; n ) の生成関数 と次の等式で 関係付けられる。∑ n = 0 M N p （ N 、 M ; n ） q n = （ M + N M ） q 。 {\displaystyle \sum _{n=0}^{MN}p(N,M;n)q^{n}={M+N \choose M}_{q}.}
ランクとダーフィースクエア 分割のランクは、分割が少なくとも k 個のサイズ k 以上の部分を含むような最大の数 k です。たとえば 、分割 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1は、サイズ3 以上の部分が 3 つ含まれていますが、サイズ 4以上の部分が 4 つ含まれていないため、ランク 3 です。ランクr の分割の Ferrers 図または Young 図では、左上のr × rの要素の正方形は Durfee 正方形 として知られています。
ダーフィー正方形は、組み合わせ論において様々な分割恒等式の証明に応用されている。[ 16 ] また、 h指数 という形で実用的な意義も持っている。
別の統計量として、パーティションのランク （またはダイソンランク）と呼ばれるものもあり、それは、λ k − k {\displaystyle \lambda _{k}-k} 最大の部分がk 個の部分に分割されている場合λ k {\displaystyle \lambda _{k}} この統計（上記で説明した統計とは無関係）は、ラマヌジャンの合同式 の研究に登場します。
注記 ↑ アンドリュース 1976 、p.199 。↑ Josuat-Vergès, Matthieu (2010), "ヤング図のパターン回避充填間の全単射", Journal of Combinatorial Theory 117 (8): 1218–1230 , arXiv : 0801.4928 , doi : 10.1016/j.jcta.2010.03.006 , MR 2677686 , S2CID 15392503 ↑ アンドリュース 1976 、p.69 。↑ Alder, Henry L. (1969). "分割恒等式 - オイラーから現在まで" . American Mathematical Monthly . 76 (7): 733– 746. doi : 10.2307/2317861 . JSTOR 2317861 . ↑ 表記はAbramowitz & Stegun 1964 、p. 825に従う。 ↑ アンドリュース、ジョージ E. (1971). 数論 . フィラデルフィア: WB サンダース社. pp. 149–50 . ↑ Abramowitz & Stegun 1964 、p. 825、24.2.2 eq. I(B) ↑ アブラモヴィッツ& ステガン 1964 年 、p. 826、24.2.2 当量。 Ⅱ(A) ↑ リチャード・スタンレー著『列挙的組合せ論 』第1巻、第2版。ケンブリッジ大学出版局、2012年。第1章、1.7節。 ↑ ハーディ、GH（1920）。 数論の有名な問題のいくつか 。クラレンドン・プレス。 ↑ アンドリュース 1976、33-34 頁 。↑ 例えば、スタンレー 1999 、p. 58を参照。 ↑ ロミック、ダン（2015）。 最長増加部分列の驚くべき数学 。数理統計学研究所教科書。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-1-107-42882-9 。↑ Okounkov, Andrei (2000). "ランダム行列とランダム順列". International Mathematics Research Notices . 2000 (20): 1043. doi : 10.1155/S1073792800000532 . S2CID 14308256 . {{cite journal}}: CS1メンテナンス: フラグなしの無料DOI (リンク)↑ Okounkov, A. (2001-04-01). "無限ウェッジとランダム分割" . Selecta Mathematica . 7 (1): 57– 81. arXiv : math/9907127 . doi : 10.1007/PL00001398 . ISSN 1420-9020 . S2CID 119176413 .
参考文献 アブラモウィッツ、ミルトン ；ステガン、アイリーン （1964）。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。ISBN 0-486-61272-4 。アンドリュース、ジョージ・E. ( 1976). 『分割理論 』ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-63766-X 。アンドリュース、ジョージ・E.、エリクソン、キンモ（2004）。整数分割 。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-60090-1 。 アポストル、トム・M. (1990) [1976].数論におけるモジュラー関数とディリクレ級数 大学院数学テキスト . 第 41巻（第2 版）. ニューヨークほか：シュプリンガー・フェルラーク . ISBN 0-387-97127-0 . Zbl 0697.10023 . （ラデマッハーの公式に関する現代的な教育的入門については、第5章を参照してください 。 ）ボナ、ミクロス （2002）。組み合わせ論入門：列挙とグラフ理論への手引き 。ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング。ISBN 981-02-4900-4 。ハーディ、GH ；ライト、EM （2008）[1938]。『数の理論入門』 。DRヒース＝ブラウン およびJHシルバーマン 改訂。アンドリュー・ワイルズ 序文。（第6 版）。オックスフォード：オックスフォード大学出版 局 。ISBN 978-0-19-921986-5 。MR 2445243。Zbl 1159.11001。 Lehmer, DH (1939). 「分割関数の級数の剰余と収束について」 . Trans. Amer. Math. Soc . 46 : 362– 373. doi : 10.1090/S0002-9947-1939-0000410-9 . MR 0000410 . Zbl 0022.20401 . A k n )の主要式（導関数なし）、剰余、および旧形式を提供します。Gupta, Hansraj; Gwyther, CE; Miller, JCP (1962). Royal Society of Math. Tables . Vol. 4, Tables of partitions. （本文とほぼ完全な参考文献は掲載されているが、彼ら（およびアブラモウィッツ）はホワイトマンの著書にある セルバーグの A k n )の公式を見落としている。）マクドナルド、イアン・G. (1979).対称関数とホール多項式 . オックスフォード数学モノグラフ.オックスフォード大学出版局 . ISBN 0-19-853530-9 . Zbl 0487.20007 . ナサンソン、 MB（2000）。数論における初等的方法 。大学院数学テキスト。第 195巻。シュプリンガー・フェルラーク 。ISBN 0-387-98912-9 . Zbl 0953.11002 . ラードマッハー、ハンス (1974)。ハンス・ラーデマッハーの論文を集めました 。 Vol. v II. MITプレス。 pp . 100–07、108–22、460–75 。 サウトイ、マーカス・デュ。 （2003）。プライムの音楽 。ISBN 9780066210704 。スタンレー、リチャード・P. (1999).列挙的組合せ論 . 第 1巻および第2巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-56069-1 。Whiteman, AL (1956). "分割関数の級数に関連する和" . Pacific Journal of Mathematics . 6 (1): 159– 176. doi : 10.2140/pjm.1956.6.159 . Zbl 0071.04004 . （セルバーグの公式を示します。古い形式は、セルバーグの有限フーリエ展開です。）
外部リンク 「分割」、数学百科事典 EMS Press 、2001年 [1994年] 分割および構成計算機 ワイスタイン、エリック・W. 「パーティション」。マスワールド Wilf, Herbert S.整数分割に関する講義 (PDF) 、 2021年2月26日に オリジナル (PDF) からアーカイブ、 2021年2月28日に 取得 オンライン整数列百科事典の参照表を用いた分割法による計数 整数パーティション2014年10月22日に Wayback Machineの FindStatデータベースのエントリにアーカイブされました CPAN のInteger::Partition Perl モジュール整数分割を生成するための高速アルゴリズム 全パーティションの生成：2つのエンコーディングの比較 グライム、ジェームズ（2016年4月28日）。「パーティション - Numberphile」（ビデオ） 。ブレイディ・ハラン 。2021年12月11日のオリジナルからアーカイブ。 2016年 5月5日 取得 。 
![{\displaystyle p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n){\sqrt {k}}\cdot {\frac {d}{dn}}\left({{\frac {1}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\sinh \left[{{\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}}\,\,\,\right]}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e02c3bc5603dfdbb082e76df5729af2b08465f11)
