黄金比

黄金比（φ）

表現
小数点	1.618 033 988 749 894 ... [1]
代数形式	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$
連分数	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$

数学では、2つの量の比が、その合計と2つの量のうち大きい方の量の比に等しい場合 、 2つの量は黄金比になります。代数的に表現すると、との量に対して、はと黄金比になります。${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a>b>0}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

$${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi ,}$$

ここで、ギリシャ文字のファイ（⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$または⁠ ⁠${\displaystyle \phi}$）は黄金比を表します。^[a]定数⁠ ⁠ は${\displaystyle \varphi}$二次方程式 ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=\varphi +1}$を満たし、値が^[1]の無理数です。

黄金比はユークリッドによって極限比と中庸比と呼ばれ^[2]、ルカ・パチョーリによって神聖な比率と呼ばれ^[3]、また他の名前でも呼ばれています^{[b] 。}

数学者は古代から黄金比の特性を研究してきました。黄金比は正五角形の対角線と辺の比であり、正十二面体と正二十面体の構築に使用されます。[ 7 ]黄金長方形、つまり^{アスペクト}比がの長方形は、正方形と、同じアスペクト比を持つ小さな長方形に切り分けることができます。黄金比は、自然物や金融市場などの人工システムの比率を分析するために使用されており、場合によってはデータへの疑わしい適合に基づいています。^[8]黄金比は、葉や植物の他の部分 の螺旋状の配置など、自然界のいくつかのパターンに現れます。${\displaystyle \varphi}$

ル・コルビュジエやサルバドール・ダリを含む20 世紀の芸術家や建築家の中には、黄金比が美的感覚に優れていると考え、作品の比率を黄金比に近づけた人もいます。こうした作品は、黄金長方形の形で現れることが多いです。

2つの量⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle b}$黄金比 ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$である場合、^[9] $${\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi .}$$

したがって、 ⁠ ⁠ を${\displaystyle \varphi}$見つけたい場合、上記の定義が任意の⁠ ⁠${\displaystyle b}$に対して成り立つことを利用できます。したがって、⁠ ⁠ を${\displaystyle b=1}$設定するだけで、その場合⁠ ⁠${\displaystyle \varphi =a}$となり、方程式 ⁠ ⁠が得られます。これは${\displaystyle (\varphi +1)/\varphi =\varphi }$⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$を掛けると2次方程式になります。 これを次のように変形できます 。$${\displaystyle \varphi +1=\varphi ^{2}}$$$${\displaystyle {\varphi }^{2}-\varphi -1=0.}$$

二次方程式の公式からは2つの解が得られます。

⁠ ⁠ は${\displaystyle \varphi}$正の数の比なので、 ⁠ ⁠ は${\displaystyle \varphi}$必然的に正の根になります。^[10]負の根は実は負の逆数であり、黄金${\displaystyle -1/\varphi }$比と多くの性質を共有しています。

マリオ・リビオによれば、

古代ギリシャのピタゴラスやユークリッドから、中世イタリアの数学者レオナルド・ディ・ピサ、ルネサンスの天文学者ヨハネス・ケプラー、オックスフォード大学の物理学者ロジャー・ペンローズなどの現代の科学者に至るまで、あらゆる時代の偉大な数学者たちは、この単純な比率とその特性について数え切れないほどの時間を費やしてきました。...生物学者、芸術家、音楽家、歴史家、建築家、心理学者、さらには神秘主義者でさえ、黄金比の普遍性と魅力の根拠について熟考し、議論してきました。実際、数学の歴史上、黄金比は他のどの数字よりもあらゆる分野の思想家にインスピレーションを与えてきたと言っても過言ではないでしょう。^[11]

— 黄金比：世界で最も驚くべき数字、ファイの物語

古代ギリシャの数学者は、幾何学に頻繁に登場するため、黄金比を最初に研究しました。^[12]直線を「極小比と中小比」（黄金分割）に分割することは、正五芒星や五角形の幾何学において重要です。^[13]ある話によると、紀元前5世紀の数学者ヒッパソスは、黄金比が整数でも分数でもない（無理数である）ことを発見し、ピタゴラス学派を驚かせました。^[14] ユークリッドの『原論』 （紀元前300年頃）には、黄金比を用いたいくつかの命題とその証明が示されています。 ^{[15] [c]}また、黄金比の最初の定義は次のように説明されています。^[16]

直線は、全体の線分が大きな線分に対して等しいとき、大きな線分が小さな線分に対して等しいとき、極中比で切られていると言われる。^{[17] [d]}

黄金比はその後の千年にわたって周辺的に研究された。アブ・カミル（850年頃-930年）は五角形と十角形の幾何学的計算に黄金比を用いた。彼の著作はフィボナッチ（ピサのレオナルド）（1170年頃-1250年）の著作に影響を与えた。フィボナッチは黄金比を幾何学の問題で使用したが、それがフィボナッチ数と関連していることに気づいていなかった。^[19]

ルカ・パチョーリは、その著書『神の比例』（1509年）をこの比にちなんで名付けた。ピエロ・デラ・フランチェスカの著作から大部分を盗用したこの本は、プラトン立体のいくつかに現れるものを含め、この比の特性を探求した。[ 20 ] ^{[ 21]パチョーリの本の挿絵を描いた} レオナルド・ダ・ヴィンチは、この比をセクチオ・アウレア（黄金分割）と呼んだ。^[22]パチョーリは、美しく調和のとれた比率を生み出すために黄金比の適用を主張したとよく言われるが、リヴィオは、この解釈は1799年の誤りにまで遡り、パチョーリは実際にはウィトルウィウスの有理比率体系を主張していたと指摘している。^{[23]パチョーリはまた、この比にカトリックの宗教的重要性を見出しており、それが彼の著書のタイトルにつながった。}ラファエル・ボンベッリなどの16世紀の数学者は、この比を使って幾何学の問題を解いた。^[24]

ドイツの数学者シモン・ヤコブ（1564年没）は、連続するフィボナッチ数は黄金比に収束することを指摘した。^[25]これは1608年にヨハネス・ケプラーによって再発見された。^[26]黄金比（逆数）の最初の10進近似値は、1597年にテュービンゲン大学のミヒャエル・メーストリンがかつての教え子であるケプラーに宛てた手紙の中で「およそ⁠ ⁠ 」と述べられた。 ${\displaystyle 0.6180340}$^[27]同年、ケプラーはメーストリンに、黄金比とピタゴラスの定理を組み合わせたケプラーの三角形について書いている。ケプラーはこれについて次のように述べている。

幾何学には二つの大きな宝物があります。一つはピタゴラスの定理、もう一つは直線を極小比と中小比に分割することです。前者は金塊に例えることができ、後者は貴重な宝石と呼ぶことができます。^[28]

18世紀の数学者アブラハム・ド・モアブル、ニコラウス・ベルヌーイ、レオンハルト・オイラーは、フィボナッチ数列の配置に基づいてその数の値を求める黄金比に基づく公式を使用していました。1843年にジャック・フィリップ・マリー・ビネーがこの公式を再発見し、「ビネーの公式」と名付けられました。^[29] マルティン・オームは1835年に初めてドイツ語のgoldener Schnitt（黄金分割）という用語を使用してこの比率を説明しました。 ^[30] ジェームズ・サリーは1875年に同等の英語の用語を使用しました。^[31]

1910年までに、発明家のマーク・バーはギリシャ文字の ファイ（⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$ ）を黄金比の記号として使い始めました。 ^{[32] [e]また、}古代ギリシャ語のτομή（「切断」または「セクション」）の最初の文字であるタウ（⁠ ⁠${\displaystyle \tau}$ ）でも表されます。 ^[35]

1960年代後半にスティーブ・ベアが開発したゾム構築システムは、正20面体/正12面体の対称システムに基づいており、至る所で黄金比を使用しています。1973年から1974年にかけて、ロジャー・ペンローズはペンローズ・タイリングを考案しました。これは、2つの菱形タイルの面積比とパターン内の相対頻度の両方において黄金比に関連するパターンです。^{[36]これは、}ダン・シェヒトマンが1982年にノーベル賞を受賞した正20面体対称性を持つ準結晶を発見した後、注目を集めました。その後すぐに、ペンローズ・タイリングとの類推によって説明されました。^[37]

黄金比は無理数です。以下に、無理数であることの簡単な証明を 2 つ示します。

これは無限降下法による証明です。次のことを思い出してください。

全体を⁠ ⁠${\displaystyle n}$、長い部分を⁠ ⁠${\displaystyle m}$と呼ぶと、上の2番目の文は次のようになります。

黄金比⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$が有理数であるということは、 ⁠ ⁠ が${\displaystyle \varphi}$分数⁠ ⁠${\displaystyle n/m}$であり、⁠ ⁠${\displaystyle n}$と⁠ ⁠ が${\displaystyle m}$整数であることを意味します。 ⁠ ⁠ を${\displaystyle n/m}$最小の項、⁠ ⁠${\displaystyle n}$と⁠ ⁠ を${\displaystyle m}$正と見なすことができます。 しかし、 ⁠ ⁠${\displaystyle n/m}$が最小の項である場合、同等の価値を持つ⁠ ⁠ はさらに小さい項になります。 これは、 ${\displaystyle m/(nm)}$⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$が有理数であるという仮定から生じる矛盾です。

黄金比の無理数を証明するもう 1 つの短い証明 (おそらくこちらの方がよく知られています) は、有理数の加算と乗算における閉包性を利用するものです。 ⁠ ⁠ が${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$有理数であると仮定すると、⁠ ⁠の平方根である⁠ ⁠も有理数でなければなりません。これは矛盾です。なぜなら、${\displaystyle 2\varphi -1={\sqrt {5}}}$平方でない自然数はすべて無理数だからです。^[f]${\displaystyle 5}$

黄金比は代数的数であり、代数的整数でもある。黄金比は最小多項式を持つ。 $${\displaystyle x^{2}-x-1.}$$

この二次多項式には⁠ ⁠と⁠ ⁠ の2つの根があります。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \textstyle -\varphi ^{-1}}$

黄金比は、根 と を持つ多項式とも密接に関係しています${\displaystyle \textstyle x^{2}+x-1}$。二次多項式の根として、黄金比は構成可能な数です。[ 38 ^]${\displaystyle -\varphi}$${\displaystyle \textstyle \varphi ^{-1}}$

最小多項式⁠ ⁠の共役根は ${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1}$

$${\displaystyle -{\frac {1}{\varphi }}=1-\varphi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=-0.618033\dots .}$$

この量の絶対値 ( ⁠ ⁠${\displaystyle 0.618\ldots }$ ) は、逆の順序で取った長さの比 (短いセグメントの長さ / 長いセグメントの長さ、⁠ ⁠${\displaystyle b/a}$ ) に対応します。

これは正の数における黄金比のユニークな性質を示しています。 $${\displaystyle {\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1,}$$

またはその逆 $${\displaystyle {\frac {1}{1/\varphi }}={\frac {1}{\varphi }}+1.}$$

共役と定義的な二次多項式の関係により、小数値が得られ、その小数部は⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$と共通になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{2}&=\varphi +1=2.618033\dots ,\\[5mu]{\frac {1}{\varphi }}&=\varphi -1=0.618033 \dots .\end{整列}}}$$

⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$の累乗のシーケンスには、⁠ ⁠ 、 ${\displaystyle 0.618033\ldots }$⁠ ⁠${\displaystyle 1.0}$、⁠ ⁠${\displaystyle 1.618033\ldots }$、⁠ ⁠${\displaystyle 2.618033\ldots }$が含まれます。より一般的には、 ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi}$の任意の累乗は、直前の 2 つの累乗の合計に等しくなります。 $${\displaystyle \varphi ^{n}=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2}=\varphi \cdot \operatorname {F} _{n}+\operatorname {F} _{n -1}。}$$

その結果、 ⁠ ⁠ の任意の累乗を ⁠ ⁠ の倍数と定数に簡単に分解できます。倍数と定数${\displaystyle \varphi}$は常に隣接するフィボナッチ数です。これにより、 ⁠ ⁠の正の累乗の別の特性が導かれます。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$

⁠ ⁠${\displaystyle {\bigl \lfloor }{\tfrac {1}{2}}n-1{\bigr \rfloor }=m}$の場合: $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-3}+\cdots +\varphi ^{n-1-2m}+\ varphi ^{n-2-2m}\\[5mu]\varphi ^{n}-\varphi ^{n-1}&=\varphi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

式⁠ ⁠${\displaystyle \varphi =1+1/\varphi }$は再帰的に展開され、黄金比の単純な連分数を得ることができる。 ^[39] $${\displaystyle \varphi =[1;1,1,1,\dots ]=1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$$

これは、実のところ、逆数形式と並んで、連分数の最も単純な形式です。 $${\displaystyle \varphi ^{-1}=[0;1,1,1,\dots ]=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}$$

これらの連分数の収束式、⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$、⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {2}{1}}}$、⁠ ⁠、⁠ ⁠ 、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠、⁠ ⁠、...または⁠ ⁠、⁠ ⁠${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$、⁠ ⁠、⁠ ⁠ 、⁠ ⁠ 、⁠ ⁠ 、⁠ ⁠ 、⁠ ⁠、... は、連続するフィボナッチ数列の比です。連分数の項が一貫して小さいため、近似値がゆっくりと収束します。これにより、黄金比は、ディオファントス近似のフルヴィッツ不等式の極端なケースになります。フルヴィッツ不等式は、すべての無理数⁠ ⁠に対して、次のような無限数の異なる分数⁠ ⁠が存在することを述べています。 ${\displaystyle {\tfrac {5}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {13}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {3}{5}}}$${\displaystyle {\tfrac {5}{8}}}$${\displaystyle {\tfrac {8}{13}}}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle p/q}$$${\displaystyle \left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}q^{2}}}.}$$

これは、定数⁠ ⁠ は${\displaystyle {\sqrt {5}}}$黄金比を除外しなければ改善できないことを意味します。実際、黄金比は、そのようなラグランジュ数に近似値を生成するために除外しなければならない最小の数です。^[40]

⁠ ⁠の連続平方根形は⁠ ⁠から得られ、次の式が得られます。^[41]${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$ $${\displaystyle \varphi ={\sqrt {1+{\sqrt {\textstyle 1+{\sqrt {1+\cdots {\vphantom {)}}}}}}}}.}$$

フィボナッチ数とルーカス数は黄金比と複雑な関係があります。フィボナッチ数列では、基本数列⁠ ⁠${\displaystyle 0,1}$から始まり、各数は前の 2 つの数の合計に等しくなります。

ルーカス数列（これは一般化ルーカス数列と混同しないでください。一般化ルーカス数列は、その一部です）は、各項が前の 2 つの項の合計であるフィボナッチ数列に似ていますが、代わりに⁠ ⁠${\displaystyle 2,1}$で始まります。

例外的に、黄金比はフィボナッチ数列とルーカス数列の連続項の比の極限に等しい： ^[42] $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n+1}}{L_{n}}}=\varphi .}$$

言い換えれば、フィボナッチ数列とルーカス数をその直前の数列で割った場合、商は⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$に近似します。たとえば、

これらの近似値は⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$よりも低くなったり高くなったりしますが、フィボナッチ数とルーカス数が増加するにつれて ⁠ ⁠に収束します。${\displaystyle \varphi }$

黄金比を含むフィボナッチ数列とルーカス数列の 閉じた形式の表現は次のとおりです。

$${\displaystyle F\left(n\right)={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}},}$$ $${\displaystyle L\left(n\right)=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}.}$$

上記の両方の式を組み合わせると、フィボナッチ数とルーカス数の両方を含む ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n}}$の式が得られます。$${\displaystyle \varphi ^{n}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}.}$$

フィボナッチ数とルーカス数の間では、 ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$を推測することができ、これにより、ルーカス数をフィボナッチ数で割った商の極限が5 の平方根に等しいと表現することが簡単になります。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {L_{n}}{F_{n}}}={\sqrt {5}}.}$$

実際、もっと強い主張が真実です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\bigl \vert }L_{n}-{\sqrt {5}}F_{n}{\bigr \vert }={\frac {2}{\varphi ^{n}}}\to 0,\\[5mu]&{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}L_{3n}{\bigr )}^{2}=5{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}F_{3n}{\bigr )}^{2}+(-1)^{n}.\end{aligned}}}$$

これらの値は、代数的数体⁠ ⁠の基本単位として⁠ ⁠ を${\displaystyle \varphi }$記述します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} {\bigl (}{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$

黄金比の累乗はフィボナッチ再帰 法則に従います。${\displaystyle \textstyle \varphi ^{n+1}=\varphi ^{n}+\varphi ^{n-1}}$

次を使用することで、線形表現への簡約を 1 ステップで実行できます。 $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$

この恒等式により、 ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$内の任意の多項式を次のように線形表現に簡約できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}3\varphi ^{3}-5\varphi ^{2}+4&=3(\varphi ^{2}+\varphi )-5\varphi ^{2}+4\\[5mu]&=3{\bigl (}(\varphi +1)+\varphi {\bigr )}-5(\varphi +1)+4\\[5mu]&=\varphi +2\approx 3.618033.\end{aligned}}}$$

連続するフィボナッチ数列を使用して、黄金比の同様の式を得ることもできます。ここでは無限加算によって得られます。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl |}F_{n}\varphi -F_{n+1}{\bigr |}=\varphi .}$$

特に、⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$の累乗は、ルーカス数に丸められます (順序どおり、ただし最初の 2 つの累乗、⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle \varphi ^{0}}$と⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$は逆の順序になります)。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{0}&=1,\\[5mu]\varphi ^{1}&=1.618033989\ldots \approx 2,\\[5mu]\varphi ^{2}&=2.618033989\ldots \approx 3,\\[5mu]\varphi ^{3}&=4.236067978\ldots \approx 4,\\[5mu]\varphi ^{4}&=6.854101967\ldots \approx 7,\end{aligned}}}$$

などなど。^[43]ルーカス数は黄金比の累乗も直接生成します。 例えば、${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle \varphi ^{n}=L_{n}-(-\varphi )^{-n}.}$$

黄金比との相互関係に根ざしているのは、連続する3 つのフィボナッチ数列の合計がルーカス数、つまり⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}\!}$に等しいという概念です。そして重要なのは⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle L_{n}=F_{2n}/{F_{n}}}$です。

フィボナッチ数列とルーカス数列はどちらも、これらの数列の半径を持つ四分の一円を使用して、黄金螺旋(対数螺旋の特殊な形式) の近似形を生成するために使用できます。これらの数列は、真の黄金対数螺旋とわずかに異なるだけです。フィボナッチ螺旋は、一般に、フィボナッチ数列の正方形と四分の一円を使用して黄金螺旋を近似する螺旋を指す用語です。

黄金比は幾何学において重要な役割を果たします。たとえば、黄金比は五角形の内部対称性に本質的に関係しており、正十二面体や五セルの頂点の座標の一部を形成するまで拡張されます。また、ケプラーの三角形やペンローズのタイリング、その他のさまざまな多面体にも黄金比が見られます。

内部分割による分割

1. 線分⁠ ⁠${\displaystyle AB}$から、点⁠ ⁠に⁠ ⁠ ⁠の長さの半分の垂線⁠ ⁠ を${\displaystyle BC}$描きます。斜辺⁠ ⁠を描きます。${\displaystyle B}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle AB}$ ${\displaystyle AC}$
2. 中心⁠ ⁠${\displaystyle C}$、半径⁠ ⁠${\displaystyle BC}$の円弧を描きます。この円弧は、斜辺⁠ ⁠ と${\displaystyle AC}$点 ⁠ ⁠ で交差し${\displaystyle D}$ます。
3. 中心⁠ ⁠${\displaystyle A}$、半径⁠ ⁠の${\displaystyle AD}$円弧を描きます。この円弧は、元の線分 ⁠ ⁠ と点 ⁠ ⁠ で交差します。${\displaystyle AB}$点⁠ ⁠${\displaystyle S}$ ⁠は、元の線分${\displaystyle S}$⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle AB}$を、黄金比の長さを持つ線分⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle AS}$と⁠ ⁠${\displaystyle SB}$に分割します。

外割による分割

1. 線分⁠ ⁠ を${\displaystyle AS}$描き、点⁠ ⁠から${\displaystyle S}$⁠ ⁠に垂直で⁠ ⁠ ⁠と同じ長さの線分⁠ ⁠ ⁠${\displaystyle SC}$を構築します。${\displaystyle AS}$${\displaystyle AS}$
2. 線分⁠ ⁠ を${\displaystyle AS}$⁠ ⁠${\displaystyle M}$で二等分します。
3. ⁠ ⁠ の${\displaystyle M}$周りの半径⁠${\displaystyle MC}$ ⁠の円弧は、点⁠ ⁠と⁠ ⁠ を通る直線( ⁠ ⁠の延長とも呼ばれます)と点⁠ ${\displaystyle B}$⁠で交差します。 ⁠ ⁠と構築された線分⁠ ⁠に対する比率は黄金比です。${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle AS}$${\displaystyle AS}$${\displaystyle SB}$

応用例は、「辺の長さが指定された五角形」、 「外接円が指定された十角形」、および「辺の長さが指定された十角形」の記事で参照できます。

上記の 2 つの異なるアルゴリズムは、長い線分と短い線分の比率が黄金比となる 2 つの直線上の線分を決定する幾何学的構成を生成します。

完全な円を描く 2 つの角度の大きさが黄金比になっているとき、小さい方の角度は黄金角と呼ばれ、大きさは⁠ ⁠${\displaystyle g}$です。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {2\pi -g}{g}}&={\frac {2\pi }{2\pi -g}}=\varphi ,\\[8mu]2\pi -g&={\frac {2\pi }{\varphi }}\approx 222.5^{\circ }\!,\\[8mu]g&={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}\approx 137.5^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

この角度は、植物の成長パターンにおいて、後続の葉が下にある葉からの日光を遮らないように、植物の茎の周りの葉の芽の最適な間隔として現れます。^[44]

正五角形において、対角線と辺の比は黄金比であり、交差する対角線は互いに黄金比で区切られます。正五角形の黄金比の特性は、頂点の 1 つを削除して形成される四角形にプトレマイオスの定理を適用することで確認できます。四角形の長辺と対角線が⁠ ⁠${\displaystyle a}$、短辺が⁠ ⁠${\displaystyle b}$の場合、プトレマイオスの定理により⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle a^{2}=b^{2}+ab}$となります。両辺を⁠ ⁠${\displaystyle ab}$で割ると、次の式が得られます (上記の § 計算を参照)。 $${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}=\varphi .}$$

五角形の対角線は五芒星、つまり 5 つの先端がある星型の多角形を形成し、その形状は基本的に⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$で表されます。基本的に、各辺の交点は他の辺を黄金比で分割します。4 色の図が示すように、短い線分の長さと、交差する 2 つの辺で囲まれた線分 (つまり、五芒星の中心にある逆五角形の 1 辺) の長さの比は ⁠ ⁠ です。${\displaystyle \varphi }$

五角形と五芒星の幾何学により、 ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$の次の値を計算できます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &=1+2\sin(\pi /10)=1+2\sin 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &={\tfrac {1}{2}}\csc(\pi /10)={\tfrac {1}{2}}\csc 18^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\cos(\pi /5)=2\cos 36^{\circ }\!,\\[5mu]\varphi &=2\sin(3\pi /10)=2\sin 54^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

正五角形の2つの対角線と1辺で形成される三角形は、黄金三角形または崇高三角形と呼ばれます。これは、頂角⁠ ⁠と底角⁠ ⁠を持つ鋭角二等辺三角形です。^[45] 2つの等しい辺は、底辺に対して黄金比です。^[46]正五角形の2辺と対角線で形成される三角形は、黄金グノモンと呼ばれます。これは、頂角⁠ ⁠と底角⁠ ⁠を持つ鈍角二等辺三角形です。その底辺は、2つの等しい辺に対して黄金比です。^[46]したがって、五角形は2つの黄金グノモンと中央の黄金三角形に分割できます。正五角形の5つの頂点は黄金三角形であり、^[46]正十角形の頂点をその中心点に接続して形成される10個の三角形も同様です。^[47]${\displaystyle 36^{\circ }}$${\displaystyle 72^{\circ }\!}$${\displaystyle 108^{\circ }}$${\displaystyle 36^{\circ }\!}$

黄金三角形の底角の 1 つを二等分すると、小さな黄金三角形と黄金のグノモンに分割されます。同様に、鋭角二等辺三角形はどれも相似三角形と鈍角二等辺三角形に分割できますが、黄金三角形は、底角が頂角の 2 倍になる唯一の二等辺三角形であるため、角の二等分線によってこの分割が行われる唯一の三角形です。黄金三角形の角の二等分線は、接する辺を黄金比で分割し、2 つの分割部分の面積も黄金比になります。^[46]

黄金グノモンの頂角を三等分すると、三等分線によってさらに小さな黄金グノモンと黄金三角形に分割される。三等分線は底辺を黄金比で分割し、2つの部分の面積は黄金比になる。同様に、鈍角三角形はどれも相似三角形と鋭角二等辺三角形に分割できるが、黄金グノモンは頂角が底角の3倍になる唯一の二等辺三角形であるため、この分割が角の三等分線によって行われる唯一の三角形である。^[46]

黄金比は、ロジャー・ペンローズが開発した平面の非周期的タイリングの一種であるペンローズ・タイリングに顕著に現れています。これはヨハネス・ケプラーの「五角形や十角形などの形状は、五角形だけでは埋められない隙間を埋めることができる」という発言に触発されたものです。 ^[48]このタイリングにはいくつかのバリエーションが研究されており、そのプロトタイプはすべて黄金比を示しています。

• ペンローズのこのタイルのオリジナル版では、正五角形と五芒星、五芒星の3つの頂点を持つ「ボート」図形、および「ダイヤモンド」形の菱形の4つの形状が使用されていました。^[49]
• 凧とダーツのペンローズタイリングでは、凧の3つの内角が⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$で、1つの内角が⁠ ⁠${\displaystyle 144^{\circ }\!}$である凧と、ダーツの2つの内角が⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }\!}$、1つの内角が⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }\!}$で、1つの非凸角が⁠ ⁠${\displaystyle 216^{\circ }\!}$である凹四辺形を使用します。特別なマッチングルールにより、タイルがどの辺でもどのように出会うかが制限されるため、どの頂点でも7通りのタイルの組み合わせが生まれます。凧とダーツはどちらも2つの長さの辺を持ち、互いに黄金比になっています。これら2つのタイルの面積も互いに黄金比になっています。^[48]
• 凧とダーツは、それぞれ対称軸で黄金三角形と黄金グノモンのペアに切断できます。適切なマッチングルールを使用すると、この文脈ではロビンソン三角形と呼ばれるこれらの三角形は、ペンローズタイリングの形式のプロトタイプとして使用できます。^{[48] [50]}
• 菱形のペンローズタイルには、2種類の菱形が含まれています。1つは角度が⁠ ⁠${\displaystyle 36^{\circ }}$と⁠ ⁠ の細い菱形、もう1つは角度が${\displaystyle 144^{\circ }\!}$⁠ ⁠${\displaystyle 72^{\circ }}$と⁠ ⁠ の${\displaystyle 108^{\circ }\!}$太い菱形です。すべての辺の長さは等しいですが、細い菱形の辺の長さと短い対角線の比は ⁠ ⁠ に等しく、太い${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$菱形の辺の長さと長い対角線の比も ⁠ ⁠ に等しくなります。凧形とダーツ形のタイルと同様に、2つの菱形の面積は互いに黄金比になっています。また、これらの菱形はロビンソン三角形のペアに分解できます。^[48]

ジョージ・オダムは、正三角形を含む⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$の構成を発見しました。2辺の中点を結ぶ線分を延長して外接円と交差させると、2つの中点と円との交点は黄金比になります。^[51]

ヨハネス ケプラーにちなんで名付けられたケプラーの三角形は、等比数列の辺を持つ唯一の直角三角形です。 これらの辺の長さは、2 つの数の 3 つのピタゴラス平均です。その辺にある 3 つの正方形の面積は、黄金比等比数列⁠ ⁠に従います。 $${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}}\mathbin {:} \varphi .}$$${\displaystyle \varphi \pm 1}$${\displaystyle \textstyle 1\mathbin {:} \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$

二等辺三角形のうち、内接円の半径と辺の長さの比が最大になるのは、ケプラー三角形の長い方の辺を共有する2つの鏡映コピーで形成される三角形です。 ^[52]同じ二等辺三角形は、底辺の半円の半径と周囲の比が最大になります。^[53]

最小の辺${\displaystyle s}$の長さを持つケプラーの三角形の場合、面積と鋭角 は次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}s^{2}{\sqrt {\varphi {\vphantom {+}}}},\\[5mu]\theta &=\sin ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 38.1727^{\circ }\!,\\[5mu]\theta &=\cos ^{-1}{\frac {1}{\varphi }}\approx 51.8273^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

黄金比は、黄金長方形の隣接する辺の長さを ⁠ ⁠ の比率で比例させます。[${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$ 54 ]^黄金長方形を積み重ねると、新しい黄金長方形が生成され、黄金長方形から正方形を削除または追加しても、長方形の比率は⁠ ⁠ の比率のままになります。黄金比は、フィボナッチ数とルーカス数の大きさの正方形と四分の一円を連続して配置した${\displaystyle \varphi }$黄金螺旋によって生成できます。黄金比は、正十二面体だけでなく、正二十面体でも顕著に表れます（詳細については、以下のセクションを参照してください）。^[55]

黄金菱形は、対角線が黄金比に比例する菱形であり、最も一般的には⁠ ⁠${\displaystyle 1\mathbin {:} \varphi }$である。^[56]このような比率の菱形の場合、その鋭角と鈍角は次のようになる。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &=2\arctan {1 \over \varphi }\approx 63.43495^{\circ }\!,\\[5mu]\beta &=2\arctan \varphi =\pi -\arctan 2=\arctan 1+\arctan 3\approx 116.56505^{\circ }\!.\end{aligned}}}$$

短対角線${\displaystyle d}$と長対角線${\displaystyle D}$の長さは、辺の長さ${\displaystyle a}$で表すと次のようになります 。

$${\displaystyle {\begin{aligned}d&={\frac {2a}{\sqrt {2+\varphi }}}=2{\sqrt {\frac {3-\varphi }{5}}}a\approx 1.05146a,\\[5mu]D&=2{\sqrt {\frac {2+\varphi }{5}}}a\approx 1.70130a.\end{aligned}}}$$

その面積は、⁠ ⁠${\displaystyle a}$と⁠ ⁠${\displaystyle d}$の観点から見ると、次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}A&=\sin(\arctan 2)\cdot a^{2}={2 \over {\sqrt {5}}}~a^{2}\approx 0.89443a^{2},\\[5mu]A&={{\varphi } \over 2}d^{2}\approx 0.80902d^{2}.\end{aligned}}}$$

辺の長さで表したその内接円の半径は⁠ ⁠${\displaystyle a}$ :

$${\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {5}}}.}$$

黄金菱形は、菱形三十面体、二黄金菱形、ビリンスキー十二面体^[57]、菱形六十面体^[56]の面を形成します。

対数螺旋は、一回転あたりの距離が等比数列になっている自己相似螺旋です。半径が四分の一回転ごとに黄金比の倍数で増加する対数螺旋を黄金螺旋と呼びます。これらの螺旋は、黄金比で増加する四分の一円で近似できます。^[59]またはフィボナッチ数列から生成されるその近似値^[60]は、同じ比率で増加する正方形の螺旋パターン内に内接して描かれることがよくあります。黄金螺旋の正確な対数螺旋形式は、⁠ ⁠の極座標方程式で記述できます。 ${\displaystyle (r,\theta )}$$${\displaystyle r=\varphi ^{2\theta /\pi }.}$$

すべての対数螺旋が黄金比に関係しているわけではなく、黄金比に関係している螺旋がすべて黄金螺旋と同じ形をしているわけでもない。例えば、黄金二等辺三角形の入れ子構造を内包する別の対数螺旋は、黄金螺旋の回転角度ではなく、回転するごとに黄金比で伸びる。${\displaystyle 108^{\circ }}$ [ 58${\displaystyle 90^{\circ }}$ ] 「^{より良い黄金螺旋」と呼ばれる別のバリ​​エーションでは、1/} 4回転ではなく、半回転ごとに黄金比で伸びる。^[59]

正十二面体とその双対多面体である二十面体は、その次元が黄金比に関連するプラトン立体である。十二面体は正五角形の面を持ち、二${\displaystyle 12}$十面体は正三角形を持ち、どちら${\displaystyle 20}$ にも辺がある。^[61]${\displaystyle 30}$

辺が⁠ ⁠${\displaystyle a}$の正十二面体の場合、外接球と内接球の半径、および中半径はそれぞれ( ⁠ ⁠${\displaystyle r_{u}}$、⁠ ⁠${\displaystyle r_{i}}$、⁠ ⁠${\displaystyle r_{m}}$ ) です。

一方、辺が⁠ ⁠${\displaystyle a}$の二十面体の場合、外接球面と内接球面の半径、および中半径は次のようになります。

正十二面体の体積と表面積は、次のように表すことができます${\displaystyle \varphi }$。

二十面体の場合も同様です。

これらの幾何学的値は、直交座標から計算できますが、直交座標は、 ⁠ ⁠ を${\displaystyle \varphi }$含む式を使用して与えることもできます。正十二面体の座標は上の図に表示されていますが、正二十面体の座標は次の巡回順列です。

$${\displaystyle (0,\pm 1,\pm \varphi ),\ (\pm 1,\pm \varphi ,0),\ (\pm \varphi ,0,\pm 1).}$$

3つの黄金長方形のセットは、正十二面体と正二十面体の内部で垂直に交差し、ボロミアンリングを形成します。^{[62] [55]}正十二面体では、黄金長方形の反対側の頂点のペアは五角形の面の中心と出会い、正二十面体では、その頂点で出会います。全体として、3つの黄金長方形は正二十面体の⁠ ⁠${\displaystyle 12}$頂点を含み、または正十二面体の⁠ ⁠${\displaystyle 12}$面の中心と交差します。 ^[61]

立方体は正十二面体に内接することができ、正十二面体の五角形の面の対角線のいくつかが立方体の辺となるため、辺の長さは黄金比になる。立方体の体積は正十二面体の体積の⁠ ⁠倍である。 ${\displaystyle 2/(2+\varphi )}$^[63]実際、正十二面体の内部にある黄金長方形は、内接する立方体と黄金比になっており、立方体の辺と黄金長方形の長辺はそれ自体が⁠ ⁠ の${\displaystyle \textstyle \varphi \mathbin {:} \varphi ^{2}}$比率になっている。一方、立方体の双対多面体である八面体は正二十面体に内接することができ、正二十面体の頂点は${\displaystyle 12}$、黄金比で辺を分割する点で八面体の辺に接する。[${\displaystyle 12}$ 64 ^]

黄金比の小数展開は、ニュートン法やハレー法などのルート探索法によって、方程式⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$または⁠ ⁠ (最初に${\displaystyle \textstyle x^{2}-5=0}$⁠ ⁠ を${\displaystyle {\sqrt {5}}}$計算する) に基づいて計算できます。ニュートン法を使用して黄金比の桁を計算するために必要な時間は基本的に ⁠ ⁠ であり、⁠${\displaystyle n}$ ⁠は⁠${\displaystyle O(M(n))}$ ⁠桁の${\displaystyle M(n)}$数を掛け合わせる時間計算量です。^{[65]これは、} πおよびeの既知のアルゴリズムよりもかなり高速です。整数演算のみを使用して簡単にプログラムできる代替方法は、2 つの大きな連続するフィボナッチ数を計算してそれらを割ることです。フィボナッチ数⁠ ⁠と⁠ ⁠の比率は、それぞれ⁠ ⁠桁で、黄金比の⁠ ⁠ ⁠ 桁以上になります。黄金比の小数展開⁠ ⁠ ^{[1] は、 10 兆 (} ⁠ ⁠ ) 桁の精度で計算されています。 ^[66]${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{25001}}$${\displaystyle F_{25000}}$${\displaystyle 5000}$${\displaystyle 10{,}000}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \textstyle 1\times 10^{13}=10{,}000{,}000{,}000{,}000}$

複素平面では、 ⁠ ⁠を満たす⁠ ⁠ (整数⁠ ⁠ )の5乗根 は五角形の頂点です。これらは2 次整数の環を形成しませんが、任意の 1 の 5 乗根とその複素共役⁠ ⁠の和は⁠ ⁠の元である 2 次整数です。具体的には、 ${\displaystyle \textstyle z=e^{2\pi ki/5}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \textstyle z^{5}=1}$${\displaystyle z+{\bar {z}}}$${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{0}+e^{-0}&=2,\\[5mu]e^{2\pi i/5}+e^{-2\pi i/5}&=\varphi ^{-1}=-1+\varphi ,\\[5mu]e^{4\pi i/5}+e^{-4\pi i/5}&=-\varphi .\end{aligned}}}$$

これは、 ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle z^{10}=1}$を満たす残りの10乗根にも当てはまります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}e^{\pi i}+e^{-\pi i}&=-2,\\[5mu]e^{\pi i/5}+e^{-\pi i/5}&=\varphi ,\\[5mu]e^{3\pi i/5}+e^{-3\pi i/5}&=-\varphi ^{-1}=1-\varphi .\end{aligned}}}$$

ガンマ関数 ⁠ ⁠${\displaystyle \Gamma }$の場合、方程式⁠ ⁠の唯一の解は${\displaystyle \Gamma (z-1)=\Gamma (z+1)}$⁠ ⁠${\displaystyle z=\varphi }$と⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle z=-\varphi ^{-1}}$です。

黄金比が記数法の基数として使用される場合(黄金比基数を参照、五進法または-n${\displaystyle \varphi }$進法と呼ばれることもあります)、環⁠ ⁠内の二次整数、つまり⁠ ⁠ ⁠および⁠ ⁠ ⁠内の⁠ ⁠の形式の数は終端表現を持ちますが、有理数には終端表現がありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\varphi ]}$${\displaystyle a+b\varphi }$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

黄金比は双曲幾何学にも現れ、理想三角形の1辺の点から他の2辺のうち近い方までの最大距離として現れます。この距離、つまり理想三角形に内接する円の接点によって形成される正三角形の辺の長さは⁠ ⁠${\displaystyle 4\log(\varphi )}$です。^[67]

黄金比はモジュラー関数の理論にも登場する。⁠ ⁠${\displaystyle }$に対して、 と する と、 ⁠ ⁠および⁠ ⁠連分数の ⁠ ⁠ は⁠ ⁠として評価される。 ⁠ ⁠関数は、モジュラー群の合同部分群⁠ ⁠に対して不変である。 また、⁠ ⁠ ^[68]を満たす正の実数⁠ ⁠ ⁠および⁠ ⁠に対しても不変である。$${\displaystyle R(q)={\cfrac {q^{1/5}}{1+{\cfrac {q}{1+{\cfrac {q^{2}}{1+{\cfrac {q^{3}}{1+\ddots }}}}}}}}.}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi })={\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi ,\quad R(-e^{-\pi })=\varphi ^{-1}-{\sqrt {2-\varphi ^{-1}}}}$$$${\displaystyle R(e^{-2\pi i/\tau })={\frac {1-\varphi R(e^{2\pi i\tau })}{\varphi +R(e^{2\pi i\tau })}}}$$${\displaystyle \operatorname {Im} \tau >0}$${\displaystyle \textstyle (e^{z})^{1/5}}$${\displaystyle \textstyle e^{z/5}}$${\displaystyle \textstyle \tau \mapsto R(e^{2\pi i\tau })}$${\displaystyle \Gamma (5)}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \textstyle ab=\pi ^{2},}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2a}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi +R{{\bigl (}e^{-2b}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi {\sqrt {5}},\\[5mu]{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-a}}{\bigr )}}{\Bigr )}{\Bigl (}\varphi ^{-1}-R{{\bigl (}{-e^{-b}}{\bigr )}}{\Bigr )}&=\varphi ^{-1}{\sqrt {5}}.\end{aligned}}}$$

⁠ ⁠ は${\displaystyle \varphi }$ピソット・ヴィジャヤラガヴァン数です。^[69]

スイスの建築家 ル・コルビュジエは、モダン ・インターナショナル・スタイルへの貢献で有名で、調和と比例の体系をデザイン哲学の中心に据えていた。ル・コルビュジエの宇宙の数学的秩序への信仰は、黄金比とフィボナッチ数列と密接に結びついており、彼はこれらを「目に見えて互いの関係が明確なリズム。そしてこれらのリズムは人間の活動の根源そのものである。それらは有機的な必然性によって人間に響き渡る。それは子供、老人、未開人、学者が黄金比を描き出すのと同じ微妙な必然性である」と表現した。^{[70] [71]}

ル・コルビュジエは、建築物の比率の尺度として、モデュロールシステムで黄金比を明示的に使用しました。彼はこのシステムを、ウィトルウィウス、レオナルド ダ ヴィンチの「ウィトルウィウス的人体図」、レオン バッティスタ アルベルティの作品、および建築の外観と機能を改善するために人体の比率を使用した他の人々の長い伝統の継続であると見なしていました。

ル・コルビュジエは、黄金比に加えて、人間の寸法、フィボナッチ数、倍数にも基づいてこのシステムを構築した。彼は人間の比率における黄金比の示唆を極限まで推し進め、模型の人体の高さを臍のところで2つの黄金比の部分に分け、さらに膝と喉でそれらの部分を黄金比でさらに分割した。彼はこれらの黄金比の比率をモデュロール・システムに使用した。ル・コルビュジエが1927年にガルシュに建てたヴィラ・スタインは、モデュロール・システムの適用例である。このヴィラの長方形の平面図、立面図、内部構造は、黄金長方形に非常に近似している。^[72]

もう一人のスイス人建築家、マリオ・ボッタは、幾何学図形をデザインのベースにしている。彼がスイスで設計したいくつかの個人住宅は、正方形と円、立方体と円柱で構成されている。彼がオリリオで設計した住宅では、黄金比は住宅の中央部分と側面部分の比率となっている。^[73]

パチョーリの『神の比例』に描かれたレオナルド・ダ・ヴィンチの多面体の図から、彼が絵画に黄金比を取り入れたのではないかと推測する人もいる。しかし、例えば『モナ・リザ』が黄金比の比率を採用しているという説は、レオナルド自身の著作では裏付けられていない。^[74]同様に、レオナルドの『ウィトルウィウス的人体図』は黄金比と関連して描かれることが多いが、人物の比率は実際には黄金比と一致しておらず、テキストでは整数比についてのみ言及されている。^{[75] [76]}

サルバドール・ダリは、マティラ・ギカの作品に影響を受けて、^[77]傑作『最後の晩餐の秘跡』で黄金比を明示的に使用しました。キャンバスの寸法は黄金の長方形です。遠近法で縁が互いに黄金比に見えるように描かれた巨大な十二面体が、イエスの上と後ろに吊り下げられ、構図を支配しています。^{[74] [78]}

1999年に行われた、様々な偉大な画家による565点の作品の統計的研究によると、これらの画家はキャンバスのサイズに黄金比を使用していなかったことが判明しました。この研究では、研究対象の絵画の2辺の平均比率は⁠ ⁠${\displaystyle 1.34}$であり、個々の画家の平均は⁠ ⁠${\displaystyle 1.04}$ (ゴヤ)から⁠ ⁠${\displaystyle 1.46}$ (ベリーニ) までの範囲であると結論付けられました。^[79]一方、パブロ・トストは、有名な画家による350点以上の作品をリストアップしており、その中には黄金長方形と ⁠ ⁠ 比率のキャンバスを持つ作品が100点以上あり、⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {5}}}$、 ⁠ ⁠ 、⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$、⁠ ⁠など${\displaystyle 3}$の比率の作品もありました。^[80]${\displaystyle 4}$${\displaystyle 6}$

ヤン・チヒョルトによれば、

本当に美しいページの比率、${\displaystyle 2\mathbin {:} 3}$黄金比${\displaystyle 1\mathbin {:} {\sqrt {3}}}$、そして黄金比からの逸脱が稀だった時代がありました。1550年から1770年の間に制作された多くの本は、これらの比率を0.5ミリメートル以内の精度で正確に示しています。^[82]

いくつかの情報源によると、黄金比はトランプ、ポストカード、ポスター、電灯のスイッチプレート、ワイドスクリーンテレビなどの日常的なデザインに使用されているとのことです。^[83]

トーゴの国旗の縦横比（幅と高さの比）は、設計者によれば黄金比となるように意図されていた。^[84]

エルノー・レンヴァイは、バルトーク・ベーラの作品は黄金比と音響音階という2つの対立するシステムに基づいていると分析しているが^[85]、他の音楽学者はその分析を否定している。^[86]フランスの作曲家エリック・サティは、バラ十字のソナタを含むいくつかの作品で黄金比を使用している。黄金比は、ドビュッシーのImages （第1シリーズ、1905年）からのReflets dans l'eau（水の反射）の音楽セクションの構成にも明らかであり、「キーのシーケンスは34、21、13、8の間隔で示され、主要なクライマックスはファイの位置にあります」。^[87]

音楽学者ロイ・ハワットは、ドビュッシーの『海』の形式的な境界が黄金比と正確に一致していると指摘している。^[88]トレジーズは、その内在的証拠を「注目に値する」としているが、ドビュッシーが意識的にそのような比率を追求したことを示す文書や報告された証拠は存在しないと警告している。^[89]

ハンス・ツェンダーやハインツ・ボーレンなどの音楽理論家は、黄金比を基本音程とする音階である833セント音階を実験した。音程の対数スケールであるセントで測ると、黄金比は約833.09セントとなる。 ^[90]

ヨハネス・ケプラーは「男と女のイメージは神の比率から生まれた。私の意見では、植物の繁殖と動物の生殖行為は同じ比率である」と書いている。^[91]

心理学者アドルフ・ツァイシングは、黄金比が葉序に現れることに注目し、自然界のこれらのパターンから黄金比は普遍的な法則であると主張した。^[92]ツァイシングは1854年に「自然と芸術の両方の領域で美と完全性を求める」という普遍的な正統法則について書いた。 ^[93]

しかし、自然界における黄金比の多くの明らかな現れ、特に動物の寸法に関しては、それは架空のものであると主張する人もいます。^[94]

準一次元イジング 強磁性体 （コバルトニオブ酸塩）は、中性子散乱で調べたところ、最も低い2つの励起状態が黄金比にあることが示された（対称性を持つ）励起状態が予測された。具体的には、絶対零度近くで起こるスピン励起中のこれらの量子相転移は、秩序相でのキンク対から常磁性相でのスピン反転を示し、臨界磁場のすぐ下で、黄金比に近づく低エネルギーで鋭いモードを持つスピンダイナミクスを明らかにした。^[95]${\textstyle {\ce {CoNb2O6}}}$${\displaystyle 8}$${\displaystyle E_{8}}$

均等分布のいくつかのどの定義に対しても、与えられた数のノードを球面上に均等に配置するための一般的なアルゴリズムは知られていない（例えば、トムソン問題やタムズ問題を参照）。しかし、球面を等しい表面積の平行な帯に分割し、各帯に円の黄金分割、つまり⁠ ⁠${\displaystyle 360^{\circ }~\!/\varphi \approx 222.5^{\circ }\!}$間隔の経度に 1 つのノードを配置することで、有用な近似が得られる。この方法は、学生参加型衛星Starshine-3の⁠ ⁠${\displaystyle 1500}$ミラーの配置に使用された。^[96]

黄金比は黄金分割検索にとっても 重要な要素です。

黄金比に関する議論の例として、以下のものが挙げられます。

• 脊椎動物（人間を含む）の体の特定の比率は、しばしば黄金比であると主張される。例えば、連続する指骨と中手骨（指の骨）の比率は、黄金比に近いと言われている。しかし、特定の個人におけるこれらの要素の実際の測定値には大きなばらつきがあり、問題となる比率は黄金比から大幅に異なることが多い。^{[97] [98]}
• オウムガイなどの軟体動物の殻は黄金比になっているとよく言われる。^[99]オウムガイの殻の成長は対数螺旋に従っており、時には対数螺旋は黄金比と関係があると誤って主張されることもある。 ^[100]また、時には新しい殻はそれぞれ前の殻に比べて黄金比になっていると主張されることもある。^[101]しかし、オウムガイの殻の測定ではこの主張は裏付けられていない。^[102]
• 歴史家ジョン・マンは、グーテンベルク聖書のページと本文部分は「黄金比に基づいている」と述べています。しかし、彼自身の測定によると、ページの高さと幅の比率は⁠ ⁠${\displaystyle 1.45}$です。^[103]
•  1876年頃のグスタフ・フェヒナー ^[104]に始まる心理学者による研究は、黄金比が人間の美の認識に影響を与えるという考えを検証するために考案されました。フェヒナーは黄金比を中心とした長方形の比率が好まれることを発見しましたが、その後、そのような仮説を慎重に検証する試みは、せいぜい結論が出ませんでした。^{[105] [74]}
• 投資において、テクニカル分析の専門家の中には、黄金比を使って株式や商品の価格水準のサポート、または価格上昇に対する抵抗を示す人もいます。価格が大幅に上下した後、黄金比によって開始価格に関連した価格またはその近くに新たなサポートと抵抗のレベルが見つかると考えられています。^{[106]投資における黄金比の使用は、}フィボナッチ数列によって記述されるより複雑なパターン（例：エリオット波動原理やフィボナッチ・リトレースメント）にも関連しています。しかし、他の市場アナリストは、これらのパーセンテージやパターンはデータによって裏付けられていないことを示唆する分析を発表しています。^[107]

ギザの大ピラミッド（クフ王のピラミッドとも呼ばれる）は、ピラミッド学者によって、その断面が二重のケプラーの三角形であると分析されている。この理論が正しいとすれば、黄金比はピラミッドの片側の中心点からその頂点までの距離と、同じ中心点からピラミッドの基底の中心までの距離の比を表すことになる。しかし、ピラミッドの外側の表面が取り除かれているため測定が不正確になり、この理論を円周率や整数比に基づくピラミッドの比率に関する他の数値理論と区別することは不可能である。現代の学者のコンセンサスは、このピラミッドの比率は黄金比に基づいていないということである。なぜなら、そのような基準は、ピラミッド建設当時のエジプトの数学に関する既知の事実と、他の著作で使用されているエジプトの建築と比率の理論の両方と矛盾するからである。^[108]

パルテノン神殿のファサード（紀元前432年頃）やそのファサードの要素、その他の部分は黄金比で囲まれているという説もある。^[110]ギリシャ人が黄金比と美的関係を持っていたことを否定する学者もいる。例えば、キース・デブリンは「確かに、アテネのパルテノン神殿は黄金比に基づいているというよく言われる主張は、実際の測定値によって裏付けられていない。実際、ギリシャ人と黄金比に関する話は、すべて根拠がないようだ」と述べている。^[111] ミドハト・J・ガザレは「黄金比の数学的特性が研究されたのはユークリッドまで待たなければならなかった」と断言している。^[112]

ある研究者は、紀元前5世紀から紀元後2世紀にかけての15の寺院、18の記念碑的な墓、8つの石棺、58の墓石の測定から、黄金比は紀元前5世紀の古典的なギリシャ建築にはまったく存在せず、その後の6世紀にもほとんど存在しなかったという結論を下しました。^[113] ウィトルウィウス（紀元前1世紀）などの後の資料では、整数で表現できる比率、つまり無理数ではなく比例する比率についてのみ議論されています。

セクショニスト・ドール（黄金分割）は、キュビズムやオルペウス主義に関連する画家、彫刻家、詩人、批評家の集団であった。^[114] 1911年から1914年頃まで活動した彼らは、キュビズムが孤立した運動ではなく、偉大な伝統の継続を表していることを強調するため、またジョルジュ・スーラに関連する数学的調和に敬意を表して、この名称を採用した。^[115]（スーラが絵画に黄金比を採用したと主張する著者もいるが、スーラの著作や絵画は、彼が単純な整数比を採用しており、黄金比に近似しているのは偶然であることを示唆している。）^[116]キュビストたちは、その調和、動きと形の幾何学的構造に、「自然に対するアイデアの優位性」、「概念の絶対的な科学的明快さ」を観察した。^[117]しかし、数学的調和へのこうした一般的な関心にもかかわらず、1912年に開催された有名なサロン・ド・ラ・セクション・ドール展に展示された絵画のどの構成にも黄金比が使われていたかどうかは、判断が難しい。例えば、リヴィオは黄金比は使われていないと主張しており、^[118]マルセル・デュシャンもインタビューでそのように述べている。^[119]一方、分析によると、フアン・グリスは黄金比を作品の構成に利用しており、その作品は展覧会で展示された可能性が高いが、確定的ではない。^{[119] [ 120]}美術史家ダニエル・ロビンズは、この展覧会の名前は数学用語への言及に加えて、アルベール・グレーズやクレテイユ修道院の元メンバーが関わっていた以前のバンドー・ドール・グループにも言及していると主張している。^[121]

ピエト・モンドリアンは幾何学的な絵画に黄金比を多用したと言われているが^{[122] 、他の専門家（批評家の}イヴ・アラン・ボワを含む）はこれらの主張を否定している。^{[74] [123]}

• 黄金比でデザインされた作品一覧
• 金属の意味
• プラスチック比
• 神聖幾何学
• スーパー黄金比
• 白銀比

• ワイスタイン、エリック・W.「黄金比」。マスワールド。
• ボゴモルニー、アレクサンダー(2018)。「幾何学における黄金比」。Cut -the-Knot。
• ノット、ロン。「黄金比：ファイ」。数学教授による情報と活動。
• 消えない神話は、Wayback Machineに 2020-11-12 にアーカイブされています。著者はKeith Devlinで、文化における黄金比の使用に関する複数の疑惑を取り上げています。
• ランドール・マンローが収集した偽の黄金螺旋
• ゼノンのネズミ問題と対数螺旋に関する YouTube 講義