5セル

5セル （4単体）
単純な回転を行う5セルの3D投影
タイプ	凸正則4次元多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3}
コクセター図
細胞	5 {3,3}
顔	10 {3}
エッジ	10
頂点	5
頂点図形	（四面体）
ペトリー多角形	五角形
コクセターグループ	A 4、[3,3,3]
デュアル	自己双対
プロパティ	凸面、等角面、等等面体、等面体
均一インデックス	1

幾何学において、5セルは、シュレーフリ記号{3,3,3}を持つ凸4次元多面体である。これは、5つの四面体セルで囲まれた5頂点の4次元オブジェクトである。C5、ハイパーテトラヘドロン、_{ペンタコロン}、 [ 1 ] ^、ペンタトープ、ペンタヘドロイド、^[2]四面体ピラミッド、または4単体（コクセターの多面体）^[3]としても知られ、最も単純な凸4次元多面体であり、3次元の四面体および2次元の三角形に類似している。5セルは、四面体の底部と4つの四面体の側面を持つ 4次元ピラミッドである。 ${\displaystyle \alpha _{4}}$

正5 セルは5 つの正四面体に囲まれており、6 つの正凸 4 多面体(プラトン立体の 4 次元類似体) のうちの 1 つです。正 5 セルは、正四面体のすべての頂点から 1 辺の長さだけ離れた 5 番目の頂点を追加することで、正四面体から構築できます。これは 3 次元空間では実行できません。正 5 セルは、10 本のマッチ棒を使用して、すべて同じサイズの 10 個の正三角形を作成するという問題の解です。すべての三角形の各辺は、正確に 1 本のマッチ棒であり、三角形とマッチ棒は互いに交差しません。3 次元では解は存在しません。

5 セルは 4 次元単体であり、最も単純な4 次元多面体です。言い換えると、5 セルは高次元の四面体に相当する多角形です。 ^{[4]これは、すべてが同じ}超平面上にない任意の 5 つの点によって形成されます(四面体はすべてが同じ平面上にない任意の 4 つの点によって形成され、三角形はすべてが同じ直線上にない任意の 3 つの点によって形成されます)。このような 5 つの点はいずれも 5 セルを構成しますが、通常は正則 5 セルではありません。正則5 セルは、1 つを除いて他の正則凸 4 次元多面体のいずれにも存在しません。1 つを除いて、600 頂点の120 セルは、120 個の正則 5 セルの 合成物です。

5セルは自己双対であり、その双対多面体は5セルそのものである。^[5] 3次元空間との最大交差は三角柱である。その二色角はである。^[6]${\textstyle \arccos(-1/4)\approx 75.52^{\circ }}$

これは、与えられた半径または頂点数における体積の順に並べた6つの凸正4次元多面体の列の最初のものである。^[7]

双対構成の 2 つの 5 セルの凸包は、二分円30 セル であり、二分円 5 セルの双対です。

この配置行列は5 セルを表します。行と列は頂点、辺、面、セルに対応します。対角の数字は、5 セル全体で各要素がいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内またはその要素でいくつ出現するかを示します。この自己双対多面体の行列は、180 度回転したものと同じです。^[8] k面は対角線の左側の行として読み取ることができ、k図形は対角線の後の行として読み取ることができます。^[9]

5 セルのこれらの要素はすべて、ブランコ・グリュンバウムの5 点のベン図に列挙されています。これは文字通り、平面に投影された通常の 5 セルの図解です。

5 セルには、頂点を通る二角形の中心平面のみがあります。5 セルには 10 個の二角形の中心平面があり、各頂点のペアは 5 セルの軸ではなく辺です。各二角形平面は他の 3 つの平面と直交しますが、完全に直交する平面はありません。5 セルの特徴的な等傾斜回転には、不変平面のペアとして、10 個の二角形平面とそれらの完全に直交する中心平面 (5 セルの頂点と交差しない 0 角形平面) があります。

5 セルを 5 つの辺に沿って 5 つの頂点すべてで巡回させる方法は 2 つしかないため、5 セルのグレート ディゴンの 2 つの個別のホップ ファイブレーションが存在します。2 つのファイブレーションはそれぞれ、5 つの頂点すべてを周期 5 の巡回で回転させる左右の等傾斜回転のペアに対応します。5 セルには、周期 5 の等傾斜(5 つの頂点すべてを通る円) が 2 つしかなく、それぞれが 2 つの異なるファイブレーションで右回転の単一の等傾斜と左回転の単一の等傾斜として機能します。

以下に、回転する 5 セルを 4 次元目が圧縮されて色で表示された状態で視覚化したものを示します。クリフォード トーラスは長方形 (ラッピング) の形で描かれています。

• 4D回転の視覚化
• XY平面で回転するだけ
• ZW平面で単純に回転する
• XY平面とZW平面で4:3の角速度比で二重回転
• 左等傾斜回転
• 右等傾斜回転

A ₄コクセター平面は、5 セルを正五角形と五芒星に投影します。5 セルの A _{3コクセター平面投影は、}四角錐の投影です。正 5 セルの A _{2コクセター平面投影は、2 つの反対の頂点が中心にある}三角両錐(向かい合って結合した 2 つの四面体) の投影です。

5 セルなどの単体の場合、特定の不規則な形式は、ある意味では、通常の形式よりも基本的です。通常の 5 セルは 4 次元空間や通常の 4 次元多面体を満たすことはできませんが、不規則な 5 セルでも満たすことができます。これらの特徴的な 5 セルは、さまざまな 4 次元多面体を生み出す さまざまな対称グループの基本ドメインです。

4-オルソスキームは、10 面すべてが直角三角形である 5 セルです。(5 つの頂点は、互いに面結合した5 つの四面体セルを形成し、合計 10 の辺と 10 の三角形の面があります。)オルソスキームは、すべての辺が相互に垂直であるツリーの凸包である不規則な単体です。4 次元オルソスキームでは、ツリーは、3 つの直角ターンを作成する線形パスで 5 つの頂点すべてを接続する 4 つの垂直な辺で構成されます。オルソスキームの要素もオルソスキームです (正単体の要素も正単体であるのと同じです)。4-オルソスキームの各四面体セルは3-オルソスキームであり、各三角形の面は 2-オルソスキーム (直角三角形) です。

オルソスキームは正多面体の特性単体です。なぜなら、各正多面体は、その特定の特性オルソスキームの境界面における反射によって生成されるからです。 ^[10]たとえば、等しい長さの垂直辺を持つ 4 オルソスキームの特殊なケースは、3 次元立方体の 4 次元アナログである4 次元立方体(テッセラクトまたは8 セルとも呼ばれる) の特性オルソスキームです。4 オルソスキームの 3 つの垂直辺が単位長さである場合、そのすべての辺の長さは√ 1、√ 2、√ 3、または√ 4であり、これは正確に単位 4 次元立方体の弦の長さ(4 次元立方体の辺とそのさまざまな対角線の長さ) です。したがって、この 4 次元正射影は 4 次元立方体内に収まり、4 次元立方体は (すべての通常の凸多面体と同様に)その特性正射影のインスタンスに分解できます。

3 直交配位は簡単に図示できますが、4 直交配位は視覚化が困難です。4 直交配位は、 3 直交配位を底辺とする四面体ピラミッドです。3 直交配位よりも 4 辺多く、底辺の 4 つの頂点を頂点 (5 セルの 5 番目の頂点) に接続します。3 立方体の図に示されている 6 つの 3 直交配位のうち、いずれか 1 つを選択します。立方体の 8 つの頂点のうち 4 つに接し、その 4 つの頂点は 2 つの直角の曲がり角をなす 3 辺のパスによってリンクされていることに注意してください。この 3 次元直交配位が 4 次元直交配位の基礎であると想像してください。その結果、4 つの頂点のそれぞれから、見えない 4 次元直交配位の辺が 5 番目の頂点 (3 次元立方体の外側にあり、図にはまったく表示されません) に接続します。4 つの追加辺はすべて同じ頂点に到達しますが、長さはすべて異なります。最初の辺は、3 辺直交パスの一方の端にあり、3 回目の 90 度回転を行って 4 番目の直交√ 1辺でそのパスを延長し、頂点に対して垂直に 4 番目の次元に到達します。4 つの追加辺の 2 番目は、立方体面の√ 2対角線です (図の 3 次元立方体ではなく、テッセラクトにある 8 つの 3 次元立方体のうちの別のものの)。3 番目の追加辺は、 3 次元立方体の√ 3対角線です (これも、元の図の 3 次元立方体ではありません)。 4 番目の追加辺 (直交パスのもう一方の端) は、テッセラクト自体の長径で、長さは√ 4です。この辺は、テッセラクトの中心を正確に通り、反対側の頂点 (反対側の 3 次元立方体の頂点) に達します。つまり、頂点は、4 次元立方体の特性 5 セルに、 √ 1辺が4 つ、√ 2辺が 3 つ、√ 3辺が 2 つ、√ 4辺が 1 つあります。

4キューブ24の4-直交図に分解できる 8 通りの方法があり、6 つの 4 次元直交配色がそれぞれ 4 つの直交√ 4四次元体の長径を囲みます。4 次元立方体は、同じ特徴を持つ 4 次元直交配色の 384 個の小さなインスタンスに分解することもできますが、その方法は 1 つだけで、すべての対称超平面を一度に使用して、4 次元立方体の中心ですべて交わる 384 個の 4 次元直交配色に分割します。

より一般的には、任意の正多面体は、その特徴的正射影のg 個のインスタンスに分割することができ、それらはすべて正多面体の中心で交わります。^[11]数gは多面体の位数であり、単一の鏡面正射影インスタンスがその自身の面に反映されたときに多面体を構成する特徴的正射影の反映されたインスタンスの数です。さらに一般的には、特徴的単体は、多面体のすべての必須要素を備えているため、均一な多面体を埋めることができます。また、要素間の必要な角度 (90 度以上) もすべて備えています。特徴的単体は多面体の遺伝コードです。スイスアーミーナイフのように、複製によって多面体を構築するために必要なものがすべて 1 つずつ含まれています。

正5セルを含むすべての正多面体には、その特性正方格子がある。正5セルの特性5セルである4正方格子がある。これは、正四面体の特性四面体に基づく四面体ピラミッドである。正5セルこの特徴的な4-直交図は120例に分解できる。唯一の方法は、すべての対称超平面を一度に使用して、120 個の 4 直交スキームに分割し、それらはすべて通常の 5 セルの中心で交わります。

正 5 セルの特性 5 セル (4 正方格子) には、その基本特性四面体 (3 正方格子) よりも 4 つの辺が多くあり、これらの辺は、基本の 4 つの頂点を頂点 (正 5 セルの中心にある 4 正方格子の 5 番目の頂点) に接続します。正 4 多面体の中心で交わる各 4 正方格子の 4 つの辺の長さは等しくありません。これは、正 4 多面体の 4 つの特性半径 (頂点半径、辺の中心半径、面の中心半径、およびセルの中心半径) であるためです。正 5 セルが単位半径で辺の長さが である場合、その特性 5 セルの 10 辺は、直角三角形の外部面の周りで 、 、（特性角 𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺）の長さを持ち、[ a ]、^、、（特性四面体の外部 3 直交配位面の他の 3 辺で、正四面体の特性半径である）、プラス、、、（正 5 セルの特性半径である辺）を持ちます。直交配位の直交辺に沿った 4 辺のパスは、、、であり、最初に正 5 セルの頂点から正 5 セルの辺の中心まで行き、次に 90° 回転して正 5 セルの面の中心に行き、次に 90° 回転して正 5 セルの四面体セルの中心に行き、最後に 90° 回転して正 5 セルの中心に戻ります。 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{10}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{20}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{20}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$${\displaystyle {\sqrt {1}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{30}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{15}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{60}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{16}}}}$

5 セルには対称性の低い形式が多数存在し、その中には均一な多面体の頂点図形として見られるものも含まれます。

四面体ピラミッドは、 5 セルの特殊なケースで、多面体ピラミッドであり、 3 次元空間の超平面内の正四面体の底面と、超平面上の頂点として構築されます。ピラミッドの​​4 つの側面は、三角錐のセルで構成されています。

多くの一様5次元多面体には、シュレーフリ記号( )∨{3,3} を持つ四面体ピラミッド 頂点図形があります。

他の一様 5 次元多面体には、不規則な 5 セルの頂点図形があります。一様多面体の頂点図形の対称性は、コクセター図の環状ノードを削除することによって表されます。

5セルは、4次元リングに折り畳まれた5つの連鎖四面体のBoerdijk-Coxeterらせんとして構築できます。 ^{[15] 10個の三角形の面は、}三角形のタイリング内の2Dネットで見ることができ、各頂点の周りに6つの三角形がありますが、4次元に折り畳むと辺が一致するようになります。紫色の辺は正五角形を形成し、これが5セルのペトリ多角形です。青色の辺は2つおきの頂点を接続し、 5セルのクリフォード多角形である五芒星を形成します。五芒星の青い辺は、5セルの等傾斜の弦であり、等傾斜回転中に頂点がたどる円形の回転パスで、クリフォード変位とも呼ばれます。

5つの四面体の網を4次元空間で折り畳み、各四面体が他の4つの四面体と面結合するようにすると、結果として得られる5セルには合計5つの頂点、10の辺、10の面があります。各頂点で4つの辺が交わり、各辺で3つの四面体セルが交わります。これにより、6つの四面体がそのセルになります。^[6]

最も単純な直交座標系は、(2,0,0,0)、(0,2,0,0)、(0,0,2,0)、(0,0,0,2)、(𝜙,𝜙,𝜙,𝜙)で、辺の長さは 2 √ 2です。ここで、𝜙 は黄金比です。^[16]これらの座標は原点中心ではありませんが、それぞれから減算すると、4次元多面体の外心が半径 の原点に移動し、座標は次のようになります。 ${\displaystyle (1,1,1,1)/(2-{\tfrac {1}{\phi }})}$${\displaystyle 2(\phi -1/(2-{\tfrac {1}{\phi }}))={\sqrt {\tfrac {16}{5}}}\approx 1.7888}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3,1\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left(1,1,1,{\tfrac {2}{\phi }}-3\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

${\displaystyle \left({\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }},{\tfrac {2}{\phi }}\right)/({\tfrac {1}{\phi }}-2)}$

上記と同じ半径と辺の長さを持つ原点中心の座標の次のセットは、3 次元空間内の 正四面体ベースを持つ超ピラミッドとして見ることができます。

${\displaystyle \left(1,1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(1,-1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,1,-1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(-1,-1,1,{\frac {-1}{\sqrt {5}}}\right)}$

${\displaystyle \left(0,0,0,{\frac {4}{\sqrt {5}}}\right)}$

これらまたは前の座標セットを でスケーリングすると、辺の長さが である単位半径の原点中心の正規 5 セルが得られます。超ピラミッドの座標は次のようになります。 ${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{4}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left({\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(-{\sqrt {5}},-{\sqrt {5}},{\sqrt {5}},-1\right)/4}$

${\displaystyle \left(0,0,0,1\right)}$

辺の長さが 2、半径が である別の原点中心の正 5 セルの頂点の座標は次のとおりです。 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {8}{5}}}\approx 1.265}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-2{\sqrt {\frac {2}{5}}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

これらを単位半径と辺の長さにスケーリングすると、次のようになります。 ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{8}}}}$${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},{\sqrt {10}},\pm {\sqrt {30}}\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},{\sqrt {5}},-{\sqrt {40}},0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left({\sqrt {3}},-{\sqrt {45}},0,0\right)/(4{\sqrt {3}})}$

${\displaystyle \left(-1,0,0,0\right)}$

4 次元単体（辺が√ 2、半径が 1）の頂点は、5 次元空間の超平面上で、（0,0,0,0,1）または（0,1,1,1,1）の（異なる）順列として、より簡単に構築できます。これらの位置では、それぞれ5 次元正多面体または修正五面体の面になります。

2 つの 5 セルの二重構成の複合体は、赤と青の 5 セルの頂点と辺を持つこの A5コクセター平面投影で見ることができます。この複合体は [[3,3,3]] 対称性を持ち、次数は 240 です。これら 2 つの 5 セルの交差は、均一なビットランケート 5 セルです。=∩。

この複合語は、 2D六芒星の4D類似物として見ることができます。6/2⁠ } と2 つの四面体の3D複合体です。

ペンタコロン（5細胞）は、 [3,3,3]コクセター群から構成される9つの均一な多細胞体の中で最も単純なものである。

これは、四面体頂点図形を持つ正多面体の {p,3,3} シーケンス、つまりユークリッド 4 次元空間の四角形{4,3,3} と120 セル{5,3,3}、および双曲空間の六角形タイリング ハニカム{6,3,3} にあります。

これは、 16 セルの{3,3,4} と600 セルの{3,3,5}とともに、四面体セルを持つ 3 つの {3,3,p}正多面体のうちの 1 つです。双曲空間の6 次四面体ハニカム{3,3,6} にも四面体セルがあります。

これは24セル{3,4,3}と同様に自己双対であり、回文の{3,p,3}シュレーフリ記号を持ちます。

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