対数螺旋

対数螺旋、等角螺旋、または成長螺旋は、自然界によく見られる自己相似螺旋曲線です。対数螺旋を最初に記述したのはアルブレヒト・デューラー（1525年）で、彼はそれを「永遠の線」（「ewige Linie」）と呼びました。^{[ 1 ] [ 2 ]} 1世紀以上後、この曲線はデカルト（1638年）によって議論され、後にヤコブ・ベルヌーイによって広範囲に調査され、彼はそれを「驚異の螺旋」であるSpira mirabilisと呼びました。

対数螺旋は、アルキメデス螺旋とは異なり、螺旋の転回点間の距離が等比数列的に増加するのに対し、アルキメデス螺旋ではこれらの距離は一定である。

極座標では${\displaystyle (r,\varphi )}$対数螺旋は次のように表すことができます^{[ 3 ]}$${\displaystyle r=ae^{k\varphi },\quad \varphi \in \mathbb {R} ,}$$ または $${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{k}}\ln {\frac {r}{a}},}$$ と${\displaystyle e}$自然対数の底であり、${\displaystyle a>0}$、${\displaystyle k\neq 0}$実定数である。

極方程式を持つ対数螺旋 $${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$$ デカルト座標で表現できる${\displaystyle (x=r\cos \varphi ,\,y=r\sin \varphi )}$による $${\displaystyle x=ae^{k\varphi }\cos \varphi ,\qquad y=ae^{k\varphi }\sin \varphi .}$$複素平面 において${\displaystyle (z=x+iy,\,e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi )}$: $${\displaystyle z=ae^{(k+i)\varphi }.}$$

Spira mirabilis は、ラテン語で「奇跡の螺旋」を意味し、対数螺旋の別名です。この曲線はすでに他の数学者によって命名されていましたが、ヤコブ・ベルヌーイは、螺旋の独特な数学的性質の 1 つに魅了されたため、この曲線に特定の名前 (「奇跡の螺旋」または「驚異の螺旋」) を付けました。螺旋の大きさは大きくなりますが、曲線の形状は連続する曲線ごとに変化しないという性質、自己相似性と呼ばれる性質です。おそらくこの独特な性質の結果として、spira mirabilis は自然界で進化し、オウムガイの殻やヒマワリの頭などの特定の成長形態に現れています。ヤコブ・ベルヌーイは、墓石に「 Eadem mutata resurgo 」（「変わっても、私は同じままに立ち上がる」）という言葉とともにこのような螺旋を刻んでほしいと願っていましたが、誤ってアルキメデス螺旋が代わりに刻まれました。 ^{[ 4 ] [ 5 ]}

対数螺旋${\displaystyle r=ae^{k\varphi }\;,\;k\neq 0,}$以下の特性を持つ（スパイラルを参照）：

• ピッチ角：定数${\displaystyle \tan \alpha =k\quad }$
  ピッチ角付き${\displaystyle \alpha }$（図とアニメーションを参照）。
  （${\displaystyle k=0}$角度${\displaystyle \alpha }$0 となり、曲線は半径の円になります${\displaystyle a}$）
• 曲率：${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}={\frac {\cos \alpha }{r}}}$
• 弧の長さ：${\displaystyle L(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}={\frac {r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1})}{\sin \alpha }}}$
  特に：${\displaystyle \ L(-\infty ,\varphi _{2})={\frac {r(\varphi _{2})}{\sin \alpha }}\quad \;}$有限である場合${\displaystyle k>0}$。
  この性質は、微積分が発明される以前にエヴァンジェリスタ・トリチェリによって初めて認識された。 ^{[ 6 ]}
• 分野：${\displaystyle A={\frac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2}}{4k}}}$
• 反転:円反転(${\displaystyle r\to 1/r}$対数螺旋をマッピングする${\displaystyle r=ae^{k\varphi }}$対数螺旋上に${\displaystyle r={\tfrac {1}{a}}e^{-k\varphi }\,.}$

• 回転、拡大縮小：角度による螺旋の回転${\displaystyle \varphi _{0}}$螺旋状の模様が得られる${\displaystyle r=ae^{-k\varphi _{0}}e^{k\varphi }}$これは、原点において均一に拡大縮小された元の螺旋である。${\displaystyle e^{-k\varphi _{0}}}$。
  スケーリング${\displaystyle \;e^{kn2\pi }\;,n=\pm 1,\pm 2,...,\;}$同じ曲線を描く。
• 自己相似性：前述の性質の結果：
  拡大縮小された対数螺旋は、（回転によって）元の曲線と合同である。
  例：図は傾斜角を持つ螺旋を示しています${\displaystyle \alpha =20^{\circ }}$そして${\displaystyle a=1,2,3,4,5}$したがって、これらはすべて赤いものを拡大縮小したコピーです。しかし、赤いものを角度だけ回転させることによっても生成できます。${\displaystyle -109^{\circ },-173^{\circ },-218^{\circ },-253^{\circ }}$逆に、すべての螺旋には共通点がありません（複素指数関数の性質を参照）。
• 他の曲線との関係：対数螺旋は、その中心に基づくインボリュート曲線、エボリュート曲線、およびペダル曲線と合同です。
• 複素指数関数：指数関数は、複素平面上の実軸または虚軸に平行でないすべての直線を、中心が の複素平面上のすべての対数螺旋に正確にマッピングします。${\displaystyle 0}$:$${\displaystyle z(t)=\underbrace {(kt+b)\;+it} _{\text{line}}\quad \to \quad e^{z(t)}=e^{kt+b}\cdot e^{it}=\underbrace {e^{b}e^{kt}(\cos t+i\sin t)} _{\text{log. spiral}}}$$ピッチ角${\displaystyle \alpha }$対数螺旋の は、直線と虚軸との間の角度です。

黄金螺旋は、90度回転するごとに黄金比の係数で外側に広がる対数螺旋です（ピッチ角は約17.03239度）。これは、フィボナッチ数列に比例した半径を持つ四分円の列で構成される「フィボナッチ螺旋」で近似できます。

アイスランド上空の温帯低気圧は、ほぼ対数螺旋状のパターンを示している。

渦巻銀河の腕はしばしば対数螺旋の形をしており、ここに写っているのは渦巻銀河である。

いくつかの自然現象において、対数螺旋に近い曲線が見られることがあります。以下にいくつかの例と理由を示します。

• 獲物が直線的に移動すると仮定した場合の、古典的な追跡におけるタカの獲物への接近。タカの最も鋭い視界は飛行方向に対してある角度にあり、この角度は螺旋のピッチと同じである。 ^{[ 7 ]}
• 昆虫が光源に近づく様子。昆虫は、光源が飛行経路に対して一定の角度にあることに慣れています。通常、太陽（または夜行性の種の場合は月）が唯一の光源であり、そのように飛行すると、ほぼ直線になります。^{[ 8 ]} 同様に、航路は極付近で対数螺旋に近似します。
• 渦巻銀河の腕。^{[ 9 ]}天の川銀河にはいくつかの渦巻腕があり、それぞれが約12度のピッチを持つ対数渦巻です。^{[ 10 ]}しかし、渦巻銀河は対数渦巻、アルキメデス渦巻、または双曲線渦巻としてモデル化されることが多いものの、対数渦巻（この角度は変化しない）とは異なり、そのピッチ角は銀河中心からの距離によって変化し、また、渦巻銀河をモデル化するために使用される他の数学的渦巻とも異なります。^{[ 11 ]}
• 角膜の神経（つまり、上皮下層の角膜神経は、対数螺旋パターンで角膜の表層上皮層の近くで終わる）。^{[ 12 ]}
• 熱帯低気圧の帯、例えばハリケーンなど。^{[ 13 ]}
• 軟体動物の殻を含む多くの生物学的構造。^{[ 14 ]} これらの場合、その理由は多角形の場合と同様に、類似した形状を拡大することからの構築である可能性がある。
• 対数螺旋状の海岸は、海岸による波の屈折と回折の結果として形成されることがある。ハーフムーンベイ（カリフォルニア州）はそのようなタイプの海岸の一例である。^{[ 15 ]}

切断幅キャンセル機構は、対数螺旋の自己相似性を利用して、切断幅に関係なく回転時に所定の位置に固定します。^{[ 16 ]}

対数螺旋アンテナ

• 対数螺旋アンテナは周波数に依存しないアンテナ、つまり放射パターン、インピーダンス、偏波が広い帯域幅にわたってほとんど変化しないアンテナである。^{[ 17 ]}
• レーザーカッターなどの切削加工機で機構を製造する場合、切削工程で各機械が除去する材料（つまり、切削幅）の違いにより、異なる機械で機構を製造すると精度が低下する可能性があります。この切削幅のばらつきを補正するために、対数螺旋の自己相似特性がレーザーカッター用の切削幅補正機構の設計に利用されています。^{[ 18 ]}
• 対数螺旋ベベルギアは、歯車の中心線が対数螺旋である螺旋ベベルギアの一種です。対数螺旋は、歯の中心線と半径線の間の角度が等しくなるという利点があり、噛み合い伝達の安定性が向上します。^{[ 19 ]}

対数螺旋カム面を備えた バネ式カム装置

• ロッククライミングでは、バネ仕掛けのカム装置は、外側の把持面が対数螺旋の弧状に成形された金属製のカムでできています。装置を岩の割れ目に挿入すると、これらのカムの回転によって、岩の表面に対する角度（力が加えられる螺旋の中心に対する角度）を一定に保ちながら、それらの合計幅が割れ目の幅に合うように広がります。螺旋のピッチ角は、装置と岩との摩擦を最適化するように選択されます。^{[ 20 ]}
• 対数螺旋をベースとしたソフトロボットは、拡張性と効率性に優れた3Dプリンティングのために設計されました。ケーブル駆動によるアクチュエーションを使用することで、タコのような動きを模倣し、安定した多用途な物体操作を実現します。^{[ 21 ]}

• アルキメデス螺旋
• 上螺旋
• 螺旋のリスト
• ネズミ問題とは、ネズミが互いに追いかけ合う際にたどる経路を求める幾何学的な問題で、その解は対数螺旋である。
• テイト＝クネーザーの定理

• ワイススタイン、エリック W. 「対数螺旋」 . MathWorld .
• ジム・ウィルソン、「等角螺旋（または対数螺旋）とその関連曲線」 、ジョージア大学（1999年） 2021年5月1日にWayback Machineにアーカイブ済み
• アレクサンダー・ボゴモルニー作、「スピラ・ミラビリス - 素晴らしい螺旋」、cut-the-knotにて掲載。

• Spira mirabilis ( 2007年7月15日にWayback Machineにアーカイブ)歴史と数学
• NASAの今日の天体写真：ハリケーン・イザベル対渦巻銀河（2003年9月25日）
• NASAの今日の天体写真：台風ラマスーンと風車銀河（2008年5月17日）
• SpiralZoom.comは、パターン形成の科学、自然界における螺旋、そして神話的な想像力における螺旋について解説する教育ウェブサイトです。
• JSXGraph（JavaScript）を使用したオンライン探索
• ゼノンのネズミ問題と対数螺旋に関するYouTube講義