金属の意味

自然数nの金属平均（金属比、金属定数、または貴平均^[1]とも呼ばれる）は、ここでは次の同値な特徴を満たす 正の実数である。 ${\displaystyle S_{n},}$

• 唯一の正の実数であり、${\displaystyle x}$${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$
• 二次方程式の正の根 ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$
• 番号${\textstyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$
• 連分数で表すと

  ${\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]=n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}}$

金属比は黄金比（）と白銀比（ ）の（連続的な）派生であり、それらの興味深い特性の一部を共有しています。「青銅比」（ ）という用語（黄金時代とオリンピックのメダルを参照）や、銅（ ）やニッケル（ ）などの金属も、文献に時折登場します。^{[2] [3]}${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n=3}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle n=5}$

代数的整数論の観点から見ると、金属平均はより大きく、 をノルムとする実数の 2 次整数とまったく同じです。 ${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

n番目の金属平均の定義式は、次の形式の線形回帰関係の特性方程式である。したがって、このような回帰が与えられた場合、解は次のように表される。 ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$${\displaystyle x_{k}=nx_{k-1}+x_{k-2}.}$

${\displaystyle x_{k}=aS_{n}^{k}+b\left({\frac {-1}{S_{n}}}\right)^{k},}$

ここで、はn番目の金属平均であり、aとb はと のみに依存する定数です。金属平均の逆数は1未満であるため、この式は、このような数列の 2 つの連続する要素の商が、k が無限大に近づくときに金属平均に近づくことを意味します。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}.}$

たとえば、 が黄金比である場合、および の数列はフィボナッチ数列であり、上記の式はビネーの公式です。 の場合、はルーカス数列です。 の場合、金属平均は白銀比 と呼ばれ、およびで始まる数列の要素はペル数と呼ばれます。 ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{1}=1,}$${\displaystyle n=1,x_{0}=2,x_{1}=1}$${\displaystyle n=2,}$${\displaystyle x_{0}=0}$${\displaystyle x_{1}=1}$

n番目の金属平均の定義式は、次の幾何学的解釈を導きます。 ${\textstyle x=n+{\frac {1}{x}}}$

長さLと幅Wの比がn番目の金属比である長方形を考えます。この長方形から辺の長さがWの正方形をn個取り除くと、元の長方形に似た長方形、つまり長さと幅の比が同じ長方形が得られます (図を参照)。

いくつかの金属的な手段は、正多角形とその対角線で形成される図形の線分として現れます。これは特に、黄金比と五角形、白銀比と八角形の場合に当てはまります。図を参照してください。

金属 平均mで表すと、${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{n-1},}$

ここで、数値は初期条件K ₀ = 0およびK ₁ = 1によって再帰的に定義され、再帰関係${\displaystyle K_{n}}$

${\displaystyle K_{n}=mK_{n-1}+K_{n-2}.}$

証明:等式は に対して直ちに成立する。再帰関係は を意味し、 に対して等式が成立する。等式が まで成立すると仮定すると、${\displaystyle n=1.}$${\displaystyle K_{2}=m,}$${\displaystyle k=2.}$${\displaystyle n-1,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{n}&=mS_{m}^{n-1}+S_{m}^{n-2}&&{\text{(定義式)}}\\&=m(K_{n-1}S_{n}+K_{n-2})+(K_{n-2}S_{m}+K_{n-3})&&{\text{(再帰仮説)}}\\&=(mK_{n-1}+K_{n-2})S_{n}+(mK_{n-2}+K_{n-3})&&{\text{(グループ化)}}\\&=K_{n}S_{m}+K_{n-1}&&{\text{(}}K_{n} での再発).\end{aligned}}}$

証明はこれで終わりです。

また、^[要出典]

${\displaystyle K_{n}={\frac {S_{m}^{n+1}-(m-S_{m})^{n+1}}{\sqrt {m^{2}+4}}}.}$

金属平均の奇数乗は、それ自体が金属平均である。より正確には、nが奇数の自然数である場合、再帰関係と初期条件によって定義され、${\displaystyle S_{m}^{n}=S_{M_{n}},}$${\displaystyle M_{n}}$${\displaystyle M_{n}=mM_{n-1}+M_{n-2}$${\displaystyle M_{0}=2}$${\displaystyle M_{1}=m.}$

証明:と とすると、金属の定義は、 と を意味する。nが奇数の場合、 の累乗はの根である。したがって、 が与えられた再帰関係を満たす整数であることを証明する必要がある。 これは、恒等式から得られる。 ${\displaystyle a=S_{m}}$${\displaystyle b=-1/S_{m}.}$${\displaystyle a+b=m}$${\displaystyle ab=-1.}$${\displaystyle M_{n}=a^{n}+b^{n}.}$${\displaystyle a^{n}b^{n}=(ab)^{n}=-1}$${\displaystyle a^{n}}$${\displaystyle x^{2}-M_{n}-1=0.}$${\displaystyle M_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a^{n}+b^{n}&=(a+b)(a^{n-1}+b^{n-1})-ab(a^{n-2}+a^{n-2})\\&=m(a^{n-1}+b^{n-1})+(a^{n-2}+a^{n-2}).\end{aligned}}}$

初期値の検証が容易であれば 、これで証明は完了です。

特に、

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{m}^{3}&=S_{m^{3}+3m}\\S_{m}^{5}&=S_{m^{5}+5m^{3}+5m}\\S_{m}^{7}&=S_{m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m}\\S_{m}^{9}&=S_{m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m}\\S_{m}^{11}&=S_{m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m}\end{aligned}}}$

そして、一般的には、^{[引用が必要]}

${\displaystyle S_{m}^{2n+1}=S_{M},}$

どこ

${\displaystyle M=\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}.}$

偶数乗の場合は、状況はより複雑になります。nが正の偶数の場合、 [^{引用が必要]}

${\displaystyle {S_{m}^{n}-\left\lfloor S_{m}^{n}\right\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

さらに、^{[引用が必要]}

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{4}-\left\lfloor S_{m}^{4}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{4}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{4}+4m^{2}+1\right)}}$

${\displaystyle {1 \over {S_{m}^{6}-\left\lfloor S_{m}^{6}\right\rfloor }}+\left\lfloor S_{m}^{6}-1\right\rfloor =S_{\left(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1\right)}.}$

金属比の2乗については次のようになります。${\displaystyle S_{m}^{2}=[m{\sqrt {m^{2}+4}}+(m+2)]/2=(p+{\sqrt {p^{2}+4}})/2}$

ここで はと の間に厳密に存在します。したがって ${\displaystyle p=m{\sqrt {m^{2}+4}}}$${\displaystyle m^{2}+1}$${\displaystyle m^{2}+2}$

${\displaystyle S_{m^{2}+1}<S_{m}^{2}<S_{m^{2}+2}}$

負の整数− nの金属平均を次の式の正の解として定義することができます。 − nの金属平均はnの金属平均の逆数です。 ${\displaystyle S_{-n}}$${\displaystyle x^{2}-(-n)x-1.}$

${\displaystyle S_{-n}={\frac {1}{S_{n}}}.}$

もう1つの一般化は、定義式を から に変更することです。 ${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$${\displaystyle x^{2}-nx-c=0}$

${\displaystyle R={\frac {n\pm {\sqrt {n^{2}+4c}}}{2}},}$

方程式の任意の根は

${\displaystyle R-n={\frac {c}{R}}.}$

mの銀平均は積分によっても与えられる^[要出典]

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

金属平均の別の形式は^{[要出典]である。}

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }.}$

接線半角の公式はを与え 、これ は と書き直すことができます 。つまり、 の正の値に対して、 の金属平均は、 いくつかの原始ピタゴラス三角形の場合のように が正の整数の ときに特に意味を持ちます。 $${\displaystyle \cot \theta ={\frac {\cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-1}{2\cot {\frac {\theta }{2}}}}}$$$${\displaystyle \cot ^{2}{\frac {\theta }{2}}-(2\cot \theta )\cot {\frac {\theta }{2}}-1=0\,.}$$${\textstyle \cot {\frac {\theta }{2}}}$$${\displaystyle S_{2\cot \theta }=\cot {\frac {\theta }{2}}\,,}$$${\textstyle 2\cot \theta }$

金属的平均は、いくつかの原始的なピタゴラスの三つ組、a ² + b ² = c ²（正の整数a < b < c ）によって正確に表されます。

原始的なピタゴラス三角定規では、斜辺 cと長い辺 bの差が 1、2、または 8 の場合、そのようなピタゴラス三角定規は 1 つの特定の金属平均を正確に表します。そのようなピタゴラス三角形の小さい方の鋭角の 4 分の 1 のコタンジェントは、1 つの特定の金属平均の正確な値に等しくなります。

原始ピタゴラス数列( a , b , c )を考えます。ここで、a < b < cかつc − b ∈ {1, 2, 8}です。このようなピタゴラス三角形( a , b , c )は、特定の金属平均の正確な値を次のように表します。 ${\displaystyle S_{n}}$

$${\displaystyle S_{n}=\cot {\frac {\alpha }{4}}}$$

ここでαはピタゴラス三角形の小さい方の鋭角であり、金属の平均指数は${\displaystyle n=2\cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {2a}{c-b}}=2{\sqrt {\frac {c+b}{c-b}}}\,.}$

たとえば、原始的なピタゴラス数列 20-21-29 には、5 番目のメタリック平均が組み込まれています。20-21-29 ピタゴラス三角形の小さい方の鋭角の 4 分の 1 のコタンジェントは、5 番目のメタリック平均の正確な値になります。同様に、ピタゴラス数列 3-4-5 は、6 番目のメタリック平均を表します。同様に、ピタゴラス数列 12-35-37 は 12 番目のメタリック平均を与え、ピタゴラス数列 52-165-173 は 13 番目のメタリック平均を与え、以下同様です。 ^[4]

• 絶え間ない
• 平均
• 比率
• プラスチック比

• Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009)。『調和の数学：ユークリッドから現代数学およびコンピュータサイエンスまで』、p. 228, 231。World Scientific。ISBN 9789812775832。 

• クリスティーナ＝エレナ・フレシュカヌとミルチャ・クラスマレアヌ（2013年）。 「リーマン多様体上の金属構造」、Revista de la Unión Matemática Argentina。
• Rakočević, Miloje M. 「オイラーの『神聖な』方程式との関係における黄金比のさらなる一般化」、Arxiv.org。