第二量子化

第二量子化は占有数表現とも呼ばれ、量子 多体系を記述し解析するのに用いられる形式論である。量子場の理論では正準量子化と呼ばれ、場（典型的には物質の波動関数）は場演算子として考えられ、第一量子化で位置や運動量などの物理量が演算子として考えられるのと似ている。この方法の鍵となるアイデアは1927年にポール・ディラック^[1]によって導入され、後にパスクアル・ジョーダン^[2]やウラジミール・フォック[ ³ ]によって最も顕著に発展した。^[4] このアプローチでは、量子多体系の状態はフォック状態基底で表現され、フォック状態基底は各単一粒子状態を一定数の同一粒子で埋めることによって構築される。^[5]第二量子化形式論では、フォック状態を構築して扱うための生成演算子と消滅演算子が導入され、量子多体系の研究に役立つツールとなっている。

第二量子化形式論の出発点は、量子力学における粒子の区別不能性の概念である。古典力学では各粒子に異なる位置ベクトルのラベルが付けられ、 の集合の異なる構成が異なる多体状態に対応するが、量子力学では粒子は同一であり、2 つの粒子、すなわち を交換しても異なる多体量子状態 は生じない。これは、量子多体波動関数が 2 つの粒子の交換に対して不変 (位相因子を除く) でなければならないことを意味する。粒子の統計によると、多体波動関数は粒子交換に対して対称または反対称のいずれかになる。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$粒子がボソンである場合、

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$粒子がフェルミオンである場合。

この交換対称性の特性は、多体系波動関数に制約を課します。多体系に粒子を追加または削除するたびに、対称制約を満たすために波動関数を適切に対称化または反対称化する必要があります。最初の量子化形式では、波動関数を 単一粒子状態のパーマネント(ボソンの場合) または行列式(フェルミオンの場合) の線形結合として表すことで、この制約が保証されます。2 番目の量子化形式では、対称化の問題は生成演算子と消滅演算子によって自動的に処理されるため、その表記ははるかに簡単になります。

（量子数のインデックスの組み合わせでもよい） でラベル付けされた一粒子波動関数の完全なセットを考える。次の波動関数${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

は、 i番目の粒子が単一粒子状態を占めるN粒子状態を表します。省略記法では、波動関数の位置引数は省略でき、i番目の単一粒子波動関数はi番目の粒子の状態を記述するものとみなされます。波動関数は対称化も反対称化もされていないため、一般に同一粒子の多体波動関数とはみなされません。ただし、対称化演算子 および反対称化演算子によって対称化 (反対称化) 形式にすることができます。 ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$${\displaystyle \Psi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

ボソンの場合、多体波動関数は対称化される必要がある。

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

一方、フェルミオンの場合、多体波動関数は反対称化される必要がある。

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

ここでは、N体置換群 (または対称群)の要素があり、状態ラベル 間の置換を実行し、対応する置換符号を表します。は、波動関数を正規化する正規化演算子です。 (これは、次数nの対称化テンソルに適切な数値正規化係数を適用する演算子です。その値については次のセクションを参照してください。) ${\displaystyle \pi }$${\displaystyle S_{N}}$${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle (-1)^{\pi }}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

単一粒子の波動関数を行列 に配置すると、i行j列の行列要素が となり、ボソン多体波動関数は単純に永久として表すことができ、フェルミオン多体波動関数は行列式（スレーター行列式 とも呼ばれる）として表すことができます。^[6]${\displaystyle U}$${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$ ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\det U}$

第一量子化された波動関数には、物理​​的に実現可能な多体状態を記述するための複雑な対称化手順が含まれます。これは、第一量子化の言語が区別できない粒子に対して冗長であるためです。第一量子化の言語では、多体状態は「どの粒子がどの状態にあるか」などの一連の質問に答えることで記述されます。ただし、粒子は同一であり、そもそもどの粒子がどの粒子であるかを判別することは不可能であるため、これらは物理的な質問ではありません。一見異なる状態と は、実際には同じ量子多体状態の冗長な名前です。したがって、第一量子化の記述におけるこの冗長性を排除するために、対称化 (または反対称化) を導入する必要があります。 ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$

2番目の量子化言語では、「各粒子がどの状態にあるか」を尋ねる代わりに、「各状態には何個の粒子があるか」を尋ねます。この記述は粒子のラベル付けを参照しないため、冗長な情報が含まれず、したがって量子多体状態の正確で単純な記述につながります。このアプローチでは、多体状態は占有数基底で表され、基底状態は占有数の集合でラベル付けされ、次のように表されます。

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

は、単一粒子状態（または）の粒子が存在することを意味する。占有数を合計すると、粒子の総数、すなわち となる。フェルミオンの場合、パウリの排他原理により、占有数は0か1のみとなる。一方、ボソンの場合、占有数は任意の非負の整数となる。 ${\displaystyle n_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\textstyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

占有数状態はフォック状態とも呼ばれます。すべてのフォック状態は、多体ヒルベルト空間、またはフォック空間の完全な基底を形成します。一般的な量子多体状態は、フォック状態の線形結合として表現できます。 ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$

より効率的な言語を提供することに加えて、フォック空間は可変数の粒子を許容することに留意してください。ヒルベルト空間として、それは前のセクションで説明した 1 次元のゼロ粒子空間Cを含むn粒子のボゾンまたはフェルミオンテンソル空間の合計と同型です。

すべての占有数がゼロであるフォック状態は真空状態と呼ばれ、 と表記されます。占有数が 1 つだけゼロでないフォック状態はシングルモード フォック状態と呼ばれ、 と表記されます。第 1 量子化波動関数に関して、真空状態は単位テンソル積であり、 と表記できます。単一粒子状態は、その波動関数 に簡約されます。その他のシングルモード多体 (ボソン) 状態は、そのモードの波動関数のテンソル積にすぎず、 や などがあります。 マルチモード フォック状態 (つまり、複数の単一粒子状態が関係している) の場合、対応する第 1 量子化波動関数には、粒子統計に従って適切な対称化が必要になります。たとえば、ボソン状態の場合は 、フェルミオン状態の場合は です (簡単のため、 との間の記号は省略しています)。一般に、正規化は であることがわかり、Nは粒子の総数です。フェルミオンの場合、この式は に簡約され、 は0 か 1 のいずれかしかあり得ません。したがって、フォック状態に対応する第一量子化波動関数は次のように表される。 ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$${\displaystyle |0\rangle =1}$${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle \psi _{1}}$${\displaystyle \psi _{2}}$${\textstyle {\sqrt {{\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}/{N!}}}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$${\displaystyle n_{\alpha }}$

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

ボソンと

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

フェルミオンの場合。フェルミオンの場合のみであることに注意してください。したがって、上記のテンソル積は、実質的には占有されている単一粒子状態全体の積にすぎません。 ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$

生成演算子と消滅演算子は、多体系に粒子を追加したり、多体系から粒子を削除したりするために導入されます。これらの演算子は、第 2 量子化形式の中核にあり、第 1 量子化状態と第 2 量子化状態の間のギャップを埋めます。生成 (消滅) 演算子を第 1 量子化された多体系波動関数に適用すると、粒子統計に応じて対称化された方法で波動関数から単一粒子状態が挿入 (削除) されます。一方、第 2 量子化されたフォック状態はすべて、生成演算子を真空状態に繰り返し適用することで構築できます。

生成演算子と消滅演算子（ボソンの場合）は、もともと量子調和振動子のコンテキストで上昇演算子と下降演算子として構築され、その後量子場理論の場演算子に一般化されました。^[7]これらは、すべての多体演算子（多体系のハミルトニアンとすべての物理的観測量を含む）がそれらによって表現できるという意味で、量子多体理論の基礎となります。

粒子の生成と消滅は、対称的または反対称的な方法で、最初の量子化された波動関数から単一粒子状態を挿入および削除することによって実行されます。 を単一粒子状態とし、1 をテンソル単位元（ゼロ粒子空間Cの生成元であり、基本ヒルベルト空間上のテンソル代数でを満たす）とし、 を一般的なテンソル積状態とします。挿入演算子 と削除演算子は、次の再帰方程式で定義される線形演算子です 。${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$${\displaystyle \otimes _{\pm }}$${\displaystyle \oslash _{\pm }}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

これはクロネッカーのデルタ記号で、 の場合は 1 を、それ以外の場合は 0 を返します。挿入演算子または削除演算子の添え字は、対称化 (ボソンの場合) または反対称化 (フェルミオンの場合) が実装されているかどうかを示します。 ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \pm }$

ボソン生成演算子（または消滅演算子）は通常、（または）と表記されます。生成演算子はボソンを単一粒子状態に追加し、消滅演算子はボソンを単一粒子状態から削除します。生成演算子と消滅演算子は互いにエルミート共役ですが、どちらもエルミート演算子（）ではありません。 ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle b_{\alpha }}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$

ボソン生成（消滅）演算子は線形演算子であり、N粒子の第一量子化波動関数に対するその作用は次のように定義される。 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

ここで、単一粒子状態を可能な挿入位置に対称的に挿入し、単一粒子状態を可能な削除位置から対称的に削除します。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N}$

以下、簡単のため、単一粒子状態間のテンソル記号は省略する。状態 をとり、状態 上にもう1つのボソンを作成する。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

次に、状態からボソンを1つ消滅させます。 ${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

単一モード真空状態から始めて、生成演算子を繰り返し適用すると、 ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

生成演算子はボソン占有数を1増加させる。したがって、すべての占有数状態は、ボソン生成演算子によって真空状態から構築できる。

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

一方、消滅演算子はボソン占有数を1減少させる。 ${\displaystyle b_{\alpha }}$

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

真空状態には消滅するボソンが残っていないため、真空状態も消滅します。上記の式を使用すると、 ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

ボソン数演算子を定義する 意味。${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$

上記の結果は、ボソンの任意のフォック状態に一般化できます。

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

これら 2 つの方程式は、第 2 量子化形式におけるボソン生成および消滅演算子の定義特性と見なすことができます。基礎となる第 1 量子化波動関数の複雑な対称化は、(第 1 量子化波動関数に作用する場合) 生成および消滅演算子によって自動的に処理されるため、第 2 量子化レベルで複雑さが明らかになることはなく、第 2 量子化式は単純で簡潔です。

フォック状態に対するボソン生成および消滅演算子の作用から、次の演算子恒等式が導かれる。

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

これらの交換関係は、ボソン生成および消滅演算子の代数的定義として考えることができます。ボソン多体波動関数が粒子交換の下で対称であるという事実は、ボソン演算子の交換によっても明らかになります。

量子調和振動子の上昇演算子と下降演算子も同じ交換関係式を満たしており、ボソンは振動子のエネルギー量子（フォノン）として解釈できることを示しています。調和振動子（または調和振動モードの集合）の位置と運動量演算子は、フォノン生成演算子と消滅演算子のエルミート結合によって与えられます。

${\displaystyle x_{\alpha }=(b_{\alpha }+b_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad p_{\alpha }=(b_{\alpha }-b_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

これは位置演算子と運動量演算子の間の標準的な交換関係を再現する（） ${\displaystyle \hbar =1}$

${\displaystyle [x_{\alpha },p_{\beta }]=\mathrm {i} \delta _{\alpha \beta },\quad [x_{\alpha },x_{\beta }]=[p_{\alpha },p_{\beta }]=0.}$

この考え方は量子場理論で一般化されており、量子場理論では物質場の各モードを量子ゆらぎの影響を受ける振動子とみなし、ボソンは場の励起（またはエネルギー量子）として扱われます。

フェルミオン生成（消滅）演算子は通常、（）と表記されます。生成演算子はフェルミオンを単一粒子状態に追加し、消滅演算子はフェルミオンを単一粒子状態から削除します。 ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle |\alpha \rangle }$

フェルミオン生成（消滅）演算子は線形演算子であり、N粒子の第一量子化波動関数に対するその作用は次のように定義される。 ${\displaystyle \Psi }$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

ここで、単一粒子状態を可能な挿入位置に反対称的に挿入し、単一粒子状態を可能な削除位置から反対称的に削除します。 ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N+1}$${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$${\displaystyle \psi _{\alpha }}$${\displaystyle N}$

2つ（またはそれ以上）のフェルミオンの状態に対する生成演算子と消滅演算子の結果を見ることは、交換の効果を示すため、特に有益です。いくつかの例示的な操作を以下の例に示します。2つのフェルミオン状態に対する生成演算子と消滅演算子の完全な代数は、Quantum Photonicsに記載されています。^[8]

以下、簡単のため、単一粒子状態間のテンソル記号は省略する。状態 をとり、占有された状態にさらに1つのフェルミオンを作成しようとすると、多体波動関数全体が消滅する。 ${\displaystyle \otimes }$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle \psi _{1}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

状態上のフェルミオンを消滅させ、状態 を取る。 ${\displaystyle \psi _{2}}$${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

マイナス記号（フェルミオン記号として知られる）は、フェルミオン波動関数の反対称特性により現れます。

単一モード真空状態から始めて、フェルミオン生成演算子を適用すると、 ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

単一粒子状態が空の場合、生成演算子は状態をフェルミオンで満たします。しかし、状態がすでにフェルミオンで占められている場合、生成演算子をさらに適用すると状態が消滅し、 2つの同一のフェルミオンが同時に同じ状態を占めることはできないというパウリの排他原理が示されます。しかし、フェルミオンはフェルミオン消滅演算子によって占有状態から除去できます。 ${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle c_{\alpha }}$

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

真空状態は消滅演算子の作用によって消滅します。

ボソンの場合と同様に、フェルミオンフォック状態はフェルミオン生成演算子を使用して真空状態から構築できる。

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

簡単に確認できる（列挙すれば）

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

フェルミオン数演算子を定義する 意味。${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$

上記の結果は、フェルミオンの任意のフォック状態に一般化できます。

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1+n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$^[9]

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

フェルミオンの場合、占有数は0 か 1 しか取れないことを思い出してください。これら 2 つの方程式は、第 2 量子化形式におけるフェルミオン生成演算子と消滅演算子の定義特性と見なすことができます。フェルミオン符号構造(ジョーダン-ウィグナー弦とも呼ばれる) では、単一粒子状態の事前定義された順序 (スピン構造)が存在する必要があり^{[説明が必要]}、すべての先行状態のフェルミオン占有数を数える必要があることに注意してください。したがって、フェルミオン生成演算子と消滅演算子は、ある意味で非局所的であると考えられます。この観察から、フェルミオンは長距離エンタングルメントされたローカル量子ビットシステムにおける創発粒子であるという考えが生まれます。^[10]${\displaystyle n_{\alpha }}$${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$

フォック状態に対するフェルミオン生成および消滅演算子の作用から、次の演算子恒等式が導かれる。

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

これらの反交換関係は、フェルミオン生成および消滅演算子の代数的定義として考えることができます。フェルミオン多体波動関数が粒子交換の下で反対称であるという事実は、フェルミオン演算子の反交換によっても明らかになります。

生成演算子と消滅演算子は互いにエルミート共役であるが、どちらもエルミート演算子ではない（）。フェルミオン生成演算子と消滅演算子のエルミート結合 ${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/{\sqrt {2}},\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/({\sqrt {2}}\mathrm {i} ),}$

マヨラナフェルミオン演算子と呼ばれる。これらは「フェルミオン」調和振動子の位置および運動量演算子のフェルミオンアナログと見ることができる。これらは反交換関係を満たす。

${\displaystyle \{\chi _{i},\chi _{j}\}=\delta _{ij},}$

ここで、 は、任意のマヨラナフェルミオン演算子を同等の立場でラベル付けします（複素フェルミオン演算子の Re または Im の組み合わせからの起源に関係なく）。反交換関係は、マヨラナフェルミオン演算子がクリフォード代数を生成することを示し、これは多体ヒルベルト空間でパウリ演算子として体系的に表現できます。 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle c_{\alpha }}$

を フェルミオンまたはボソンのいずれかの単一粒子状態に対する一般的な消滅（生成）演算子として定義すると、演算子の実空間表現は量子場演算子を定義し、${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$ ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

これらは、係数およびを持つ第 2 量子化演算子であり、これらは通常の第 1 量子化波動関数です。したがって、たとえば、任意の期待値は通常の第 1 量子化波動関数になります。大まかに言えば、 は、以下のように、必ずしも平面波とは限らない任意の基底状態 を介して、位置rのシステムに粒子を追加するすべての可能な方法の合計です。 ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$

と は空間のあらゆる点で定義される第二量子化演算子であるため、量子場演算子と呼ばれる。これらは、以下の基本的な交換子関係と反交換子関係に従う。 ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ボソン場、

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$フェルミオン場。

均質システムの場合、実空間と運動量表現間の変換が望ましい場合が多く、そのため、フーリエ基底における量子場演算子は次のようになります。

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }^{\dagger }}$

^{ジョーダン[11]}によって導入された「第二量子化」という用語は、歴史的な理由から誤った名称のままである。量子場理論の起源では、ディラック方程式は、量子化されたときに（スカラー場のように）フェルミオン量子場（ボソン量子場に対して）を生み出す古典的なスピノル場ではなく、相対論的な波動関数（したがって、時代遅れの「ディラックの海」解釈）を記述するものであるという誤った考えがあった。

「2 回目」という用語が示唆するように、「再び」量子化しているわけではありません。量子化されているフィールドは、粒子を量子化した結果として生成されたシュレーディンガー波動関数ではなく、古典的なフィールド (電磁場やディラック スピノル場など) であり、本質的には以前に量子化されていない結合振動子の集合体です。この集合体内の各振動子を量子化しているだけで、システムの半古典的な処理から完全な量子力学的な処理に移行しています。

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