次元正則化

理論物理学において、次元正則化は、ファインマン図の評価における積分を正則化するために、Juan José GiambiagiとCarlos Guido Bollini ^{[ 1 ]}、および独立してより包括的に^{[ 2 ]} Gerard 't HooftとMartinus JG Veltman ^{[ 3 ]}によって導入された方法です。言い換えれば、時空次元の数の解析接続である複素パラメータdの有理型関数である値をそれらに割り当てることです。

次元正則化は、ファインマン積分を、時空次元dと、そこに現れる時空点x _i , ... の二乗距離 ( x _i − x _j ) ^{2に依存する積分として記述します。}ユークリッド空間では、積分はしばしば− Re( d ) が十分に大きい場合に収束し、この領域から、すべての複素dに対して定義される有理型関数に解析的に接続できます。一般に、 dの物理的値 (通常は 4) に極が存在し、物理量を得るためには、これを繰り込みによって打ち消す必要があります。パベル・エティンゴフは、少なくとも質量のあるユークリッド場の場合、ベルンシュタイン-佐藤多項式を使用して解析的接続を実行することにより、次元正則化が数学的に適切に定義されていることを示しました。^{[ 4 ]}

極を差し引いてd を再び 4 に置き換えるとこの方法が最もよく理解されるが、d を別の整数値に近づけると、ウィルソン・フィッシャー固定点の場合のように理論​​が強く結合しているように見える場合にも、いくつかの成功がもたらされている。さらに、分数次元による補間を真剣に検討することも重要である。これにより、一部の著者は、次元正則化を使用して、巨視的にフラクタルに見える結晶の物理を研究できると示唆している。^{[ 5 ]}

ゼータ関数正則化と次元正則化は、級数や積分が収束するために解析接続を用いるという同じ原理を使用しているため、同等であると主張されてきた。 ^{[ 6 ]}

電荷密度を持つ無限に帯電した線を考える${\displaystyle s}$そして、点距離のポテンシャルを計算します。${\displaystyle x}$直線から離れた。^{[ 7 ]}積分は発散する。$${\displaystyle V(x)=A\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}$$どこ${\displaystyle A=s/(4\pi \epsilon _{0}).}$

帯電線は1次元の「球対称性」（1次元では鏡面対称性）を持つため、球対称性を利用するように積分を書き直すことができます。$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dy}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dt}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+t^{2}}}}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\mathrm {vol} (S^{1})dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$まず、単位長さで割ることによって長さへの依存性を取り除きました。${\displaystyle x_{0}}$積分を変換して$\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$1次元球面上の積分に$\displaystyle S^{1}}$続いて、1次元球面のすべての半径にわたる積分を行う。

次にこれを次元に一般化する${\displaystyle d}$d球の体積は${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}}$、 どこ${\displaystyle \Gamma }$はガンマ関数です。積分は次のようになります。$${\displaystyle {\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}}$$いつ${\displaystyle d=1-\epsilon }$積分は末尾が支配的である、つまり、${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {r^{d-1}dr}{\sqrt {(x/x_{0})^{2}+r^{2}}}}\sim \int _{c}^{\infty }r^{d-2}dr={\frac {1}{d-1}}c^{d-1}=\epsilon ^{-1}c^{-\epsilon },}$どこ${\displaystyle c=\Theta (x/x_{0})}$（大きなシータ表記で）。したがって${\displaystyle V(x)\sim (x_{0}/x)^{\epsilon }/\epsilon }$、したがって電場は${\displaystyle V'(x)\sim x^{-1}}$当然のことだ。

4次元で対数的に発散するループ積分を次元的に正則化したいと仮定します。

${\displaystyle I=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$

まず、積分を一般的な非整数次元で記述します。${\displaystyle d=4-\varepsilon }$、 どこ${\displaystyle \varepsilon }$後に小さいと見なされるだろう、$${\displaystyle I=\int {\frac {d^{d}p}{(2\pi )^{d}}}{\frac {1}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}.}$$被積分関数が${\displaystyle p^{2}}$式^{[ 8 ]を適用できます。}$${\displaystyle \int d^{d}p\,f(p^{2})={\frac {2\pi ^{d/2}}{\Gamma (d/2)}}\int _{0}^{\infty }dp\,p^{d-1}f(p^{2}).}$$整数次元の場合${\displaystyle d=3}$この式は、薄いシェル上のよく知られた積分に帰着する。${\textstyle \int _{0}^{\infty }dp\,4\pi p^{2}f(p^{2})}$非整数次元の場合、解析接続によって積分の値をこのように定義します。これにより、$${\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }{\frac {dp}{(2\pi )^{4-\varepsilon }}}{\frac {2\pi ^{(4-\varepsilon )/2}}{\Gamma \left({\frac {4-\varepsilon }{2}}\right)}}{\frac {p^{3-\varepsilon }}{\left(p^{2}+m^{2}\right)^{2}}}={\frac {2^{\varepsilon -4}\pi ^{{\frac {\varepsilon }{2}}-1}}{\sin \left({\frac {\pi \varepsilon }{2}}\right)\Gamma \left(1-{\frac {\varepsilon }{2}}\right)}}m^{-\varepsilon }={\frac {1}{8\pi ^{2}\varepsilon }}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}\left(\ln {\frac {m^{2}}{4\pi }}+\gamma \right)+{\mathcal {O}}(\varepsilon ).}$$積分は再び発散することに注意してください。${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$しかし、任意の小さな値に対しては有限である。${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$。

• ボリーニ、カルロス。 Giambiagi、Juan Jose (1972)、「次元繰り込み: 正則化パラメーターとしての次元の数」。、Il Nuovo Cimento B、12 (1): 20–26、Bibcode : 1972NCimB..12...20B、doi : 10.1007/BF02895558、S2CID 123505054 
• Etingof, Pavel (1999)、「次元正則化に関する注記」、量子場と弦：数学者のためのコース、第1巻、（プリンストン、ニュージャージー州、1996/1997年）、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、pp. 597–607、ISBN  978-0-8218-2012-4MR 1701608​ 
• Hooft, G. 't; Veltman, M. (1972), "ゲージ場の正則化と繰り込み" , Nuclear Physics B , 44 (1): 189–213 , Bibcode : 1972NuPhB..44..189T , doi : 10.1016/0550-3213(72)90279-9 , hdl : 1874/4845 , ISSN 0550-3213