基底状態

x = 0に節点を持つ状態の平均エネルギーを考えてみましょう。つまり、ψ (0) = 0 です。この状態の平均エネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle \langle \psi |H|\psi \rangle =\int dx\,\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V(x)|\psi (x)|^{2}\right),}$$

ここで、V ( x )は電位である。

部分的な統合により：

$$\left[\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}{\frac {d\psi ^{*}}{dx}}{\frac {d\psi }{dx}}dx=\left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$

したがって、${\displaystyle \left[\psi ^{*}{\frac {d\psi }{dx}}\right]_{-\infty }^{\infty }=\lim _{b\to \infty }\psi ^{*}(b){\frac {d\psi }{dx}}(b)-\lim _{a\to -\infty }\psi ^{*}(a){\frac {d\psi }{dx}}(a)}$がゼロに等しい場合、次のようになります。 $$${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{*}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}dx={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}dx}$$$

さて、次の小さな区間を考えてみましょう。${\displaystyle x=0}$; つまり、${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$次のように定義される新しい（変形された）波動関数ψ ' ( x )を取る。${\displaystyle \psi '(x)=\psi (x)}$、 のために${\displaystyle x<-\varepsilon }$; そして${\displaystyle \psi '(x)=-\psi (x)}$、 のために${\displaystyle x>\varepsilon }$;および定数${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$。 もし${\displaystyle \varepsilon }$が十分に小さい場合、これは常に可能であり、 ψ ' ( x ) は連続になります。

仮定すると${\displaystyle \psi (x)\approx -cx}$その周り${\displaystyle x=0}$次のように書くことができる $${\displaystyle \psi '(x)=N{\begin{cases}|\psi (x)|,&|x|>\varepsilon ,\\c\varepsilon ,&|x|\leq \varepsilon ,\end{cases}}}$$ どこ${\displaystyle N={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}}}$それが普通だ。

運動エネルギー密度が成り立つことに注意してください${\textstyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi '}{dx}}\right|^{2}<{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left|{\frac {d\psi }{dx}}\right|^{2}}$正規化のため、あらゆる場所で。さらに重要なことに、平均運動エネルギーは低下します。${\displaystyle O(\varepsilon )}$ψ 'への変形によって。

次に、位置エネルギーについて考えてみましょう。明確にするために、${\displaystyle V(x)\geq 0}$すると、区間外では${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$ψ 'のポテンシャルエネルギー密度は小さい。${\displaystyle |\psi '|<|\psi |}$そこには。

一方、その区間では${\displaystyle x\in [-\varepsilon ,\varepsilon ]}$我々は持っています $${\displaystyle {V_{\text{avg}}^{\varepsilon }}'=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi '|^{2}={\frac {\varepsilon ^{2}|c|^{2}}{1+{\frac {4}{3}}|c|^{2}\varepsilon ^{3}}}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)\simeq 2\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$ 秩序を保つ${\displaystyle \varepsilon ^{3}}$。

しかし、ノードを持つ 状態ψに対するこの領域からのポテンシャルエネルギーへの寄与は$${\displaystyle V_{\text{avg}}^{\varepsilon }=\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,V(x)|\psi |^{2}=|c|^{2}\int _{-\varepsilon }^{\varepsilon }dx\,x^{2}V(x)\simeq {\frac {2}{3}}\varepsilon ^{3}|c|^{2}V(0)+\cdots ,}$$ 低いが、依然として同じ下位レベル${\displaystyle O(\varepsilon ^{3})}$変形状態 ψ 'に関しては、平均運動エネルギーの低下よりも劣勢である。したがって、ポテンシャルエネルギーは次数まで変化しない。${\displaystyle \varepsilon ^{2}}$状態を変形させると${\displaystyle \psi }$ノードが存在する状態からノードが存在しない状態ψ 'への変化は無視できる。

したがって、すべてのノードを削除してエネルギーを削減することができます。${\displaystyle O(\varepsilon )}$これは、${\displaystyle \psi }$基底状態にはなり得ない。したがって、基底状態の波動関数には節は存在しない。これで証明は完了する。（その後、波動を除去することで平均エネルギーをさらに下げ、変分法上の絶対最小値まで下げることができる。）

基底状態には節がないため、空間的に非縮退である。つまり、基底状態のエネルギー固有値を持つ2つの定常量子状態は存在しない（これを と名付けよう）。${\displaystyle E_{g}}$）そして同じスピン状態であるため、位置空間波動関数のみが異なることになる。^{[ 1 ]}

論理は矛盾によるものである。基底状態が縮退しているならば、2つの正規直交定常状態が存在することになる^{[ 2 ]。}${\displaystyle \left|\psi _{1}\right\rangle }$そして${\displaystyle \left|\psi _{2}\right\rangle }$—後に複素数値の位置空間波動関数によって表現される${\displaystyle \psi _{1}(x,t)=\psi _{1}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$そして${\displaystyle \psi _{2}(x,t)=\psi _{2}(x,0)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }}$―そしてあらゆる重ね合わせ${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle$ :=c_{1}\left|\psi _{1}\right\rangle +c_{2}\left|\psi _{2}\right\rangle } 複素数${\displaystyle c_{1},c_{2}}$条件を満たす${\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$も同様の状態であり、すなわち同じエネルギー固有値を持つことになる。${\displaystyle E_{g}}$そして同じスピン状態。

さあ${\displaystyle x_{0}}$任意の点（両方の波動関数が定義されている点）とし、以下を設定する。 $${\displaystyle c_{1}={\frac {\psi _{2}(x_{0},0)}{a}}}$$ そして $${\displaystyle c_{2}={\frac {-\psi _{1}(x_{0},0)}{a}}}$$ と $${\displaystyle a={\sqrt {|\psi _{1}(x_{0},0)|^{2}+|\psi _{2}(x_{0},0)|^{2}}}>0}$$ （前提によればノードは存在しない）。

したがって、位置空間波動関数は${\displaystyle \left|\psi _{3}\right\rangle }$は $${\displaystyle \psi _{3}(x,t)=c_{1}\psi _{1}(x,t)+c_{2}\psi _{2}(x,t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x,0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x,0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }.}$$

したがって $${\displaystyle \psi _{3}(x_{0},t)={\frac {1}{a}}\left(\psi _{2}(x_{0},0)\cdot \psi _{1}(x_{0},0)-\psi _{1}(x_{0},0)\cdot \psi _{2}(x_{0},0)\right)\cdot e^{-iE_{g}t/\hbar }=0}$$ すべての人々のために${\displaystyle t}$。

しかし${\displaystyle \left\langle \psi _{3}|\psi _{3}\right\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$つまり、${\displaystyle x_{0}}$これは基底状態波動関数の節であり、この波動関数には節が存在しないという前提と矛盾する。

基底状態は、次のような異なるスピン状態のために縮退する可能性があることに注意してください。${\displaystyle \left|\uparrow \right\rangle }$そして${\displaystyle \left|\downarrow \right\rangle }$同じ位置空間波動関数を持ちながら、これらの状態を重ね合わせると混合スピン状態が生成されますが、空間部分（両方の共通因子として）は変化しません。