量子自明性

仮想粒子の絶え間ない生成と消滅のため、物理的な真空は空っぽの空間ではないことはよく知られています。通常の連続媒体として、物理的な真空は電荷遮蔽の能力を持ち、有効電荷は長さ（または運動量）スケールの関数となります。量子自明性とは、量子場理論において、有効電荷が大きな長さスケールの極限でゼロに近づく可能性のある状況を指します。この場合、理論は「自明」または非相互作用的であると言われます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

量子場理論の自明性の可能性を示す最初の証拠は、量子電磁力学の文脈で、レフ・ランダウ、アレクセイ・アブリコソフ、イサーク・ハラトニコフ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}によって得られ、彼らは観測可能な電荷g _obsと「裸の」電荷g ₀の間に次の関係を発見しました。

ここで、 mは粒子の質量、Λは運動量カットオフです。g _{0 が}有限であれば、g _{obs は}カットオフΛが無限大の極限でゼロに近づきます。

実際、式(1)の適切な解釈は、その逆変換によって、${\displaystyle g_{0}}$（長さスケールに関連する）$\displaystyle \Lambda ^{-1}}$) は、正しい値を与えるために選択されます。${\displaystyle g_{obs}}$:

${\displaystyle g_{0}={\frac {g_{obs}}{1-\beta _{2}g_{obs}\ln \Lambda /m}}\qquad \qquad \qquad (2)}$

成長${\displaystyle g_{0}}$と${\displaystyle \Lambda }$領域内で式(1, 2)を無効にする${\displaystyle g_{0}\approx 1}$（それらは入手されたので）${\displaystyle g_{0}\ll 1}$）そして式(2)における「ランダウ極」の存在は物理的に意味をなさない。電荷の実際の挙動${\displaystyle g(\mu )}$運動量スケールの関数として${\displaystyle \mu }$ゲルマン・ロー方程式によって決定される

$\displaystyle {\frac {dg}{d\ln \mu }}=\beta (g)=\beta _{2}g^{2}+\beta _{3}g^{3}+\ldots \qquad \qquad \qquad (3)}$

条件の下で積分すると、式(1,2)が得られる。${\displaystyle g(\mu )=g_{obs}}$のために${\displaystyle \mu =m}$そして${\displaystyle g(\mu )=g_{0}}$のために${\displaystyle \mu =\Lambda }$、その項のみの場合$\displaystyle \beta _{2}}$右側に保持されます。一般的な動作は${\displaystyle g(\mu )}$関数の外観によって異なります${\displaystyle \beta (g)}$^{ボゴリューボフとシルコフの分類[ 6 ]}によれば、質的に異なる3つの状況が存在する。

（a）もし${\displaystyle \beta (g)}$有限値でゼロになる${\displaystyle g*}$すると、${\displaystyle g}$飽和状態である、つまり${\displaystyle g(\mu )\to g*}$のために${\displaystyle \mu \to \infty }$;

（b）もし${\displaystyle \beta (g)}$非自明な零点を持たず、${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$と$\alpha \leq 1$大型${\displaystyle g}$そして、${\displaystyle g(\mu )}$無限に続く。

（c）もし${\displaystyle \beta (g)\propto g^{\alpha }}$と${\displaystyle \alpha >1}$大型${\displaystyle g}$、 それから${\displaystyle g(\mu )}$有限値で発散する $\displaystyle \mu _{0}}$そして真のランダウ極が現れる：理論は不確定性のために内部的に矛盾している${\displaystyle g(\mu )}$のために${\displaystyle \mu >\mu _{0}}$。

後者のケースは、（摂動の文脈を超えて）完全な理論における量子自明性に対応しており、背理法によって確認できる。実際、もし${\displaystyle g_{obs}}$有限であれば、理論は内部的に矛盾している。それを回避する唯一の方法は、$\displaystyle \mu _{0}}$無限大まで、それは${\displaystyle g_{obs}\to 0}$。

式（１）は、臨界現象の理論では異なる解釈がなされる。この場合、${\displaystyle \Lambda }$そして${\displaystyle g_{0}}$格子間隔と有効ランダウハミルトニアンの係数に関係しており、直接的な物理的意味を持つ。${\displaystyle g_{obs}=0}$極限で得られる${\displaystyle m\to 0}$これは臨界点に対応する。このような自明性は物理的な意味を持ち、秩序パラメーターの大規模なゆらぎ間の相互作用の欠如に対応する。根本的な問題は、このような自明性が任意の（小さな値だけでなく）の値に対しても成り立つかどうかである。${\displaystyle g_{0}}$？

この問題は、レオ・P・カダノフ[ ^{8 ]}が提案した定性的なスキームから発展した実空間繰り込み群^{[ 7 ]}を用いてケネス・G・ウィルソンによって調査され 、肯定的な答えの強力な証拠が得られました。その後の格子場理論の数値的調査により^、ウィルソンの結論が確認されました。

「ウィルソンの些細さ」とは、${\displaystyle \beta }$この関数は非交代であり、非自明な零点を持たない。ボゴリューボフとシルコフの分類では、ケース(a)のみが除外される。「真の」量子自明性は、ケース(c)に対応する、より強い性質である。「ウィルソン自明性」は広範な数値調査によって確認され、確固として確立されていると考えられるが、「真の自明性」の証拠は乏しく、異なる解釈が可能である。

ベータ関数${\displaystyle \beta (g)}$最近、さまざまな方法で研究された。

（１）通常の摂動級数をべき乗で総和すると ${\displaystyle g}$高次の項にはリパトフ漸近法^{[ 9 ]を使用し[ 10 ]、}

（２）高温膨張を合計し、小さな${\displaystyle g}$行動; ^{[ 11 ]}

（３）解析的強結合漸近展開を確立する${\displaystyle \beta (g)}$ 複素数値の裸電荷を使用する${\displaystyle g_{0}}$; ^{[ 12 ]}

（４）実裸電荷を用いて同じ漸近展開を確立する${\displaystyle g_{0}}$ 複雑なパラメータのないスキームにおいて。^{[ 13 ]}

すべての結果は相互に矛盾せず、肯定的な結果に対応している。${\displaystyle \beta }$強い結合挙動を示す関数${\displaystyle \beta (g)=\beta _{\infty }g}$それは、$\displaystyle \varphi ^{4}}$この理論はウィルソンの自明性とは一致するが、真の量子自明性は備えていない。

同様に、 ${\displaystyle \beta }$ 量子電磁力学では、線形強結合漸近を持つ関数が確立されている。^{[ 14 ] [ 15 ]}

標準模型の「ヒッグスセクター」は、 φ ⁴理論に類似しています。この理論の真の量子自明性を示唆すれば、ヒッグス粒子の質量の上限を確立することができます ^{[ 16 ]} 。^{[ 17 ]} ランダウ極の位置が極めて大きな運動量にシフトし、重力との統一が期待されるという条件から、この上限が導き出されます。この自明性の上限は、ヒッグス粒子を探索する実験の動機付けに積極的な役割を果たしました。現在、ヒッグス粒子が発見された場合、自明性の上限は現実的ではありません。実際、この上限は無効です。なぜなら、（前のセクションによれば）ヒッグスセクターは非自明だからです。したがって、標準模型は内部矛盾から解放されます。

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