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量子物理学では、異常または量子異常とは、理論の古典的作用の対称性が、完全な量子理論の正則化の対称性にならないことである。 [ 1 ] [ 2 ]古典物理学 では、古典異常とは、対称性を破るパラメータがゼロになる極限で対称性が回復されないことである。おそらく最初に知られている異常は、乱流における散逸異常[ 3 ]である。粘性がゼロになる極限で、時間反転対称性は破れたままであり（エネルギー散逸率は有限である）。
量子論において最初に発見された異常は、アドラー・ベル・ジャキウ異常であり、これは、軸性ベクトル電流が電気力学の古典的な対称性として保存されるが、量子論では破られるというものである。この異常とアティヤ・シンガー指数定理との関係は、この理論の有名な成果の一つである。厳密に言えば、量子論における異常な対称性とは、作用の対称性であって、測度の対称性ではないため、分配関数全体の対称性ではない。
グローバル異常とは、グローバル対称性電流保存則の量子的な破れのことである。グローバル異常は、非摂動的なグローバル異常が、1ループまたは任意のループの摂動的なファインマン図計算では捉えられないことを意味する場合もある。例としては、ウィッテン異常やワン・ウェン・ウィッテン異常などが挙げられる。
物理学における最も一般的なグローバル異常は、量子補正によるスケール不変性の破れに関連しており、これは繰り込みによって定量化される。レギュレータは一般的に距離スケールを導入するため、古典的にスケール不変な理論は繰り込み群の流れ、すなわちエネルギー スケールによって振る舞いが変化するという影響を受ける。例えば、強い核力の大きな強さは、このスケール異常のために、短距離では弱く結合している理論が、長距離では強く結合している理論へと流れることによって生じる。
アーベル的グローバル対称性の異常は量子場理論では問題にならず、しばしば遭遇する（カイラル異常の例を参照）。特に、対応する異常対称性は、経路積分の境界条件を固定することによって修正できる。
しかしながら、無限遠で十分に速やかに恒等対称性に近づくような対称性のグローバル異常は、確かに問題を引き起こす。既知の例では、このような対称性はゲージ対称性の不連続な成分に対応する。このような対称性および起こりうる異常は、例えば、 4k +2次元で重力と結合したカイラルフェルミオンまたは自己双対微分形式を持つ理論、および通常の4次元SU(2)ゲージ理論におけるウィッテン異常にも見られる。
これらの対称性は無限遠で消滅するため、境界条件によって制約することはできず、経路積分で合計する必要があります。状態のゲージ軌道の合計は位相の合計であり、これは U(1) の部分群を形成します。異常が存在するため、これらの位相はすべて同じではなく、したがって恒等部分群ではありません。U(1) の他のすべての部分群の位相の合計はゼロに等しく、したがって、そのような異常が存在し、理論が存在しない場合、すべての経路積分はゼロに等しくなります。
構成空間自体が非連結である場合、例外が生じる可能性がある。この場合、任意の成分のサブセットについて積分を選択する自由度がある。非連結ゲージ対称性がシステムを非連結構成間で写像する場合、一般に、大きなゲージ変換によって関連付けられていない連結成分のみについて積分するという、理論の一貫した切り捨てが存在する。この場合、大きなゲージ変換はシステムに作用せず、経路積分がゼロになる原因とはならない。
4次元ミンコフスキー空間におけるSU(2)ゲージ理論では、ゲージ変換は時空内の各点における特殊ユニタリ群SU(2)の要素の選択に対応する。このようなゲージ変換の群は連結である。
しかし、無限遠で消滅するゲージ変換のサブグループのみに関心がある場合は、ゲージ変換はそこで消滅するため、無限遠の3次元球面を一点とみなすことができます。無限遠の3次元球面を一点と同一視すると、ミンコフスキー空間は4次元球面と同一視されます。したがって、ミンコフスキー4次元空間において無限遠で消滅するゲージ変換の群は、4次元球面上のすべてのゲージ変換の群と同型であることがわかります。
これは、4次元球面上の各点に対してSU(2)におけるゲージ変換を連続的に選択することによって構成される群です。言い換えれば、ゲージ対称性は、SU(2)の群多様体である3次元球面への4次元球面からの写像と1対1に対応しています。このような写像の空間は連結ではなく、連結成分は3次元球面の第4ホモトピー群（位数2の巡回群）によって分類されます。特に、連結成分は2つあります。1つは恒等写像を含み、恒等成分と呼ばれ、もう1つは非連結成分と呼ばれます。
理論が奇数個のカイラルフェルミオンのフレーバーを含む場合、ゲージ群の恒等成分と非連結成分におけるゲージ対称性の物理状態への作用は符号が異なります。したがって、経路積分においてすべての物理配置について合計すると、寄与が反対の符号を持つペアで現れることがわかります。結果として、すべての経路積分がゼロになり、理論は存在しません。
上記のグローバル異常の説明は、4次元時空で奇数個の（アイソ）スピン1/2ワイルフェルミオンと結合したSU(2)ゲージ理論に関するものです。これはウィッテンSU(2)異常として知られています。[ 4 ] 2018年に、Wang、Wen、およびWittenは、4次元時空で奇数個の（アイソ）スピン3/2ワイルフェルミオンと結合したSU(2)ゲージ理論には、スピン構造のない特定の非スピン多様体で検出可能な、さらに微妙な非摂動グローバル異常があることを発見しました。[ 5 ]この新しい異常は、新しいSU(2)異常と呼ばれています。両方のタイプの異常[ 4 ] [ 5 ]には、（1）動的ゲージ理論の動的ゲージ異常と（2）グローバル対称性の't Hooft異常の類似物があります。さらに、両方のタイプの異常は mod 2 クラスであり (分類の観点からは、どちらも2 位のクラスの有限群 Z 2であり)、4 次元および 5 次元の時空に類似のものがあります。 [ 5 ]より一般的には、任意の自然整数Nに対して、(iso)-スピン2 N + 1/2の表現における奇数個のフェルミオン多重項がSU(2) 異常を持つことができ、(iso)-スピン4 N + 3/2の表現における奇数個のフェルミオン多重項が新しい SU(2) 異常を持つことができることが示されています。[ 5 ]半整数スピン表現のフェルミオンについては、これら 2 種類の SU(2) 異常とこれら 2 つの異常の線形結合のみが存在することが示されており、これらによってすべてのグローバル SU(2) 異常が分類されます。[ 5 ]この新しい SU(2) アノマリーは、スピン(10) ゲージ群と、非スピン多様体上で定義された 16 次元スピノル表現におけるカイラルフェルミオンを持つSO(10)大統一理論の一貫性を確認するための重要な規則としても機能します。[ 5 ] [ 6 ]
グローバル対称性の概念は、より高次のグローバル対称性に一般化できる[ 7 ]。通常の0形式対称性の場合、荷電対象は粒子であるのに対し、n形式対称性の場合、荷電対象はn次元拡張演算子である。トポロジカルなシータ項を持つSU(2)ゲージ場のみを持つ4次元純粋ヤン・ミルズ理論が見出される。 0形式の時間反転対称性と1形式のZ2中心対称性の間に混合した高次の't Hooft異常を持つ可能性がある。[ 8 ] 4次元純粋ヤン・ミルズ理論の't Hooft異常は、5次元可逆位相場理論、あるいは数学的には5次元境界不変量として正確に記述でき、異常流入像を高次対称性を含むこのZ2クラスのグローバル異常に一般化している。[ 9 ]言い換えれば、位相的シータ項を持つ4次元純粋ヤン・ミルズ理論とみなすことができる。特定の Z 2クラスの可逆位相場理論の境界条件として存在し、4 次元境界上のより高次の異常と一致するようにする。 [ 9 ]
ゲージ対称性の異常は矛盾を生じさせる。なぜなら、負のノルムを持つ非物理的な自由度（例えば、時間方向に偏光した光子）を打ち消すにはゲージ対称性が必要だからである。これらの異常を打ち消そうとする試み、すなわちゲージ対称性と整合する理論を構築しようとする試みは、しばしば理論に余分な制約をもたらす（素粒子物理学の標準模型におけるゲージ異常がその一例である）。ゲージ理論の異常は、ゲージ群のトポロジーと幾何学に重要な関連性を持つ。
ゲージ対称性の異常は、1ループレベルでは正確に計算できます。ツリーレベル（0ループ）では、古典理論が再現されます。 ループが複数あるファインマン図には、必ず内部ボソン伝播関数が含まれます。ボソンにはゲージ不変性を破ることなく質量を与えることができるため、対称性を維持しながら、このような図のパウリ・ビラール正則化が可能です。図の正則化が特定の対称性と整合している場合、その図は対称性に関して異常を生じません。
量子異常は、発散する積分をすべての対称性を同時に保持するように正則化できない場合に、繰り込みの過程で発見されました。これは高エネルギー物理学に関連しています。しかし、ジェラール・ト・フーフトの異常整合条件により、任意のカイラル異常は、UV自由度（高エネルギーに関連するもの）またはIR自由度（低エネルギーに関連するもの）のいずれかで記述できます。したがって、理論のUV完成によって異常を打ち消すことはできません。異常な対称性は、古典的にはそう見えるとしても、理論の対称性ではないのです。
異常を打ち消すことはゲージ理論の一貫性を保つために必要であるため、このような打ち消しは、カイラルゲージ理論である標準模型のフェルミオン含有量を制約する上で極めて重要である。
例えば、2つのSU(2)生成子と1つのU(1)ハイパーチャージを含む混合異常が消滅すると、フェルミオン生成におけるすべての電荷の合計がゼロになるように制約され、 [ 10 ] [ 11 ]それによって陽子と電子の合計がゼロになることが決定されます。つまり、クォークとレプトンの電荷は整合していなければなりません。具体的には、三角形図の頂点にある2つの外部ゲージ場W a、W bと1つのハイパーチャージBに対して、三角形の相殺には
したがって、各世代において、レプトンとクォークの電荷はバランスが取れており、したがって、Q p + Q e = 0 となる。
SMにおける異常相殺は、第3世代のクォークであるトップクォークを予測するためにも使用された。[ 12 ]
さらに、そのようなメカニズムには以下のようなものがある。
コボルディズム理論によって分類された異常の現代的な記述では、 [ 13 ]ファインマン・ダイソングラフは、整数 Z クラス（自由部分とも呼ばれる）によって分類される摂動的な局所異常のみを捉えています。非摂動的な大域異常は、巡回群Z nクラス（ねじれ部分とも呼ばれる）によって分類されます。
20 世紀後半には、標準模型とカイラルゲージ理論には摂動的な局所異常（ファインマン図で捉えられる）がないことが広く知られ、検証されている。しかし、標準模型とカイラルゲージ理論に非摂動的な大域異常が存在するかどうかは完全には明らかではない。コボルディズム理論に基づく最近の発展[ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]はこの問題を検討しており、発見されたいくつかの追加の非自明な大域異常は、これらのゲージ理論をさらに制約することができる。また、1 つの高次元におけるAtiyah、Patodi、およびSinger [ 17 ] [ 18 ]のeta 不変量を用いて、異常流入の摂動的な局所記述と非摂動的な大域記述の両方の定式化もある。このeta 不変量は、摂動的な局所異常が消滅するときにはいつでもコボルディズム不変量である。[ 19 ]
