整流子

数学 において、交換子は、ある二項演算がどの程度可換でないかを示すものであり、群論と環論では異なる定義が用いられる。

群Gの2つの元gとhの交換子は、元

[ g , h ] = g ⁻¹ h ⁻¹ gh です。

この要素は、 gとh が可換である場合に限り、グループの単位元と等しくなります(つまり、gh = hgの場合に限ります)。

群のすべての交換子の集合は、一般に群演算の下では閉じていないが、すべての交換子によって生成されるGの部分群は閉じており、導来群またはGの交換子部分群と呼ばれる。交換子は、冪零群および可解群と、最大アーベル商群を定義するために使用される。

上記の交換子の定義はこの記事全体で使用されていますが、多くの群論者は交換子を次のように定義しています。

[ g , h ] = ghg ⁻¹ h ⁻¹ . ^{[1] [2]}

最初の定義を用いると、これは[ g ⁻¹ , h ⁻¹ ]と表すことができます。

交換子恒等式は群論における重要なツールである。^[3]式a ^xは、 x ⁻¹ axと定義される、aのxによる共役を表す。

1. ${\displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}$そして${\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}$
4. ${\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}$そして${\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}$そして${\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}$

恒等式(5)はフィリップ・ホールとエルンスト・ウィットにちなんでホール・ウィット恒等式とも呼ばれる。これは環論的交換子に対するヤコビ恒等式の群論的類似物である(次のセクションを参照)。

注意：上記のaのxによる共役の定義は、一部の群論者によって使用されています。^{[4]他の多くの群論者は、} a​​のx による共役をxax ⁻¹と定義しています。^[5] これは、 と書かれることが多いです。同様の恒等式がこれらの規則にも当てはまります。 ${\displaystyle {}^{x}a}$

特定の部分群を法として真となる恒等式も多数使用されています。これらは、可解群やべき零群の研究に特に役立ちます。たとえば、どの群でも 2 乗は適切に動作します。

${\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y]。}$

導出された部分群が中心的である場合、

${\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}$

環はしばしば除算をサポートしない。したがって、環（または任意の結合代数）の2つの元aとbの交換子は次のように定義される。

${\displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

交換子は、 aとb が可換である場合にのみ 0 になります。線型代数では、空間の 2 つの自己準同型が 1 つの基底に関して可換行列によって表される場合、それらはすべての基底に関してそのように表されます。交換子をリー括弧として使用することにより、すべての結合代数をリー代数に変換できます。

環または結合代数 の2つの元aとbの反交換子は次のように定義される。

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}$

は反交換子を表すために使われることもあり、その場合は交換子を表すために使用される。^{[6]反交換子はあまり使われないが、}クリフォード代数とジョルダン代数を定義するために使われ、また素粒子物理学におけるディラック方程式の導出にも使われる。 ${\displaystyle [a,b]_{+}}$${\displaystyle [a,b]_{-}}$

ヒルベルト空間に作用する2つの演算子の交換子は、これらの演算子によって記述される2つの観測量が同時にどれだけよく測定できるかを定量化することから、量子力学における中心的な概念です。不確定性原理は、ロバートソン-シュレーディンガー関係式のおかげで、最終的にはそのような交換子に関する定理です。^[7]位相空間では、関数スター積の同値な交換子はモヤル括弧と呼ばれ、前述のヒルベルト空間交換子構造と完全に同型です。

整流子には次の特性があります。

1. ${\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${\displaystyle [A,A]=0}$
3. ${\displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

関係式(3)は反可換性と呼ばれ、関係式(4)はヤコビ恒等式と呼ばれる。

1. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}$
10. ${\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

A が環Rの固定元である場合、恒等式 (1) はによって与えられる写像に対するライプニッツ規則として解釈できる。言い換えれば、写像 ad _{A は}環R上の微分を定義する。恒等式 (2)、(3) は 3 つ以上の因子に対するライプニッツ規則を表し、任意の微分に対して有効である。恒等式 (4) ～ (6) もライプニッツ規則として解釈できる。恒等式 (7)、(8) はZ双線型性を表す。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}$${\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$

恒等式(9)から、環元の整数冪の交換子は次のようになることがわかる。

${\displaystyle [A^{N},B^{M}]=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}A^{n} B^{m}[A,B]B^{Nn-1}A^{Mm-1}=\sum _{n=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}B^{n}A^{m}[A,B]A^{Nn-1}B^{Mm-1}}$

上記の恒等式のいくつかは、上記の±下付き文字表記法を使用して反交換子に拡張することができます。^[8] 例えば：

1. ${\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}$
2. ${\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}$
3. ${\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}$
4. ${\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}$
5. ${\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}$
6. ${\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}$

バナッハ代数や形式的冪級数の環など、指数を 意味のある形で定義できる環や代数を考えてみましょう。 ${\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }$

このような環では、入れ子になった交換子に適用されるアダマールの補題は次のようになります。(最後の式については、以下の随伴導出を参照してください。) この式は、log(exp( A ) exp( B )) のBaker–Campbell–Hausdorff 展開の基礎となります。${\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}$

同様の展開は、式の群交換子（リー群の要素に類似）を一連の入れ子状の交換子（リー括弧）で表現する。 ${\displaystyle e^{A}}$$${\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}$$

次数付き代数を扱う場合、交換子は通常、次数付き交換子に置き換えられ、同次成分で次のように定義されます。

${\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}$

特に、環R内の複数の交換子を扱う場合には、別の表記法が有用であることがわかります。要素 の場合、随伴写像を次のように定義します。 ${\displaystyle x\in R}$${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

このマッピングは環R上の微分です。

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}$

ヤコビ恒等式により、これは交換演算上の導出でもある。

${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}$

このようなマッピングを合成すると、例えば と が得られます。はRからそれ自身へのマッピングの環であり、乗算演算として合成が行われます。 は、交換子を保存する リー代数準同型です。${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}$$${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}$$${\displaystyle \mathrm {ad} }$${\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {End} (R)}$${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}$

対照的に、これは常に環準同型であるわけではなく、通常は です。 ${\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}$

積の繰り返し導関数を展開する一般的なライプニッツの規則は、随伴表現を使用して抽象的に記述できます。

${\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}$

を微分演算子 に、を乗算演算子 に置き換えると となり、両辺を関数gに適用すると、恒等式はn次導関数の通常のライプニッツ則になります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \partial }$${\displaystyle y}$${\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}$${\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}$${\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}$

• 反可換性
• アソシエータ
• ベイカー・キャンベル・ハウスドルフの式
• 正準交換関係
• 集中化者、別名コミュータント
• 導出（抽象代数）
• モヤルブラケット
• ピンチャール導関数
• ポアソン括弧
• 三元整流子
• 3つの部分群の補題

• フレイリー、ジョン B. (1976)、抽象代数入門 (第 2 版)、読書: Addison-Wesley、ISBN 0-201-01984-1
• グリフィス、デイビッド・J.（2004）、量子力学入門（第2版）、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-805326-X
• Herstein, IN (1975)、Topics In Algebra (第 2 版)、Wiley、ISBN 0471010901
• Lavrov, PM (2014)、「代数と超代数におけるヤコビ型恒等式」、理論数理物理学、179 (2): 550–558、arXiv : 1304.5050、Bibcode :2014TMP...179..550L、doi :10.1007/s11232-014-0161-2、S2CID  119175276
• リボフ、リチャード L. (2003)、量子力学入門(第 4 版)、Addison-Wesley、ISBN 0-8053-8714-5
• マッケイ、スーザン（2000）、有限p群、クイーンメアリー数学ノート、第18巻、ロンドン大学、ISBN 978-0-902480-17-9、MR  1802994
• マクマホン、D. (2008)、量子場理論、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-154382-8

• McKenzie, R. ; Snow, J. (2005)、「合同モジュラー多様体: 交換子理論」、Kudryavtsev, VB; Rosenberg, IG (編)、オートマトン、半群、普遍代数の構造理論、NATO 科学シリーズ II、第 207 巻、Springer、pp. 273–329、doi :10.1007/1-4020-3817-8_11、ISBN 9781402038174

• 「交換子」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]