ゲージ固定

ゲージ理論の物理学において、ゲージ固定（ゲージの選択とも呼ばれる）は、場の変数の冗長な自由度に対処するための数学的手順を示す。定義により、ゲージ理論は、システムの物理的に異なる各構成を、詳細な局所場構成の同値類として表す。同じ同値類内の任意の 2 つの詳細な構成は、特定の変換によって関連付けられており、これは、構成空間内の非物理的な軸に沿ったせん断と同等である。ゲージ理論の定量的な物理的予測のほとんどは、これらの非物理的な自由度を抑制または無視するための一貫した処方箋の下でのみ得られる。

詳細な配置の空間における非物理的な軸は物理モデルの基本的な特性であるが、それらに「垂直」な方向の特別な集合は存在しない。したがって、特定の詳細な配置（またはそれらの加重分布）によって各物理配置を表す「断面」を取ることには、膨大な自由度が伴う。賢明なゲージ固定は計算を非常に簡単にすることができるが、物理モデルがより現実的になるにつれて次第に困難になる。量子場理論への適用は、特に計算がより高い次数まで続けられる場合、再正規化に関連する複雑さを伴っている。歴史的に、論理的に一貫性があり計算的に扱いやすいゲージ固定手順の探求、および当惑するようなさまざまな技術的困難に直面してそれらの同等性を実証する努力は、19世紀後半から現在に至るまで数理物理学の主要な原動力であった。^[要出典]

典型的なゲージ理論は、電磁 4 次元ポテンシャルによる連続体電気力学のヘビサイド-ギブス定式化であり、ここでは空間/時間非対称ヘビサイド記法で表されています。マクスウェル方程式の電場Eと磁場Bには、「物理的」自由度のみが含まれます。つまり、電磁場構成におけるすべての数学的自由度は、近傍の試験電荷の運動に対して個別に測定可能な影響を及ぼします。これらの「場の強さ」変数は、電気スカラー ポテンシャルと磁気ベクトル ポテンシャルAによって、次の関係式 で表すことができます。 ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle {\mathbf {E} }=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}\,,\quad {\mathbf {B} }=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

変革が

が作られると、Bは変化しない。なぜなら（恒等式で） ${\displaystyle \nabla \times \nabla \psi =0}$$${\displaystyle {\mathbf {B} }=\nabla \times ({\mathbf {A} }+\nabla \psi )=\nabla \times {\mathbf {A} }.}$$

しかし、この変換はEを次のように 変化させる。$${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}-\nabla {\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}=-\nabla \left(\varphi +{\frac {\partial {\psi }}{\partial t}}\right)-{\frac {\partial {\mathbf {A} }}{\partial t}}.}$$

もしまた変化があれば

が作られると、Eも同じままです。したがって、任意の関数ψ ( r , t )を取り、同時に変換( 1 )と( 2 )を介してAとφを変換すると、 EフィールドとBフィールドは変化しません。

スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルの特定の選択はゲージ（より正確にはゲージポテンシャル）であり、ゲージを変更するために使用されるスカラー関数ψはゲージ関数と呼ばれます。^[要出典]任意の数のゲージ関数ψ ( r、t )の存在は、この理論のU(1) ゲージ自由度に対応します。ゲージ固定はさまざまな方法で実行できますが、そのうちのいくつかを以下に示す。

古典電磁気学は今ではゲージ理論として語られることが多いが、もともとこのような用語で考えられていたわけではない。古典的な点電荷の運動は、その点における電場と磁場の強さによってのみ影響を受け、ポテンシャルは、いくつかの証明と計算を簡略化するための単なる数学的装置として扱うことができる。量子場理論の出現まで、ポテンシャル自体はシステムの物理的構成の一部であるとは言えなかった。正確に予測され、実験的に検証された最初の結果は、古典的な対応するものがないアハロノフ・ボーム効果であった。しかし、ゲージの自由度はこれらの理論でも依然として当てはまる。たとえば、アハロノフ・ボーム効果は、閉ループの周りのAの線積分に依存し、この積分は $${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi \,.}$$

ヤン・ミルズ理論や一般相対論などの非可換ゲージ理論におけるゲージ固定は、かなり複雑なトピックです。詳細については、グリボフの曖昧さ、ファデーエフ・ポポフのゴースト、フレームバンドルを参照してください。

ゲージ固定の例として、円筒形の棒を見て、それがねじれているかどうかを見極めようとするとします。棒が完全に円筒形であれば、断面が円対称であるため、ねじれているかどうかは判断できません。しかし、棒の長さに沿って直線が引かれていれば、その線の状態を見ることでねじれているかどうかは簡単に判断できます。線を引くことがゲージ固定です。線を引くとゲージ対称性、つまり棒の各点における断面の円対称性U(1)が損なわれます。線はゲージ関数と同等で、必ずしも直線である必要はありません。ほとんどすべての線は有効なゲージ固定です。つまり、大きなゲージ自由度があります。まとめると、棒がねじれているかどうかを判断するには、ゲージがわかっていなければなりません。ねじれのエネルギーなどの物理量はゲージに依存せず、つまりゲージ不変です。

クーロンゲージ（横方向ゲージとも呼ばれる）は量子化学や凝縮系物理学で使用され、ゲージ条件（より正確にはゲージ固定条件）によって定義される。 $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }(\mathbf {r} ,t)=0\,.}$$

これは、ベクトルポテンシャルは量子化されているがクーロン相互作用は量子化されていない量子力学の「半古典的」計算に特に役立ちます。

クーロンゲージにはいくつかの特性があります。

ローレンツゲージはSI単位では次のように 表され 、ガウス単位では次のように表されます。 $${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0}$$$${\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {A} }+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.}$$

これは次のように書き直すことができます。 ここで、は電磁4元ポテンシャル、∂ _{μ は}4元勾配（メトリックシグネチャ（+、−、−、−） を使用）です。$${\displaystyle \partial _{\mu }A^{\mu }=0.}$$${\displaystyle A^{\mu }=\left[\,{\tfrac {1}{c}}\varphi ,\,\mathbf {A} \,\right]}$

これは、拘束ゲージの中では、明白なローレンツ不変性を保持している点でユニークです。ただし、このゲージはもともとデンマークの物理学者ルートヴィヒ・ローレンツにちなんで名付けられたものであり、ヘンドリック・ローレンツにちなんで名付けられたものではないことに注意してください。「ローレンツゲージ」と誤って綴られることがよくあります。(どちらも計算に最初に使用したわけではありません。1888年にジョージ・フランシス・フィッツジェラルドによって導入されました。)

ローレンツゲージは、ポテンシャルに対して次の不均質波動方程式を導きます。 $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\varphi }={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}{\mathbf {A} }=\mu _{0}\mathbf {J} }$$

これらの方程式から、電流と電荷がない場合、解は光速で伝播する電位であることがわかります。

ローレンツゲージはある意味で不完全である。つまり、制約条件も保存できるゲージ変換の部分空間が残っている。これらの残りの自由度は、波動方程式を満たすゲージ関数に対応する。 $${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\psi }$$

残りのゲージ自由度は光速で伝播します。完全に固定されたゲージを得るには、実験領域の 光円錐に沿って境界条件を追加する必要があります。

ローレンツゲージにおけるマクスウェル方程式は次のように簡略化されます 。 ここで は4 元電流です。 $${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=\mu _{0}j^{\nu }}$$${\displaystyle j^{\nu }=\left[\,c\,\rho ,\,\mathbf {j} \,\right]}$

同じ電流構成に対するこれらの方程式の 2 つの解は、真空波動方程式の解によって異なります。 この形式では、ポテンシャルの成分が別々にクライン・ゴードン方程式を満たし、したがってローレンツ ゲージ条件によって 4 次元ポテンシャルで横方向、縦方向、および「時間的」な偏光波が許容されることが明らかです。横方向の偏光は古典的な放射、つまり、電界強度における横方向の偏光波に対応します。古典的な距離スケールでの実験では観察されない「非物理的な」縦方向および時間的偏光状態を抑制するには、ウォード恒等式と呼ばれる補助的な制約も使用する必要があります。古典的には、これらの恒等式は連続方程式と同等です。$${\displaystyle \partial _{\mu }\partial ^{\mu }A^{\nu }=0.}$$ $${\displaystyle \partial _{\mu }j^{\mu }=0.}$$

古典的電気力学と量子電気力学の多くの違いは、微視的距離における荷電粒子間の相互作用において縦方向および時間方向の分極が果たす役割によって説明できます。

R _ξゲージは、ラグランジアン密度を持つ作用原理で表現される理論に適用可能なローレンツゲージの一般化である。補助方程式を介してゲージ場を事前に制約してゲージを固定する代わりに、ゲージ破壊項を「物理的」（ゲージ不変）ラグランジアンに 追加します。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=-{\frac {\left(\partial _{\mu }A^{\mu }\right)^{2}}{2\xi }}}$$

パラメータξの選択によってゲージの選択が決まります。R ξランダウ ゲージは、_古典的にはローレンツ ゲージと同等です。つまり、 ξ → 0の極限で得られます が、その極限を取るのは理論が量子化された後まで延期されます。これにより、特定の存在証明と同値証明の厳密さが向上します。量子場理論の計算のほとんどは、 ξ = 1であるファインマン-'t Hooft ゲージで最も簡単です。少数の計算は、 ξ = 3 のイェニーゲージなど、他のR _ξゲージでより扱いやすくなります。

R _ξゲージの同等の定式化では、補助場、つまり独立したダイナミクスを持たないスカラー場Bを使用します。 $${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}=B\,\partial _{\mu }A^{\mu }+{\frac {\xi }{2}}B^{2}}$$

補助場は、ナカニシ・ロートルップ場とも呼ばれ、平方完成法によって除去して、前の形式を得ることができます。数学的な観点からは、補助場はゴールドストーン粒子の一種であり、その使用には、理論の漸近状態を識別するとき、特に QED を超えて一般化するときに利点があります。

歴史的に、 R _ξゲージの使用は、量子電気力学の計算を1 ループオーダーを超えて拡張する上で重要な技術的進歩でした。R ξ_の規定は、明白なローレンツ不変性を保持することに加えて、物理的に異なる任意の 2 つのゲージ構成の機能的測度の比を維持しながら、局所ゲージ変換の下で対称性を破ります。これにより、構成空間の「物理的」方向に沿った微小な摂動が「非物理的」方向に沿ったものから完全に切り離され、後者が機能積分の物理的に意味のない正規化に吸収されるような変数の変更が可能になります。ξ が有限の場合、各物理的構成 (ゲージ変換のグループの軌道) は、制約方程式の単一の解ではなく、ゲージ破壊項の極値を中心としたガウス分布によって表されます。ゲージ固定理論のファインマン規則では、これは、非物理的偏光の仮想光子からの内部線に対する光子伝播関数への寄与として現れます。

QED 計算のファインマン図展開における内部光子に対応する乗法因子である光子プロパゲーターには、ミンコフスキー計量に対応する因子g _μνが含まれます。この因子を光子偏光の合計として展開すると、4 つの可能な偏光すべてを含む項が含まれます。横偏光放射は、数学的には線形偏光または円偏光基底の合計として表すことができます。同様に、縦方向および時間的ゲージ偏光を組み合わせて、「前方」および「後方」偏光を得ることができます。これらは、計量が対角外である光円錐座標の形式です。円偏光 (スピン ±1) および光円錐座標に関するg _μν因子の展開は、スピン和と呼ばれます。スピン和は、式を簡略化する場合と、理論計算のさまざまな項に関連する実験効果を物理的に理解する場合の両方で非常に役立ちます。

リチャード・ファインマンは、電子の異常磁気モーメントなどの重要な観測可能なパラメータについて、一貫性があり有限で高精度な結果を生み出す計算手順を正当化するために、おおよそこの方向の議論を主に用いた。彼の議論は物理学者の基準から見ても数学的な厳密さを欠くことがあり、量子論のウォード・高橋恒等式の導出などの詳細を省略していたが、彼の計算はうまくいき、フリーマン・ダイソンはすぐに彼の方法がジュリアン・シュウィンガーや朝永振一郎の方法と実質的に同等であることを実証した。ファインマンは彼らと共に1965年のノーベル物理学賞を共同受賞した。

量子場理論の漸近状態では、前方および後方偏光放射は省略できる（ウォード・高橋恒等式を参照）。このため、またスピン和におけるそれらの出現は QED における単なる数学的装置とみなすことができるため（古典電気力学における電磁 4 元ポテンシャルによく似ている）、それらはしばしば「非物理的」であると言われる。しかし、上記の制約ベースのゲージ固定手順とは異なり、R _ξゲージはQCDのSU(3)などの非可換ゲージ群にうまく一般化される。物理的摂動軸と非物理的摂動軸の間の結合は、対応する変数の変更によって完全に消えるわけではない。正しい結果を得るには、詳細な構成の空間内でゲージ自由軸を埋め込む非自明なヤコビアンを考慮する必要がある。これにより、ファインマン図には前方および後方に分極したゲージボソンが明示的に出現するとともに、スピン統計定理に違反する点でさらに「非物理的」なファデーエフ・ポポフゴーストも出現する。これらの実体の関係、および量子力学的意味で粒子として現れない理由は、量子化のBRST 形式論でより明らかになる。

非アーベルゲージ理論では、任意の最大アーベルゲージは、最大アーベル部分群の外側のゲージ自由度を固定する 不完全ゲージである。例としては、

• D次元のSU(2)ゲージ理論では、最大アーベル群はU(1)部分群である。これがパウリ行列 σ ₃によって生成されるものとして選択されると、最大アーベルゲージは関数を最大化するものである。ここで$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}\right]\,,}$$$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\sigma _{a}\,.}$$
• D次元のSU(3)ゲージ理論では、最大アーベル群はU(1)×U(1)部分群である。これがゲルマン行列 λ ₃とλ ₈によって生成されるものと選択されると、最大アーベルゲージは関数を最大化するものである。ここで$${\displaystyle \int d^{D}x\left[\left(A_{\mu }^{1}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{2}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{4}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{5}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{6}\right)^{2}+\left(A_{\mu }^{7}\right)^{2}\right]\,,}$$$${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\mu }=A_{\mu }^{a}\lambda _{a}}$$

これは、クリフォード代数などの高次の代数（代数内のグループの）に規則的に適用されます。

特定の状況で有益な可能性がある他のさまざまなゲージが文献に登場しています。^[2]

ワイルゲージ（ハミルトニアンまたは時間ゲージとも呼ばれる）は、次の選択によって得られる 不完全ゲージである。$${\displaystyle \varphi =0}$$

ヘルマン・ワイルにちなんで名付けられた。負ノルムゴーストを排除し、明白なローレンツ不変性を欠き、縦光子と状態に対する制約を必要とする。^[5]

多極ゲージ（線ゲージ、点ゲージ、またはポアンカレゲージ（アンリ・ポアンカレにちなんで命名） とも呼ばれる）のゲージ条件は次のとおりです。$${\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {A} =0.}$$

これは、電位を瞬間的な場を用いて簡単に表現できる別のゲージである。 $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \times \int _{0}^{1}\mathbf {B} (u\mathbf {r} ,t)u\,du}$$ $${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=-\mathbf {r} \cdot \int _{0}^{1}\mathbf {E} (u\mathbf {r} ,t)du.}$$

フォック・シュウィンガーゲージ（ウラジミール・フォックとジュリアン・シュウィンガーにちなんで命名された。相対論的ポアンカレゲージと呼ばれることもある）のゲージ条件は次の通りである。 ここで、x ^μは位置四元ベクトルである。 $${\displaystyle x^{\mu }A_{\mu }=0}$$

非線形ディラックゲージ条件（ポール・ディラックにちなんで名付けられた）は次のとおりです。$${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=k^{2}}$$

• Landau, Lev ; Lifshitz, Evgeny (2007).体の古典理論. アムステルダム: Elsevier Butterworth Heinemann. ISBN 978-0-7506-2768-9。
• ジャクソン、JD (1999)。古典電気力学（第3版）。ニューヨーク：ワイリー。ISBN 0-471-30932-X。