古典電磁気学

古典電磁気学または古典電気力学は、古典的なニュートンモデルの拡張を使用して電荷と電流の相互作用を研究する理論物理学の分野です。したがって、古典場の理論です。この理論は、関連する長さのスケールと場の強度が十分に大きく、量子力学的効果が無視できる場合はいつでも、電磁気現象を説明します。距離が短く、場の強度が低い場合、そのような相互作用は量子場の理論である量子電気力学によってより適切に説明されます。

古典電気力学の基本的な物理的側面は、多くの教科書で紹介されています。学部レベルでは、The Feynman Lectures on Physics、Electricity and Magnetism、Introduction to Electrodynamicsなどの教科書が古典的な参考文献とみなされ、大学院レベルでは、Classical Electricity and Magnetism、^[1]、 Classical Electrodynamics、Course of Theoretical Physicsなどの教科書が古典的な参考文献とみなされています。

電磁気学が説明する物理現象は、古代から別々の分野として研究されてきました。たとえば、光が電磁波であると理解される何世紀も前に、光学分野では多くの進歩がありました。しかし、現在理解されているような電磁気学の理論は、電磁場の存在を示唆したマイケル・ファラデーの実験と、ジェームズ・クラーク・マクスウェルが『電気と磁気の論文』 （1873年）で微分方程式を使用してそれを説明したことから生まれました。ヨーロッパでの電磁気学の発展には、電圧、電流、静電容量、抵抗を測定する方法の開発が含まれていました。詳細な歴史的説明は、ヴォルフガング・パウリ、^[2]、ET・ウィテカー、^[3]、エイブラハム・パイス、^[4]、ブルース・J・ハントによって提供されています。 ^[5]

電磁場は荷電粒子に次の力（ローレンツ力と呼ばれることが多い）を及ぼします。

${\displaystyle \mathbf {F} =q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$

ここで、太字の数量はすべてベクトルです。Fは電荷qを持つ粒子が受ける力、E は粒子の位置における電場、vは粒子の速度、B は粒子の位置における 磁場です。

上記の式は、ローレンツ力が 2 つのベクトルの合計であることを示しています。1 つは速度ベクトルと磁場ベクトルの外積です。外積の特性に基づいて、速度ベクトルと磁場ベクトルの両方に垂直なベクトルが生成されます。もう 1 つのベクトルは電場と同じ方向です。これら 2 つのベクトルの合計がローレンツ力です。

この式は電場と磁場が独立していることを示しているように見えますが、この式は、 4つの電流（電荷の代わりに）と、結合された場を表す単一の電磁テンソル（ ）で書き直すことができます。 ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$

${\displaystyle f_{\alpha }=F_{\alpha \beta }J^{\beta }.\!}$

電界E は、静止電荷上で次のように定義されます。

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{0}\mathbf {E} }$

ここで、q ₀はテスト電荷と呼ばれるもので、F はその電荷にかかる力です。電荷の大きさは、単に存在することによって電界に影響を与えないほど小さければ、実際には重要ではありません。ただし、この定義から明らかなのは、Eの単位が N/C (ニュートン/クーロン)であるということです。この単位は V/m (ボルト/メートル) に等しくなります。以下を参照してください。

静電気学では、電荷が点電荷の分布の周りを移動しないので、クーロンの法則から決定される力を合計することができます。q ₀で割った結果は次のようになります。

${\displaystyle \mathbf {E(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|^{3}}}}$

ここで、nは電荷の数、q _iはi番目の電荷に関連付けられた電荷の量、r _iはi番目の電荷の位置、r は電界が決定される位置、ε _0は電気定数です。

代わりに、フィールドが電荷の連続分布によって生成される場合、合計は積分になります。

${\displaystyle \mathbf {E(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )\left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$

ここで、は電荷密度であり、は体積要素からEが決定される 空間内の点を指すベクトルです。${\displaystyle \rho (\mathbf {r'} )}$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} }$${\displaystyle \mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$

上記の式は両方とも扱いにくいですが、特にEを位置の関数として決定したい場合はなおさらです。電位と呼ばれるスカラー関数が役立ちます。電位は電圧とも呼ばれ、単位はボルトで、線積分によって定義されます。

${\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} =-\int _{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {l} }$

ここでは電位、C は積分が行われる経路です。 ${\displaystyle \varphi ({\textbf {r}})}$

残念ながら、この定義には注意点があります。マクスウェル方程式から、 ∇ × E は常にゼロではないことは明らかであり、したがってスカラーポテンシャルだけでは電界を正確に定義するには不十分です。結果として、補正係数を追加する必要があります。これは通常、以下で説明するAベクトルポテンシャルの時間微分を減算することによって行われます。ただし、電荷が準静的である場合は、この条件は基本的に満たされます。

電荷の定義から、点電荷の電位は位置の関数として次のように表されることが簡単にわかります。

${\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {q_{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}}}$

ここで、qは点電荷の電荷、rは電位が決定される位置、r _{i は}各点電荷の位置です。電荷の連続分布の電位は次のようになります。

${\displaystyle \varphi \mathbf {(r)} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r'} )}{|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}\,\mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$

ここで、は電荷密度であり、は体積要素からφが決定される 空間内の点までの距離です。${\displaystyle \rho (\mathbf {r'} )}$${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r'} }$${\displaystyle \mathrm {d^{3}} \mathbf {r'} }$

スカラーφ は、スカラーとして他のポテンシャルに追加されます。これにより、複雑な問題を単純な部分に分解し、それらのポテンシャルを追加することが比較的簡単になります。φの定義を逆にすると、電界はポテンシャルの 負の勾配 ( del演算子) にすぎないことがわかります。または:

${\displaystyle \mathbf {E(r)} =-\nabla \varphi \mathbf {(r)} .}$

この式から、 E はV/m (ボルト/メートル) で表せること がわかります。

変化する電磁場は、その発生源から波の形で伝播します。これらの波は真空中を光速で移動し、幅広い波長スペクトルで存在します。電磁放射の動的場の例（周波数が増加する順）：電波、マイクロ波、光（赤外線、可視光、紫外線）、X線、ガンマ線。粒子物理学の分野では、この電磁放射は荷電粒子間の電磁相互作用の現れです。

クーロン方程式は単純で納得のいくものですが、古典的電磁気学の文脈では完全に正しいわけではありません。電荷分布の変化が他の場所で「感じられる」にはゼロではない時間が必要であるため、問題が発生します (特殊相対性理論で要求されます)。

一般的な電荷分布の場については、遅延ポテンシャルを計算し、それに応じて微分化することで、ジェフィメンコ方程式を得ることができます。

遅延ポテンシャルは点電荷に対しても導出することができ、その方程式はリエナール・ヴィーヒャルトポテンシャルとして知られています。スカラーポテンシャルは次のようになります。

${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}})\right|-{\frac {\mathbf {v} _{q}(t_{\rm {ret}})}{c}}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}}))}}}$

ここで、は点電荷の電荷、は位置です。 および は それぞれ、遅延時間の関数としての電荷の位置と速度です。ベクトルポテンシャルも同様です。 ${\displaystyle q}$${\displaystyle {\textbf {r}}}$${\displaystyle {\textbf {r}}_{q}}$${\displaystyle {\textbf {v}}_{q}}$

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {q\mathbf {v} _{q}(t_{\rm {ret}})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}})\right|-{\frac {\mathbf {v} _{q}(t_{\rm {ret}})}{c}}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{q}(t_{\rm {ret}}))}}.}$

これらを適宜微分すると、移動する点粒子の完全な場の方程式が得られます。

光学、電気・電子工学などの古典的電磁気学の分野は、特定の電気力学現象の理解を深めるために、さまざまな程度の単純化と理想化が施された関連する数学モデルの集合体である。 ^[6]電気力学現象は、特定の場、特定の電荷と電流の密度、特定の伝送媒体によって決定される。それらは無限にあるため、モデル化には、いくつかの典型的で代表的なモデルが必要である。

（a）電荷と電流、例えば移動する点状の電荷と電気双極子と磁気双極子、導体内の電流など。

（b）電磁場、例えば電圧、リエナール・ヴィーヒャルト電位、単色平面波、光線、電波、マイクロ波、赤外線、可視光線、紫外線、X線、ガンマ線など。

（c）伝送媒体、例えば電子部品、アンテナ、電磁導波管、平面鏡、曲面鏡、凸レンズ、凹レンズ、抵抗器、インダクタ、コンデンサ、スイッチ、電線、電気ケーブル、光ケーブル、伝送線、集積回路など。これらはすべて、変動特性がわずかしかありません。

• 電磁場の数学的記述
• ウェーバー電気力学
• ウィーラー・ファインマン吸収体理論