質量ギャップ

量子場理論では、質量ギャップとは、最低エネルギー状態である真空と、次に低いエネルギー状態との間のエネルギー差のことです。真空のエネルギーは定義によりゼロであり、すべてのエネルギー状態が平面波の粒子として考えられると仮定すると、質量ギャップは最も軽い粒子の質量になります。

正確な（つまり非摂動的な）エネルギー固有状態のエネルギーは拡散しており、したがって技術的には固有状態ではないため、より正確な定義は、質量ギャップは真空に直交する任意の状態のエネルギーの最大下限であるということです。

離散格子上の多体物理学における質量ギャップの類似物は、ギャップのあるハミルトニアンから生じます。

与えられた実数値量子場 （ただし ）に対して、2点関数が以下の性質を持つ とき、理論は質量ギャップを持つと言える。${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x=({\boldsymbol {x}},t)}$

$${\displaystyle \langle \phi (0,t)\phi (0,0)\rangle \sim \sum _{n}A_{n}\exp \left(-\Delta _{n}t\right)}$$

はハミルトニアンのスペクトルにおける最低エネルギー値であり、したがって質量ギャップである。この量は他の場に簡単に一般化でき、格子計算で一般的に測定されるものである。このようにして、ヤン・ミルズ理論が格子上に質量ギャップを展開することが証明された。[ 1 ^{] [2]}対応する時間順序値であるプロパゲーターは、次の性質を持つ。 ${\displaystyle \Delta _{0}>0}$

$${\displaystyle \lim _{p\rightarrow 0}\Delta (p)=\mathrm {constant} }$$

定数は有限です。典型的な例としては、質量を持つ自由粒子が挙げられますが、この場合、定数の値は 1/ m ²です。同じ極限で、質量のない粒子の伝播関数は特異です。

質量ゼロの理論で質量ギャップが生じる例は、すでに古典的レベルで、対称性の自発的破れやヒッグス機構に見ることができます。前者の場合、後者の場合、ゲージ自由度により除去される質量ゼロの励起、ゴールドストーン粒子の出現に^{[どのように？ ]}対処する必要があります。量子化は、このゲージ自由度特性を保存します。

4次の質量ゼロのスカラー場理論は、古典レベルですでに質量ギャップを生み出している^{[説明が必要]}。次の式を考えてみよう。

$${\displaystyle \Box \phi +\lambda \phi ^{3}=0.}$$

この方程式は正確な解を持つ

$${\displaystyle \phi (x)=\mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{\frac {1}{4}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,-1\right)}$$ —ここで、およびは積分定数であり、snはヤコビの楕円関数である—ただし、 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}{\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}.}$$

古典レベルでは質量ギャップが現れるが、量子レベルでは励起の塔が存在し、この理論特性は運動量がゼロになる極限において量子化後も保持される。^[3]

格子計算により、ヤン＝ミルズ理論には確かに質量ギャップと励起の塔があることが示唆されているが、理論的証明はまだない。これはクレイ研究所の ミレニアム問題の一つであり、未解決のままである。ヤン＝ミルズ理論のそのような状態は、グルーボールと呼ばれる物理的状態であり、実験室で観察できるはずである。

カレン・レーマンのスペクトル表現が成り立つ場合、この段階ではゲージ理論を除外し、スペクトル密度関数は質量ギャップから始まる離散スペクトルを持つ非常に単純な形をとることができる。

$${\displaystyle \rho (\mu ^{2})=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}\delta (\mu ^{2}-m_{n}^{2})+\rho _{c}(\mu ^{2})}$$

スペクトルの多粒子部分からの寄与 である。この場合、伝播関数は単純な形をとる。${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})}$

$${\displaystyle \Delta (p)=\sum _{n=1}^{N}{\frac {Z_{n}}{p^{2}-m_{n}^{2}+i\epsilon }}+\int _{4m_{N}^{2}}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2}){\frac {1}{p^{2}-\mu ^{2}+i\epsilon }}}$$

多粒子セクターの近似的な開始点 である。${\displaystyle 4m_{N}^{2}}$

$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho (\mu ^{2})=1}$$

スペクトル密度の定数については次の結論に達する。

$${\displaystyle 1=\sum _{n=1}^{N}Z_{n}+\int _{0}^{\infty }d\mu ^{2}\rho _{c}(\mu ^{2})}$$。

これはゲージ理論では当てはまりません。むしろ、伝播関数のケレン・レーマン表現がこのケースでも成り立つことを証明する必要があります。多粒子寄与がないということは、理論に束縛状態が現れず、したがって理論に質量ギャップがあっても相互作用がないため、理論が自明であることを意味します。この場合、伝播関数は上記の式で 設定するだけですぐに得られます。${\displaystyle \rho _{c}(\mu ^{2})=0}$

• コールマン・マンデュラ定理
• スカラー場理論

• Sadun, Lorenzo. ヤン・ミルズと質量ギャップ。ヤン・ミルズ定式化における質量ギャップ問題の性質を概説したビデオ講義。
• 分散ウィキにおけるスカラー場理論の質量ギャップ
• 「3D 量子ヤン・ミルズ理論における質量ギャップ問題に関する講演」。YouTube。フランシス・ビラトロ。2012 年 8 月 1 日。