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ニュートンの万有引力の法則は、宇宙のすべての粒子が、その質量に比例し、重心間の距離の二乗に反比例する力で他のすべての粒子を引き付けるという力として重力を記述しています。分離された球対称の物体は、あたかもその質量がすべて中心に集中しているかのように引き付け合います。この法則の発表は、地球上で以前に記述された重力の現象と既知の天文学的挙動を統一したことから、 「最初の偉大な統一」として知られるようになりました。 [ 1 ] [ 2 ]
これは、アイザック・ニュートンが帰納的推論と呼んだものによる経験的観察から導き出された一般的な物理法則である。[ 3 ]これは古典力学の一部であり、1687年7月5日に初版が発行されたニュートンの著作『自然哲学の数学的原理』（ラテン語で「プリンキピア」）の中で定式化された。
したがって、万有引力の式は次のようになる。 ここで、Fは 2 つの物体間に作用する重力、m 1とm 2は物体の質量、rは質量中心間の距離、Gは重力定数である。6.674 × 10 −11 m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 )。
実験室で質量間のニュートンの万有引力の法則を初めて検証したのは、1798年にイギリスの科学者ヘンリー・キャベンディッシュが行ったキャベンディッシュの実験である。 [ 4 ]これはニュートンの『プリンキピア』の出版から111年後、そして彼の死後およそ71年後に行われた。
ニュートンの万有引力の法則は、2つの帯電した物体間に生じる電気力の大きさを計算するために用いられるクーロンの電気力の法則に似ている。どちらも逆二乗法則であり、力は物体間の距離の二乗に反比例する。クーロンの法則では、質量の代わりに電荷が用いられ、定数も異なっている。
ニュートンの法則は後にアルバート・アインシュタインの一般相対性理論に取って代わられましたが、重力定数の普遍性はそのまま維持されており、この法則は今でもほとんどの用途において重力の影響を近似する優れた法則として用いられています。相対性理論が必要となるのは、極めて高い精度が求められる場合、あるいは極めて質量が大きく密度の高い物体付近や、水星の太陽周回軌道のような近距離など、非常に強い重力場を扱う場合に限られます。
ニュートンの万有引力の法則以前にも、重力を説明する理論は数多く存在した。哲学者たちは物が落下する現象を観察し、その理由について理論を構築してきた。アリストテレスは、岩が地面に落ちるのは、地面を求めることが岩の性質の本質的な部分であると考えていた。[ 5 ]
1600年頃、科学的方法が根付き始めた。ルネ・デカルトはより根本的な視点から出発し、神学とは独立した物質と作用の概念を発展させた。ガリレオ・ガリレイは落下物と転がる物体の実験的測定について記述した。ヨハネス・ケプラーの惑星運動の法則は、ティコ・ブラーエの天体観測をまとめたものである。 [ 6 ]： 132
1666年頃、アイザック・ニュートンは、ケプラーの法則が地球の周りを回る月の軌道、ひいては地球上のすべての物体にも適用されるはずだという考えを発展させた。この分析には、地球のすべての質量がその中心に集中しているかのように重力が作用するという仮定が必要だったが、これは当時まだ証明されていない推測だった。彼の月の公転周期の計算は、既知の値から16%以内の誤差であった。1680年までに、地球の直径に関する新しい値によって彼の公転周期は1.6%以内の誤差にまで改善されたが、より重要なことに、ニュートンは以前の推測の証明を発見したのである。[ 7 ]： 201
1687年、ニュートンは自身の運動法則と新しい数学的解析を組み合わせてケプラーの実験結果を説明する『プリンキピア』を出版した。 [ 6 ]： 134ニュートンの定式化は後に逆二乗法則に集約された。ここで、 Fは力、m1とm2は相互作用する物体の質量、rは質量中心間の距離、Gは重力定数である。6.674 × 10 −11 m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2。[ 8 ] Gはニュートンの定数とも呼ばれますが、ニュートンはこの定数や公式を使用せず、比例関係についてのみ議論しました。[ 9 ] : 31これは、月面における地球の重力がリンゴに対する地球の重力と同じであることを示すのに十分でした。ニュートンは当時知られていた値を用いて、この法則の形式を検証することができた。Gの値は最終的に1797年にヘンリー・キャベンディッシュによって測定された。[ 9 ]： 31
ニュートンは1665年頃、この公式に基づいて定量分析を行い、月の軌道の周期と距離、そして地球に落下する物体のタイミングを考慮した。ニュートンは当時、地球の重力がまるでその質量すべてが中心に集中しているかのように作用することを証明できなかったため、これらの結果を公表しなかった。その証明には20年を要した。[ 10 ]： 13ニュートンが1686年4月に未発表のテキストの第1巻を王立協会に提出した際、ロバート・フックはニュートンが逆二乗法則を自分から得たと主張したが、これは結局は根拠のない非難であった。[ 7 ]： 204
ニュートンは、その記念碑的な著作の中で万有引力の法則を定式化することに成功したが、方程式が示唆する「遠隔作用」という概念には強い違和感を抱いていた。1692年、ベントレーへの3通目の手紙の中で、彼は次のように書いている。「物体が真空を通して、何の媒介もなく、遠隔で別の物体に作用するということは、私にとってはあまりにも不条理であり、哲学的な事柄について十分な思考力を持つ者であれば、決してそのような考えに陥ることはないだろう。」[ 11 ] [ 12 ]： 26
ニュートンの1713年の『プリンキピア』第2版の「一般注釈」では、重力のモデルが説明されており、ここではサミュエル・クラークによって翻訳されている。
私は天と海の現象を重力の力によって説明しましたが、重力の原因はまだ特定できていません。重力は、何らかの原因から生じる力であり、その力は太陽や惑星の中心にまで達し、その強さは衰えません。そして、重力は、機械的な原因がそうであるように、作用する粒子の表面積に比例して作用するのではなく、固体物質の量に比例して作用します。また、その作用はあらゆる方向に、途方もない距離にまで及び、常に距離の2倍の比率で減少します。しかし、重力のこれらの性質の原因は、現象から推論できるものとしてまだ見つかっていません。そして、私は仮説を立てません。[ 13 ]： 383
最後の文は、ニュートンの有名な[ 13 ]、そして非常に議論の多い[ 14 ]ラテン語のフレーズHypotheses non fingoです。他の翻訳では「私は仮説を立てない」となっています。[ 15 ]
ニュートンは自身の重力理論に基づいて2つの予測を行った。1774年のシーハリオン実験では、地球の重力とシーハリオン山の重力を比較し、これらの予測の1つを実証した。2つ目の予測は、2つの巨大な球体の相互引力に関するもので、1798年にヘンリー・キャベンディッシュによって実証された。 [ 16 ]
現代の言葉で言えば、法律は次のように述べている。
SI単位を仮定すると、Fはニュートン（N）、m1とm2はキログラム（kg）、rはメートル（m）で測定され、定数Gは6.674 30 (15) × 10 −11 m 3 ⋅kg −1 ⋅s −2。[ 8 ]定数Gの値は、1798 年にイギリスの科学者ヘンリー・キャベンディッシュが行ったキャベンディッシュ実験の結果から初めて正確に決定されましたが、キャベンディッシュ自身はGの数値を計算しませんでした。[ 4 ]この実験は、実験室で質量間のニュートンの重力理論を検証した最初の実験でもありました。これは、ニュートンのプリンキピアの出版から 111 年後、ニュートンの死後 71 年に行われたため、ニュートンの計算ではGの値を使用できませんでした。代わりに、彼は別の力に対する相対的な力を計算することしかできませんでした。
対象となる物体が空間的な広がりを持つ場合（点質量ではない場合）、それらの間の重力は、物体を構成する仮想的な点質量の寄与を合計することによって計算されます。極限においては、構成要素である点質量が「無限に小さい」場合、これは2つの物体の広がり全体にわたって力（ベクトル形式、下記参照）を積分することを意味します。
このようにして、質量が球対称に分布している物体は、その物体の質量がすべて中心の一点に集中している場合と同じ重力を外部の物体に及ぼすことが示される。[ 17 ]（これは一般的に球対称でない物体には当てはまらない。）
球対称な物質分布の内部の点については、ニュートンのシェル定理を使用して重力を求めることができます。この定理は、質量分布の中心から距離r 0の位置にある点で測定される重力に、質量分布のさまざまな部分がどのように影響するかを示しています。 [ 18 ]
その結果、例えば、厚さと密度が均一な殻の中では、中空の球体内部のどこにも正味の重力加速度は生じない。
ニュートンの万有引力の法則は、重力の大きさだけでなく方向も考慮した ベクトル方程式として表すことができます。この式において、太字で示されている量はベクトルを表します。 どこ
方程式のベクトル形式は、 Fがベクトル量となり、右辺に適切な単位ベクトルが乗算される点を除いて、先に示されていたスカラー形式と同じであることがわかります。また、 F 12 = − F 21であることがわかります。
重力場とは、空間内の任意の点において、単位質量あたりの物体に作用する重力を表すベクトル場である。実際には、その点における重力加速度に等しい。
これはベクトル形式の一般化であり、2 つ以上の物体が関係する場合 (地球と月の間のロケットなど) に特に役立ちます。2 つの物体 (たとえば、物体 2 がロケット、物体 1 が地球) の場合、r の代わりに r 12、m の代わりに m 2 と書き、重力場g ( r )を次のように定義します。[ 20 ] こう書けるように：
この定式化は、場を発生させる物体に依存します。場は加速度の次元を持ち、SI単位系ではm/s²です。
重力場は保存的でもあります。つまり、重力がある位置から別の位置へ行う仕事は経路に依存しません。このことから、次のような重力ポテンシャル場V ( r ) が存在することがわかります。
m 1 が点質量または均一な質量分布を持つ球の質量である場合、球の外側の力場g ( r ) は等方的であり、つまり球の中心からの距離rのみに依存します。この場合
ガウスの法則によれば、対称物体内の電場は次の数式で求められる。
どこは閉じた表面であり、は、表面によって囲まれた質量です。
したがって、半径が中空の球の場合総質量、
半径の均一な固体球の場合総質量、
ニュートンの重力の記述は多くの実用的な目的に十分正確であるため、広く使用されています。無次元量がそしてどちらも1よりはるかに小さい。重力ポテンシャルは、は研究対象物の速度であり、は真空中の光速である。 [ 21 ]例えば、ニュートン重力は地球/太陽系を正確に記述する。 どこは、地球が太陽の周りを公転する軌道の半径です。
いずれかの無次元パラメータが大きい場合、その系を記述するには一般相対性理論を用いる必要がある。一般相対性理論は、ポテンシャルが小さく速度が低い極限ではニュートン重力に帰着するため、ニュートンの万有引力の法則はしばしば一般相対性理論の低重力極限であると言われる。
上記の観測との最初の 2 つの矛盾は、アインシュタインの一般相対性理論によって説明されました。この理論では、重力は物体間に伝わる力によるものではなく、曲がった時空の現れであるとされています。アインシュタインの理論では、エネルギーと運動量はその近傍の時空を歪め、他の粒子は時空の幾何学によって決定される軌道を描いて運動します。これにより、入手可能なすべての観測と矛盾しない光と質量の運動の説明が可能になりました。一般相対性理論では、重力は時空の曲率から生じる仮想的な力です。なぜなら、自由落下する物体の重力加速度は、その世界線が時空の測地線であることによるからです。
重力の影響を受けるn 個の物体の運動を予測する問題は、 n体問題として知られています。2体問題は完全に解決されていますが、物体が 3 体以上になると、解は一般にカオス的になり、数値的にしか得られません。最も研究されているのは3 体問題で、特定のケースについてはいくつかの解が知られています。例えば、ラグランジュ点を生成する解などです。
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