誘導放出

誘導放出とは、特定の周波数の入射光子が励起状態の原子電子（またはその他の励起状態の分子）と相互作用し、その電子をより低いエネルギー準位に遷移させる過程である。放出されたエネルギーは電磁場に伝達され、入射波の光子と周波数、偏光、進行方向がすべて同じ新しい光子が生成される。これは、外部電磁場に関係なく、高エネルギー状態にある各原子／振動子に固有の速度で発生する自然放出とは対照的である。

誘導放出現象は、 1916年にアルバート・アインシュタインによって予言され、現在アインシュタインB係数と呼ばれるものが導入されました。アインシュタインの研究は、メーザーとレーザーの理論的基礎となりました。このプロセスは、吸収された光子のエネルギーが、同じだが逆の原子遷移（より低いエネルギー準位からより高いエネルギー準位への遷移）を引き起こす原子吸収と形式的に同一です。

概要

励起状態にある原子が電磁場と相互作用すると、誘導放出が起こります。励起状態とより低いエネルギー状態とのエネルギー差が電磁場の占有モードのエネルギーと一致する場合、位相、エネルギー、偏光が電磁場の光子と一致する光子が放出されます。^{[ 1 ]}^{： 580}概略的に、2つのエネルギー準位を持つ原子の場合、このプロセスは以下のように示されます。

誘導放出には電磁場が必要です。逆のプロセスは吸収で、電磁場から光子を消費して原子のエネルギーレベルを上げ、励起状態を作り出します。電磁場がない場合、励起状態は崩壊し、「自発放出」と呼ばれるランダムなプロセスで光子を放出します。^{[ 1 ]}^{： 580}これは蛍光と熱放出のメカニズムです。

歴史

誘導放出は、アルバート・アインシュタインが古い量子論の枠組みの中で発見した理論であり、放出は電磁場の量子である光子によって記述される。^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}アインシュタインはこのテーマについて3つの論文を発表した。重要な研究は、自発放出と誘導放出、およびアインシュタイン係数を導入した1917年の論文^{[ 6 ]}である。アインシュタインの放射理論は時代を先取りしており、現代の量子電磁力学と量子光学の理論を数十年先取りしている。^[⁷^]

アインシュタインの量子放射モデル

誘導放出は、原子が2つの電子エネルギー状態、すなわち低いレベル状態（基底状態である可能性もある）（1）と励起状態（2）のいずれかにあると考えることで数学的にモデル化できる。それぞれのエネルギーはE ₁とE ₂である。

原子が励起状態にある場合、自然放出によってより低い状態に崩壊し、2つの状態間のエネルギー差を光子として放出する。この光子の周波数はν₀、エネルギーはhν₀であり_、以下の式_で表される。 $E_{2}-E_{1}=h\,\nu _{0}$ ここでhはプランク定数である。

あるいは、励起状態の原子が周波数ν₀の電場によって摂動を受けると、同じ周波数_で同位相の光子を放出し、外部電場を増強することで、原子はより低いエネルギー状態に戻ることがある。この過程は誘導放出として知られている。

このような原子群において、励起状態にある原子の数がN ₂で与えられる場合、誘導放出が起こる速度は次のように表される。 ${\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=-B_{21}\,\rho (\nu )\,N_{2}$ ここで比例定数B _{21はその特定の遷移に対する}アインシュタイン B 係数として知られており、ρ ( ν ) は周波数νにおける入射場の放射密度である。したがって、放出率は励起状態にある原子の数N ₂と入射光子の密度に比例する。

同時に、原子吸収の過程も起こり、これは場からエネルギーを取り除きながら電子を低い状態から高い状態に励起する。その速度は誘導放出速度の負の値に正確に等しい。 ${\frac {\partial N_{2}}{\partial t}}=-{\frac {\partial N_{1}}{\partial t}}=B_{12}\,\rho (\nu )\,N_{1}.$ したがって、吸収率は、より低い状態にある原子の数N ₁に比例する。

アインシュタインは1917年のプランクの法則の導出において、高温極限では誘導放出率と誘導吸収率が等しくなければならないことを示した（縮退重みが同一であると仮定した場合）。 $B_{12}=B_{21}.$ さらに、ウィーン分布法則は、自発放出率が誘導放出率に比例することを要求します。^{[ 7 ]} ${\frac {A_{ba}}{B_{ba}}}\propto \nu ^{3},\ (h\nu \gg kT)$

係数の計算

B係数は、量子力学における双極子近似と時間依存摂動理論を用いて次のように計算できます。^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} $B_{ab}={\frac {e^{2}}{6\epsilon _{0}\hbar ^{2}}}|\langle a|{\vec {r}}|b\rangle |^{2}$ ここで、Bは周波数νに関するエネルギー分布に対応する。B係数は使用するエネルギー分布関数の選択によって変化する可能性があるが、エネルギー分布関数とそのB係数の積は常に同じである。

物件

誘導放出の顕著な特徴は、日常的な光源（自然放出に依存する）と比較して、放出される光子が入射光子と同じ周波数、位相、偏光、および伝播方向を持つことです。したがって、関与する光子は相互にコヒーレントです。2つの光子は完全に区別できない粒子であり、「クローンされた二光子」と考えることができます。これらの光子はエンタングルしていません。^{[ 10 ]}集団反転（ $\Delta N>0$ が存在するため、入射光の光学的増幅が起こる。

スペクトル線の形状

誘導放出によって生成されるエネルギーは常にそれを誘導した場の周波数と全く同じですが、上記の速度式は特定の光周波数での励起のみに関係しています。 $\displaystyle \nu _{0}}$ 遷移のエネルギーに対応する周波数では、 $\displaystyle \nu _{0}}$ 誘導放出（または自然放出）の強度は、いわゆる線形状に応じて減少する。原子または分子共鳴に影響を与える均一広がりのみを考慮すると、スペクトル線形状関数はローレンツ分布として記述される。 $g'(\nu )={1 \over \pi }{(\Gamma /2) \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}$ どこ $\Gamma$ 半値全幅、またはFWHM帯域幅のことです。

ローレンツ線形形状のピーク値は線の中心で発生し、 $\nu =\nu _{0}$ 線形状関数は、その値が $\displaystyle \nu _{0}}$ は1である。ローレンツ関数の場合、次の式が得られる。 $g(\nu )={g'(\nu ) \over g'(\nu _{0})}={(\Gamma /2)^{2} \over (\nu -\nu _{0})^{2}+(\Gamma /2)^{2}}。$

したがって、周波数から離れた周波数での誘導放出 $\displaystyle \nu _{0}}$ この係数によって減少します。実際には、不均一な広がり、特に特定の温度のガス中の速度分布に起因するドップラー効果によって、線形形状が広がる場合もあります。これはガウス形状を持ち、線形形状関数のピーク強度を減少させます。実際的な問題では、関係する個々の線形形状関数の畳み込みによって完全な線形形状関数を計算できます。したがって、光増幅は周波数の入射光場にパワーを追加します。 $\nu$ レートは $P=h\nu \,g(\nu )\,B_{21}\,\rho (\nu )\,\Delta N.$

誘導放出断面積

誘導放出断面積は $\sigma _{21}(\nu )=A_{21}{\frac {\lambda ^{2}}{8\pi n^{2}}}g'(\nu )$ どこ

A _21はアインシュタインA係数です。
λは真空中の波長であり、
nは媒質の屈折率（無次元）であり、
g ′ ( ν )はスペクトル線形状関数である。

古典モデル

誘導放出は、光子や量子力学を参照することなく、古典モデルでも起こり得る。古典的な電磁場は古典的な媒質と相互作用し、そのエネルギーを増加させる（吸収）か、エネルギーを減少させる（誘導放出）。^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}^{： 239}

光増幅

誘導放出は、光増幅の物理的メカニズムを提供する。外部エネルギー源によって基底状態にある原子の50%以上が励起状態に遷移すると、反転分布と呼ばれる現象が生じる。適切な周波数の光が反転分布した媒質を通過すると、光子は基底状態に残っている原子に吸収されるか、励起された原子を刺激して同じ周波数、位相、方向の光子をさらに放出させる。基底状態にある原子よりも励起状態にある原子の方が多いため、入力光の強度が増幅される。

原子数/立方メートル単位で表した人口反転は、

\displaystyle \Delta N_{21}=N_{2}-{g_{2} \over g_{1}}N_{1}}

ここで、g ₁とg _{2はそれぞれエネルギー準位1と2の}縮退度である。

小信号利得の式

誘導放出の強度（ワット/平方メートル）は、次の微分方程式によって規定される。

{dI \over dz}=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}\cdot I(z)

強度I ( z ) が十分に小さく、個体群反転の大きさに大きな影響を与えない限り。最初の 2 つの要因をまとめると、この式は次のように簡略化されます。

{dI \over dz}=\gamma _{0}(\nu )\cdot I(z)

どこ

\gamma _{0}(\nu )=\sigma _{21}(\nu )\cdot \Delta N_{21}

は小信号利得係数（単位はラジアン/メートル）です。変数分離法を用いて微分方程式を解くことができます。

{dI \over I(z)}=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz

積分すると、次のようになる。

\ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z

または

I(z)=I_{in}e^{\gamma _{0}(\nu )z}

どこ

I_{in}=I(z=0)\,

は入力信号の光強度（ワット/平方メートル）です。

彩度

飽和強度I _Sは、光増幅器のゲインが小信号ゲインのちょうど半分に低下する入力強度として定義されます。飽和強度は次のように計算できます。

I_{S}={h\nu \over \sigma (\nu )\cdot \tau _{S}}

どこ

h

はプランク定数であり、

\displaystyle \tau _{\text{S}}

は飽和時定数であり、増幅に関連するエネルギー準位間の様々な遷移の自然放出寿命に依存します。

\nu

周波数はHzです

最小値 $I_{\text{S}}(\nu )$ 共鳴時に発生し、^{[ 13 ]}断面積は $\sigma (\nu )$ が最大値です。この最小値は次のとおりです。

I_{\text{sat}}={\frac {\pi }{3}}{hc \over \lambda ^{3}\tau _{S}}

自然線幅を持つ単純な2準位原子の場合 $\Gamma$ 飽和時定数 $\displaystyle \tau _{\text{S}}=\Gamma ^{-1}}$ 。

一般利得方程式

入力強度に関係なく適用される利得方程式の一般形は、利得媒体内の位置zの関数としての強度Iに関する一般微分方程式から導出される。

{dI \over dz}={\gamma _{0}(\nu ) \over 1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}}\cdot I(z)

どこ $I_{S}$ は飽和強度です。これを解くには、まず方程式を変形して、強度Iと位置zという変数を分離します。

\displaystyle {dI \over I(z)}\left[1+{\bar {g}}(\nu ){I(z) \over I_{S}}\right]=\gamma _{0}(\nu )\cdot dz}

両辺を積分すると、

\ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I(z)-I_{in} \over I_{S}}=\gamma _{0}(\nu )\cdot z

または

\ln \left({I(z) \over I_{in}}\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left({I(z) \over I_{in}}-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z

増幅器の利得Gは、位置zにおける光強度Iを入力強度で割った値として定義される。

G=G(z)={I(z) \over I_{in}}

この定義を前の式に代入すると、一般的なゲイン方程式が得られます。

\ln \left(G\right)+{\bar {g}}(\nu ){I_{in} \over I_{S}}\left(G-1\right)=\gamma _{0}(\nu )\cdot z

小信号近似

入力信号が飽和強度に比べて小さい特殊なケースでは、言い換えれば、

I_{in}\ll I_{S}\,

すると、一般利得方程式は小信号利得を次のように表す。

\ln(G)=\ln(G_{0})=\gamma _{0}(\nu )\cdot z

または

G=G_{0}=e^{\gamma _{0}(\nu )z}

これは小信号利得の式と同一である（上記参照）。

大信号の漸近挙動

大きな入力信号の場合、

I_{in}\gg I_{S}\,

利得は1に近づく

G\rightarrow 1

そして、一般的なゲイン方程式は線形漸近線に近づく。

I(z)=I_{in}+{\gamma _{0}(\nu )\cdot z \over {\bar {g}}(\nu )}I_{S}

参考文献

1 2ヘクト、ユージン（1998）。光学（第3 版）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-201-83887-9。
↑トレトコフ、アーニー（2005年8月）。「今月の物理学史：アインシュタインが誘導放出を予測」。アメリカ物理学会ニュース。14 （8）。 2022年6月1日取得。
↑ストラウマン、ノルベルト（2017年3月）。「1916年のアインシュタイン：「放射の量子論について」」"。自走砲ミッテルンゲン(51): 26–29。arXiv : 1703.08176。2026年5月18 日閲覧。
↑ヘクト、ジェフ (2021 年 8 月 15 日)。「レーザー」。ブリタニカ百科事典。2022年6 月 1 日取得。
↑ Stone, A. Douglas (2013年10月6日).アインシュタインと量子：勇敢なシュヴァーベン人の探求（初版）. プリンストン大学出版局. ISBN 978-06911396852022年6月1日に取得。
↑アインシュタイン、A (1917)。「Zur Quantentheorie der Strahlung」。物理的ツァイツシュリフト。18 : 121–128。Bibcode : 1917PhyZ...18..121E。
1 2クレップナー、ダニエル（2005年2月1日）。「放射線に関するアインシュタインの再読」。Physics Today。58 （ 2）：30–33。Bibcode：2005PhT....58b..30K。doi：10.1063 /1.1897520 。 2022年6月1日取得。
↑ヒルボーン、ロバート (2002)。「アインシュタイン係数、断面積、f値、双極子モーメントなど」（PDF）。
↑セグレ、カルロ。「アインシュタイン係数 - 量子論の基礎 II (PHYS 406)」(PDF) . p. 32.
↑シュトーア、ヨアヒム（2019年3月31日）。「多光子干渉による回折限界の克服：チュートリアル」。Advances in Optics and Photonics。11（1）：215。doi ：10.1364/AOP.11.000215。ISSN 1943-8206。
↑ Fain, B.; Milonni, PW (1987). "Classical stimulated emission". Journal of the Optical Society of America B . 4 (1): 78. Bibcode : 1987JOSAB...4...78F . doi : 10.1364/JOSAB.4.000078 .
↑ Stöhr, J. (2019). "多光子干渉による回折限界の克服：チュートリアル" (PDF) . Advances in Optics and Photonics . 11 (1). Optica Publishing Group : 215– 313. doi : 10.1364/AOP.11.000215 .
↑ Foot, CJ (2005).原子物理学. オックスフォード大学出版局. p. 142. ISBN 978-0-19-850695-9。

サレー、バハー EA およびタイヒ、マルビンカール (1991)。フォトニクスの基礎。ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ。ISBN 0-471-83965-5。
アラン・コーニー（1977）。原子およびレーザー分光法。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-921145-0。ISBN 978-0-19-921145-6。

[Hecht-1] 1 2ヘクト、ユージン（1998）。光学（第3 版）。マサチューセッツ州レディング：アディソン・ウェスリー。ISBN 978-0-201-83887-9。

[APS-2] トレトコフ、アーニー（2005年8月）。「今月の物理学史：アインシュタインが誘導放出を予測」。アメリカ物理学会ニュース。14 （8）。 2022年6月1日取得。

[Straumann-3] ストラウマン、ノルベルト（2017年3月）。「1916年のアインシュタイン：「放射の量子論について」」"。自走砲ミッテルンゲン(51): 26–29。arXiv : 1703.08176。2026年5月18 日閲覧。

[JHecht-4] ヘクト、ジェフ (2021 年 8 月 15 日)。「レーザー」。ブリタニカ百科事典。2022年6 月 1 日取得。

[Stone-5] Stone, A. Douglas (2013年10月6日).アインシュタインと量子：勇敢なシュヴァーベン人の探求（初版）. プリンストン大学出版局. ISBN 978-06911396852022年6月1日に取得。

[Einstein1917-6] アインシュタイン、A (1917)。「Zur Quantentheorie der Strahlung」。物理的ツァイツシュリフト。18 : 121–128。Bibcode : 1917PhyZ...18..121E。

[Kleppner-7] 1 2クレップナー、ダニエル（2005年2月1日）。「放射線に関するアインシュタインの再読」。Physics Today。58 （ 2）：30–33。Bibcode：2005PhT....58b..30K。doi：10.1063 /1.1897520 。 2022年6月1日取得。

[Hilborn2002-8] ヒルボーン、ロバート (2002)。「アインシュタイン係数、断面積、f値、双極子モーメントなど」（PDF）。

[:0-9] セグレ、カルロ。「アインシュタイン係数 - 量子論の基礎 II (PHYS 406)」(PDF) . p. 32.

[10] シュトーア、ヨアヒム（2019年3月31日）。「多光子干渉による回折限界の克服：チュートリアル」。Advances in Optics and Photonics。11（1）：215。doi ：10.1364/AOP.11.000215。ISSN 1943-8206。

[Fain_&_Milonni-11] Fain, B.; Milonni, PW (1987). "Classical stimulated emission". Journal of the Optical Society of America B . 4 (1): 78. Bibcode : 1987JOSAB...4...78F . doi : 10.1364/JOSAB.4.000078 .

[12] Stöhr, J. (2019). "多光子干渉による回折限界の克服：チュートリアル" (PDF) . Advances in Optics and Photonics . 11 (1). Optica Publishing Group : 215– 313. doi : 10.1364/AOP.11.000215 .

[13] Foot, CJ (2005).原子物理学. オックスフォード大学出版局. p. 142. ISBN 978-0-19-850695-9。

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[ 8 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]