四次相互作用

量子場の理論において、4次相互作用またはφ ⁴ 理論は、スカラー場における自己相互作用の一種です。他の種類の4次相互作用は、 4フェルミオン相互作用のトピックで見つけることができます。古典的な自由スカラー場は、クライン・ゴルドン方程式を満たします。スカラー場が と表記される場合、4次相互作用は、ラグランジアン密度にポテンシャルエネルギー項を追加することによって表されます。結合定数は、 4次元時空では無次元です。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle ({\lambda }/{4!})\varphi ^{4}}$ ${\displaystyle \lambda}$

この記事では、ミンコフスキー空間の計量シグネチャを使用します。 ${\displaystyle (+---)}$

4次の相互作用を持つ 実スカラー場のラグランジアン密度は

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi \partial _{\mu }\varphi -m^{2} \varphi ^{2}]-{\frac {\lambda }{4!}}\varphi ^{4}.}$

このラグランジアンには、グローバルZ ₂対称マッピングがあります。 ${\displaystyle \varphi \to -\varphi }$

複素スカラー場のラグランジアンは次のように表される。2つのスカラー場とに対して、ラグランジアンは次の形式をとる。 ${\displaystyle \varphi_{1}}$${\displaystyle \varphi_{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},\varphi _{2})={\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{1} \partial ^{\mu }\varphi _{1}-m^{2}\varphi _{1}^{2}]+{\frac {1}{2}}[\partial _{\mu }\varphi _{2}\partial ^{\mu }\varphi _{2}-m^{2}\varphi _{2}^{2}]-{\frac {1}{4 }}\lambda (\varphi _{1}^{2}+\varphi _{2}^{2})^{2},}$

これは次のように定義される 複素スカラー場を導入することでより簡潔に記述できる。${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi \equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}+i\varphi _{2}),}$

${\displaystyle \phi ^{*}\equiv {\frac {1}{\sqrt {2}}}(\varphi _{1}-i\varphi _{2}).}$

この複素スカラー場を用いて表現すると、上記のラグランジアンは次のようになる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi )=\partial ^{\mu }\phi ^{*}\partial _{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{*}\ phi -\lambda (\phi ^{*}\phi )^{2},}$

これは実スカラー場のSO(2)モデルと等価であり、複素場を実部と虚部で 展開するとわかる。${\displaystyle \varphi_{1},\varphi_{2}}$${\displaystyle \phi}$

実スカラー場の場合、ラグランジアンで与えられる 大域SO(N)対称性を持つモデルが得られる。${\displaystyle N}$${\displaystyle \varphi^{4}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi _{1},...,\varphi _{N})={\frac {1}{2}}[\partial ^{\mu }\varphi _{a}\partial _{\mu }\varphi _{a}-m^{2}\varphi _{a}\varphi _{a}]-{\frac {1}{4}}\lambda (\varphi _{a}\varphi _{a})^{2},\quad a=1,...,N.}$

複素場を実部と虚部で展開すると、それが実スカラー場のSO(2)モデルと同等であることが示されます。

上記のすべてのモデルにおいて、結合定数は 正でなければなりません。そうでないと、ポテンシャルは下で無制限になり、安定した真空は存在しなくなります。また、以下で説明するファインマン経路積分は定義が不十分になります。4 次元では、理論にはランダウ極があります。これは、高エネルギー スケールでのカットオフがなければ、繰り込みによって理論が自明になることを意味します。 ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \phi ^{4}}$

このモデルはグリフィス-サイモンクラスに属しており^[1] 、これは特定の種類のグラフ上のイジングモデルの弱極限としても表すことができることを意味します。モデルとイジングモデルの自明性は、ランダムカレント展開と呼ばれるグラフィカル表現によって示すことができます。^[2]${\displaystyle \phi ^{4}}$${\displaystyle \phi ^{4}}$${\displaystyle d\geq 4}$

ファインマン図の展開は、ファインマン経路積分定式化からも得られる。^[3] φの多項式の時間順の真空期待値はn粒子グリーン関数として知られ、外部 場のない真空期待値で正規化されたすべての可能な場を積分することによって構成される。

${\displaystyle \langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2} -{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \ 2を超える}\部分的^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}\right)}}} 。}$

これらのグリーン関数はすべて、生成関数の J ( x )φ( x )の指数関数を展開することで得られる。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \部分 _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\langle \Omega |{\mathcal {T}}\{{\phi }(x_{1})\cdots {\phi }(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$

ウィック回転を適用して時間を虚数にすることができる。符号を(++++)に変更すると、4次元ユークリッド空間上のφ ⁴ 統計力学積分が得られる。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left({1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{\lambda \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}.}$

通常、これは固定運動量を持つ粒子の散乱に適用され、その場合にはフーリエ変換が役立ち、代わりに

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int d^{4}p\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{\lambda \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.}$

ここで、 はディラックのデルタ関数です。 ${\displaystyle \delta (x)}$

この関数積分を評価する標準的な方法は、図式的に指数因子の積として表すことである。

${\displaystyle {\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-\lambda /4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].}$

2 番目の 2 つの指数因子は、べき級数として展開することができ、この展開の組み合わせはグラフで表すことができます。λ = 0 の積分は、無限に多くの基本ガウス積分の積として扱うことができ、結果は、次のファインマン規則を使用して計算されたファインマン図の合計として表すことができます。

• n点ユークリッド グリーン関数の各フィールドは、グラフ内の外部線 (半辺) によって表され、運動量pに関連付けられます。${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)}$
• 各頂点は係数-λによって表されます。
• 与えられた次数 λ ^kでは、 n 本の外部線とk 個の頂点を持つすべての図は、各頂点に流入する運動量がゼロになるように構築されます。各内部線は係数 1/( q ² + m ² )で表されます。ここで、q はその線を流れる運動量です。
• 制約のない運動量は、すべての値にわたって積分されます。
• 結果は対称係数で割ります。対称係数とは、接続性を変更せずにグラフの線と頂点を再配置できる方法の数です。
• 「真空バブル」、つまり外部線のない接続されたサブグラフを含むグラフを含めないでください。

最後の規則は、 で割ることによる影響を考慮に入れています。ミンコフスキー空間のファインマン規則は、各頂点が で表され、各内部線が係数i /( q ² - m ² + i ε ) で表されることを除いて同様です。ここで、ε項は、ミンコフスキー空間のガウス積分を収束させるために必要な小さなウィック回転を表します。 ${\displaystyle {\tilde {Z}}[0]}$${\displaystyle -i\lambda }$ 

ファインマングラフにおける「ループ積分」と呼ばれる、制約のない運動量に対する積分は、通常、発散する。これは通常、ラグランジアンに発散する反対項を追加して、元のラグランジアンと反対項から構築された図が有限になるようにする手順である、再正規化によって処理される。 ^[4]このプロセスでは、再正規化スケールを導入する必要があり、結合定数と質量はそれに依存するようになる。この依存性が前述のランダウ極につながり、カットオフを有限に保つことが必要となる。あるいは、カットオフが無限大になる場合、ランダウ極は、再正規化された結合がゼロになり、理論が自明になる場合にのみ回避できる。^[5]

m ^{2 が}負になっても λ が正のままであれば、興味深い特徴が現れる。この場合、真空は 2 つの最低エネルギー状態から成り、それぞれの状態が元の理論のZ ₂全体的対称性を自発的に破る。これにより、ドメイン壁のような興味深い集団状態が出現する。O (2) 理論では、真空は円上にあり、そのうちの 1 つを選択すると、O (2) 対称性が自発的に破れる。連続的に対称性が破れると、ゴールドストーン粒子が生じる。このタイプの自発的な対称性の破れは、ヒッグス機構の重要な要素である。^[6]

自発的な対称性の破れが見られる最も単純な相対論的システムは、ラグランジアンを持つ 単一のスカラー場を持つシステムである。${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )={\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}-{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}\equiv {\frac {1}{2}}(\partial \varphi )^{2}-V(\varphi ),}$

どこでそして ${\displaystyle \mu ^{2}>0}$

${\displaystyle V(\varphi )\equiv -{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\varphi ^{2}+{\frac {1}{4}}\lambda \varphi ^{4}.}$

潜在 的可能性を最小限に抑えることで、${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle V'(\varphi _{0})=0\Longleftrightarrow \varphi _{0}^{2}\equiv v^{2}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

私たちはこの最低限の文章を中心に分野を拡大します

${\displaystyle \varphi (x)=v+\sigma (x),}$

ラグランジアンに代入すると、

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\varphi )=\underbrace {-{\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}} _{\text{unimportant constant}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}[(\partial \sigma )^{2}-({\sqrt {2}}\mu )^{2}\sigma ^{2}]} _{\text{massive scalar field}}+\underbrace {(-\lambda v\sigma ^{3}-{\frac {\lambda }{4}}\sigma ^{4})} _{\text{self-interactions}}.}$

ここで、スカラーには正の質量項があることに気が付きます。 ${\displaystyle \sigma }$

真空期待値の観点から考えると、対称性が自発的に破れたときに何が起こるかを理解できます。元のラグランジアンは対称性の下で不変でした。 ${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$

${\displaystyle \langle \Omega |\varphi |\Omega \rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}}$

が両方とも最小値である場合、2つの異なる真空が存在する必要があります。 ${\displaystyle |\Omega _{\pm }\rangle }$

${\displaystyle \langle \Omega _{\pm }|\varphi |\Omega _{\pm }\rangle =\pm {\sqrt {\frac {6\mu ^{2}}{\lambda }}}.}$

対称性は をとるので、 も をとらなければなりません。理論の 2 つの可能な真空は同等ですが、いずれかを選択する必要があります。新しいラグランジアンでは対称性が消えたように見えますが、対称性はまだ存在し、 として機能します。 これは、自発的に破れた対称性の一般的な特徴です。真空は対称性を破りますが、ラグランジアンでは実際には破れておらず、単に隠されているだけで、多くの場合、非線形な方法でのみ実現されます。^[7]${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \varphi \rightarrow -\varphi }$${\displaystyle |\Omega _{+}\rangle \leftrightarrow |\Omega _{-}\rangle }$${\displaystyle Z_{2}}$${\displaystyle \sigma \rightarrow -\sigma -2v.}$

理論の運動方程式に対する正確な古典的解の集合は、次の形式で記述される。

${\displaystyle \partial ^{2}\varphi +\mu _{0}^{2}\varphi +\lambda \varphi ^{3}=0}$

は質量ゼロの場合、次のように書ける^[8]${\displaystyle \mu _{0}=0}$

${\displaystyle \varphi (x)=\pm \mu \left({\frac {2}{\lambda }}\right)^{1 \over 4}{\rm {sn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

ここで、 はヤコビの楕円正弦関数であり、 は2つの積分定数であり、次の分散関係が成り立つもの とする。${\displaystyle \,{\rm {sn\!}}}$${\displaystyle \,\mu ,\theta }$

${\displaystyle p^{2}=\mu ^{2}\left({\frac {\lambda }{2}}\right)^{1 \over 2}.}$

興味深いのは、質量のない方程式から始めたが、厳密な解は質量のある解に固有の分散関係を持つ波を記述している点である。質量項がゼロでない場合は、

${\displaystyle \varphi (x)=\pm {\sqrt {\frac {2\mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}{\rm {sn}}\left(p\cdot x+\theta ,{\sqrt {\frac {-\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}{-\mu _{0}^{2}-{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}}\right)}$

分散関係は

${\displaystyle p^{2}=\mu _{0}^{2}+{\frac {\lambda \mu ^{4}}{\mu _{0}^{2}+{\sqrt {\mu _{0}^{4}+2\lambda \mu ^{4}}}}}.}$

最後に、対称性が破れた場合には、

${\displaystyle \varphi (x)=\pm v\cdot {\rm {dn}}(p\cdot x+\theta ,i),}$

であり、次の分散関係が成り立つ。 ${\displaystyle v={\sqrt {\frac {2\mu _{0}^{2}}{3\lambda }}}}$

${\displaystyle p^{2}={\frac {\lambda v^{2}}{2}}.}$

これらの波動解は興味深いものです。間違った質量符号を持つ方程式から始めたにもかかわらず、分散関係は正しいものになっています。また、ヤコビ関数には実際のゼロがないため、場は決してゼロにならず、最初に選択された特定の定数値の周りを動き、対称性の自発的な破れを表します。 ${\displaystyle \,{\rm {dn}}\!}$

解がの形式で求められることに注意すれば、一意性の証明が提供されます。すると、偏微分方程式は、適切な分散関係を満たすヤコビの楕円関数を定義する常微分方程式になります。 ${\displaystyle \varphi =\varphi (\xi )}$${\displaystyle \xi =p\cdot x}$${\displaystyle p}$

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• 't Hooft, G.、「量子場理論の概念的基礎」（オンライン版）。