磁気双極子

電磁気学において、磁気双極子とは、原子や電子のような十分に小さな磁石を理論的に記述したものです。すべての磁石は、磁石から十分に離れた場所では磁気双極子として記述できます。磁気双極子の強さは、その磁気双極子モーメントという単一の特性によって決まります。磁気双極子モデルは、小さな磁石が生成する磁場、他の磁気双極子との相互作用、外部磁場が双極子に及ぼすトルクや正味の力など、小さな磁石の多くの特性を正確に予測します。

磁気双極子を記述するには、2つの異なるモデルを使用できます。最も理解しやすいものの、最も不正確なモデルは、磁石を電気電荷のように振る舞う、大きさが等しく反対の2つの極として想像することです。「理想的な」磁気双極子は、磁極間の距離を縮めながら磁極の強度を増加させることでモデル化され、その双極子の積（磁気双極子モーメント）が所定の値に保たれます。これは多くの場合、理解しやすい方法で正しい結果をもたらしますが、磁極が独立した実体として存在しないという点で不正確であり、特定のケース（たとえば磁石の内部）では誤った結果をもたらすという欠点があります。

磁気双極子のより正確な記述は、平面面積aを囲む閉じた電流ループとして表される。この双極子の磁気モーメントは、その面積と電流の積となる。このアンペールの法則に基づくループモデルは、少なくとも原子核の周りを電子が運動することによって生じる原子の磁場の部分に関しては、物理的に正しいという利点がある。

磁気単極子は存在しないため、あらゆる静的磁気源から遠く離れた場所では、磁場は同じ双極子モーメントを持つ双極子の磁場のように見える。双極子モーメントを持たない高次の磁気源（例えば四重極子）の場合、その磁場は双極子磁場よりも速く距離とともにゼロに近づく。

磁気双極子の好ましい古典的な説明は、時間の経過とともに変化してきました。1930年代以前は、教科書では仮想的な磁気点電荷を使用して磁気双極子を説明していました。それ以降、ほとんどの教科書ではアンペール電流の観点から定義されています。^{[ 2 ]}磁性体では、磁気モーメントの原因は電子のスピンと軌道角運動量状態です。

磁極モデル

物質中の磁気モーメントの発生源は、静電気学になぞらえて磁極で表すことができます。これはギルバートモデルと呼ばれることもあります。^{[ 3 ]：258}このモデルでは、小さな磁石は、大きさが等しく極性が反対の仮想的な磁気単極子のペアでモデル化されます。各磁極は磁力の発生源であり、距離とともに弱まります。磁極は常にペアで存在するため、一方の磁極が引力を発揮する一方で、もう一方の磁極は反発力を発揮するため、磁極の力は部分的に相殺されます。この相殺は、磁極同士が近い場合、つまり棒磁石が短い場合に最大になります。したがって、棒磁石によって空間の特定の点で発生する磁力は、磁極の強さp （磁極強度）とベクトル磁力の2つの要素に依存します。${\displaystyle \mathrm {\boldsymbol {\ell }} }$それらを分離する。磁気双極子モーメントmは仮想極と^{[ 2 ]の関係にある。}$${\displaystyle \mathbf {m} =p\,\mathrm {\boldsymbol {\ell }} \,.}$$

磁極は南極から北極の方向を指しています。電気双極子との類似性は、磁気双極子が角運動量と関連しているため、あまり深掘りすべきではありません（角運動量との関係を参照）。とはいえ、磁極は静磁気計算、特に強磁性体への応用において非常に有用です。^{[ 2 ]}磁極アプローチを使用する実務者は、一般的に磁場を電場Eに類似した非回転場Hで表します。

アンペリアンループモデル

ハンス・クリスチャン・エルステッドが電流が磁場を生成することを発見し、アンドレ＝マリー・アンペールが電流が磁石のように互いに引き合ったり反発し合ったりすることを発見した後、すべての磁場は電流ループによるものであるという仮説を立てるのは自然なことだった。アンペールが開発したこのモデルでは、すべての磁石を構成する基本的な磁気双極子は、電流Iの十分に小さなアンペールのループである。このループの双極子モーメントは $${\displaystyle \mathbf {m} =I{\boldsymbol {S}},}$$ ここでSはループの面積である。磁気モーメントの方向は、右手の法則を用いて電流の方向と一致するように、電流によって囲まれた領域に垂直な方向である。

局所的な電流分布

局所的な（無限に広がらない）電流分布の場合、関係するすべての電流が既知であると仮定すれば、磁気双極子モーメントを計算できます。慣例として、導出はベクトルポテンシャルの多重極展開から始まります。これにより、磁気双極子モーメントは次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {m} ={\tfrac {1}{2}}\iiint _{V}\mathbf {r} \times \mathbf {j} (\mathbf {r} )\,\mathrm {d} V,}$$ ここで、×はベクトル外積、rは位置ベクトル、jは電流密度であり、積分は体積積分である。^{[ 4 ]： §5.6} 積分中の電流密度を面積Sを囲む平面内の電流Iのループに置き換えると、体積積分は線積分になり、結果として得られる双極子モーメント^は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {m} =I\mathbf {S} ,}$$ これが、アンペールの法則に従うループの磁気双極子モーメントの導出方法である。

電流ループモデルを使用する実務家は、一般的に磁場を静電場Dに類似したソレノイド場Bで表します。

ソレノイドの磁気モーメント

上記の電流ループの一般化はコイル、またはソレノイドです。そのモーメントは、個々の巻線のモーメントのベクトル和です。ソレノイドがN 個の同一の巻線 (単層巻線) とベクトル面積Sを持つ場合、 $${\displaystyle \mathbf {m} =NI\mathbf {S} .}$$

古典物理学では、双極子の磁場は、磁気モーメントm を一定に保ちながら、ソースが一点に縮小したときの電流ループまたは電荷のペアの極限として計算されます。電流ループの場合、この極限はベクトルポテンシャルから最も簡単に導出できます。^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}},}$

ここで、μ _0は真空の透磁率定数であり、 4 π r ^2は半径rの球の表面積である。磁束密度（B 場の強さ）は次のようになる^{[ 5 ]}

${\displaystyle \mathbf {B} ({\mathbf {r} })=\nabla \times {\mathbf {A} }={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {r} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )}{r^{5}}}-{\frac {\mathbf {m} }{r^{3}}}\right].}$

あるいは、まず磁極極限からスカラーポテンシャルを求めることもできる。

${\displaystyle \psi ({\mathbf {r} })={\frac {{\mathbf {m} }\cdot {\mathbf {r} }}{4\pi r^{3}}},}$

したがって、磁場強度（またはH場の強度）は

${\displaystyle {\mathbf {H} }({\mathbf {r} })=-\nabla \psi ={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {m} \cdot \mathbf {\hat {r}} )-\mathbf {m} }{r^{3}}}\right]={\frac {\mathbf {B} ({\mathbf {r} })}{\mu _{0}}}.}$

磁場強度は、磁気モーメントの軸を中心とした回転に対して対称である。球座標では、${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {r}} \cos \theta -{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\sin \theta }$磁気モーメントがz軸と一致する場合、磁場強度はより簡単に次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {H} ({\mathbf {r} })={\frac {|\mathbf {m} |}{4\pi r^{3}}}\left(2\cos \theta \,\mathbf {\hat {r}} +\sin \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\right).}$

双極子の2つのモデル（電流ループと磁極）は、発生源から遠く離れた場所では磁場について同じ予測値を与えます。しかし、発生源領域内では異なる予測値を与えます。磁極間の磁場は磁気モーメント（負電荷から正電荷に向かう方向）とは逆方向ですが、電流ループ内では同じ方向になります（右図（モバイルユーザー向けは上図）を参照）。発生源がゼロサイズに縮小するにつれて、これらの磁場の限界も明らかに異なってきます。この違いは、磁性体内部の磁場を計算する際に双極子限界を用いる場合にのみ重要になります。

電流ループをどんどん小さくして、電流と面積の積を一定に保つことで磁気双極子が形成される場合、限界磁場は

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}+{\frac {8\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right],}$

ここで、δ ( r )は3次元におけるディラックのデルタ関数である。前の節の式とは異なり、この極限は双極子の内部場に対して正しい。

磁気双極子を「北極」と「南極」を取り、磁極電荷と距離の積を一定に保ちながらそれらをどんどん近づけていくと、限界磁場は

${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\left[{\frac {3\mathbf {\hat {r}} (\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {m} )-\mathbf {m} }{|\mathbf {r} |^{3}}}-{\frac {4\pi }{3}}\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )\right].}$

これらの場はB = μ ₀ ( H + M )で関係付けられており、

${\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} )=\mathbf {m} \delta (\mathbf {r} )}$

磁化です。

空間的にベクトルrだけ離れたm2に作用する₁つの双極子モーメントm1の力Fは_、次のように計算できます。^{[ 6 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla \left(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {B} _{1}\right),}$

または^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,\mathbf {m} _{1},\mathbf {m} _{2})={\dfrac {3\mu _{0}}{4\pi r^{5}}}\left[(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2})\mathbf {r} -{\dfrac {5(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {m} _{2}\cdot \mathbf {r} )}{r^{2}}}\mathbf {r} \right],}$

ここで、rは双極子間の距離である。m1に作用する力は_逆方向である。

トルクは次の式から求められる。

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {m} _{2}\times \mathbf {B} _{1}.}$

有限の源から発生する磁気スカラーポテンシャル ψ は、その源の外部では多重極展開で表すことができます。展開の各項は、特性モーメントと、源からの距離rに対して特性減少率を持つポテンシャルに関連付けられています。単極モーメントは1/ r の減少率、双極モーメントは1/ r²^の減少率、四重極モーメントは1/ r³^の減少率などとなります。次数が高いほど、ポテンシャルは速く減少します。磁気源で観測される最低次の項は双極子項であるため、遠方では双極子項が支配的になります。したがって、遠方では、どの磁気源も同じ磁気モーメントを持つ双極子のように見えます。