繰り込み

これらの乖離には2種類あります。1つ目は「紫外線」（UV）で、これは

• 積分内の領域では、ループ内のすべての粒子が大きなエネルギーと運動量を持ち、
• 非常に短い波長と高周波数の場の変動は、場の経路積分において、
• 粒子放出と吸収の間の固有時間は非常に短い。これは、ループを粒子の経路の総和として考える場合である。

右端の図に示すように、量子電磁力学には正確に3つの1ループ発散ループ図があります。^{[ 25 ]}

2 つ目の発散は赤外発散と呼ばれます。荷電粒子が関わるすべてのプロセスは無限の波長のコヒーレント光子を無限に放出し、有限個の光子を放出する振幅はゼロです。たとえば、1 ループの次数では、頂点関数は紫外発散と赤外発散の両方を持ちます。紫外発散とは対照的に、赤外発散は関係する理論のパラメータの再規格化を必要としません。頂点図の赤外発散は、次の重要な違いを持つ頂点図に似た図を含めることによって除去されます。電子の 2 つの脚をつなぐ光子が切断され、波長が無限大に近づく 2 つのオンシェル(つまり実数) 光子に置き換えられます。この図は制動放射プロセスと同等です。頂点図のようにループを通過するゼロエネルギー光子と制動放射によって放出されるゼロエネルギー光子を物理的に区別する方法がないため、この追加の図を含める必要があります。数学的な観点から言えば、IR発散は、例えばパラメータに関する分数微分を仮定することで正則化できる。 $${\displaystyle \left(p^{2}-a^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$$p = a では明確に定義されますが^{、UV 発散します。− a 2}に関して3/2次分数微分を取ると、IR 発散が得られます 。$${\displaystyle {\frac {1}{p^{2}-a^{2}}},}$$ つまり、赤外線発散を紫外線発散に変換することができる。

図2の図は、QEDにおける電子-電子散乱への1ループ寄与の1つを示しています^。図の左側の実線で表される電子は、4元運動量pμから始まり、4元運動量rμで終わります。この電子は、rμ - ^pμを持つ仮想光子を放出し、エネルギーと運動量をもう一方の電子（黒色の曲線）に伝達します。しかし、この図では、それが起こる前に、4元運動量qμを持つ別の仮想光子を放出し、^{最初の仮想光子を放出した後に再吸収されます。エネルギーと運動量の保存則は4元運動量qμ}を一意に決定しないため、すべての可能性が等しく寄与し、積分する必要があります。

この図の振幅は、とりわけ、ループからの係数で終わります。 $${\displaystyle -ie^{3}\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}\gamma ^{\mu }{\frac {i(\gamma ^{\alpha }(rq)_{\alpha }+m)}{(rq)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\rho }{\frac {i(\gamma ^{\beta }(pq)_{\beta }+m)}{(pq)^{2}-m^{2}+i\epsilon }}\gamma ^{\nu }{\frac {-ig_{\mu \nu }}{q^{2}+i\epsilon }}.}$$この式中の様々なγμ因子は^、ディラック方程式の共変形式におけるガンマ行列であり、電子のスピンに関係しています。ここでeは電気結合定数であり、${\displaystyle i}$は虚数単位です。ここで重要なのは、ループ内の 2 つの電子線と光子線の伝播関数から得られる、被積分関数の 3 つの分数因子がq ^μに依存することです。

^{被積分関数を展開すると、 qμの値}が大きい場合に支配的となる、分子にqμの 2 乗の項がある。^{[ 26 ]}$${\displaystyle e^{3}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\beta }\gamma _{\mu }\int {\frac {d^{4}q}{(2\pi )^{4}}}{\frac {q_{\alpha }q_{\beta }}{(rq)^{2}(pq)^{2}q^{2}}}.}$$エネルギーと運動量が有限の値で打ち切られない限り、この積分は発散する。

例えば、QEDのラグランジアンでは$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}_{B}\left[i\gamma _{\mu }\left(\partial ^{\mu }+ie_{B}A_{B}^{\mu }\right)-m_{B}\right]\psi _{B}-{\frac {1}{4}}F_{B\mu \nu }F_{B}^{\mu \nu }}$$ 場と結合定数は実際には裸の量であるため、添え字Bが付けられています。慣例として、裸の量は、対応するラグランジアン項が繰り込み後の項の倍数になるように記述されます。 $${\displaystyle \left({\bar {\psi }}m\psi \right)_{B}=Z_{0}{\bar {\psi }}m\psi }$$$${\displaystyle \left({\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi \right)_{B}=Z_{1}{\bar {\psi }}\left(\partial ^{\mu }+ieA^{\mu }\right)\psi }$$$${\displaystyle \left(F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\right)_{B}=Z_{2}\,F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }.}$$2行目では、ウォード・タカハシ恒等式によるゲージ不変性が用いられており、共変微分の2つの項を一緒に繰り上げることができる。^{[ 27 ]}

図1に示す電子-光子相互作用は次のように記述できる。 $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{I}=-e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi -(Z_{1}-1)e{\bar {\psi }}\gamma _{\mu }A^{\mu }\psi }$$電子電荷e は、特定の実験に基づいて定義できます。再規格化スケールをこの実験のエネルギー特性に等しく設定すると、第 1 項は実験室で観測される相互作用 (ループ図からの小さな有限補正を除く) を与えます。第 2 項は対項です。理論が QED のように再規格化可能であれば、ループ図の発散部分はすべて 3 脚以下の部分に分解でき、その代数形式は第 2 項 (またはZ ₀およびZ ₃から来る同様の対項)によって相殺されます。

図3のようにZ1カウンタータームの相互作用頂点を配置した図は、_図2のループからの発散を打ち消します。

歴史的に、「裸の項」を元の項と対項に分割することは、ケネス・ウィルソンによる繰り込み群の洞察よりも前に行われた。^{[ 28 ]}このような繰り込み群の洞察によれば、この分割は非物理的であり、問​​題のすべてのスケールが連続的かつ体系的な方法で現れる。

ループ図が特定の計算に与える影響を最小限に抑え（したがって結果を抽出しやすくする）、相互作用で交換されるエネルギーと運動量に近い繰り込み点を選択する。しかし、繰り込み点自体は物理量ではない。理論の物理的予測は、理論の適用範囲内であれば、すべての次数まで計算され、原則として繰り込み点の選択に依存しないはずである。繰り込みスケールの変更は、ループのないファインマン図から得られる結果の割合と、ループ図の残りの有限部分から得られる結果の割合に影響を与えるだけである。この事実を利用して、スケールの変化に伴う物理定数の実効的な変化を計算することができる。この変化はベータ関数によって符号化され、この種のスケール依存性の一般理論は繰り込み群として知られている。

粒子物理学者は口語的に、特定の物理的「定数」が相互作用のエネルギーに応じて変化すると言うことが多いが、実際には、独立量であるのは繰り込みスケールである。しかし、この変化は、相互作用に関わるエネルギーの変化に伴う場の理論の振る舞いの変化を記述する便利な手段となる。例えば、量子色力学における結合は大きなエネルギースケールで小さくなるため、相互作用で交換されるエネルギーが大きくなるにつれて、理論は自由理論のように振る舞うようになる。これは漸近的自由と呼ばれる現象である。増加するエネルギースケールを選択し、繰り込み群を用いることで、単純なファインマン図からこれが明らかになる。そうしなければ、予測は同じになるが、複雑な高次の相殺から生じることになる。

例えば、 $${\displaystyle I=\int _{0}^{a}{\frac {1}{z}}\,dz-\int _{0}^{b}{\frac {1}{z}}\,dz=\ln a-\ln b-\ln 0+\ln 0}$$ 定義が曖昧である。

発散を解消するには、積分の下限をε _aとε _bに変更するだけです。 $${\displaystyle I=\ln a-\ln b-\ln {\varepsilon _{a}}+\ln {\varepsilon _{b}}=\ln {\tfrac {a}{b}}-\ln {\tfrac {\varepsilon _{a}}{\varepsilon _{b}}}}$$ε _b / ε _a → 1であることを確認し、I = ln a / bとなる。

従来の繰り込み可能な理論の膨張群を超えた繰り込み過程の物理的意味と一般化についてのより深い理解は、凝縮系物理学からもたらされた。レオ・P・カダノフは、「ブロックスピン」繰り込み群を提案し、これは、理論の大きな距離にある成分をより短い距離にある成分の集合として定義する。^{[ 39 ]}

このアプローチは概念的な点を網羅しており、ケネス・ウィルソンによって完全な計算的実体を与えられました。ウィルソンは、 1971年にこの新しい方法を二次相転移と臨界現象の理論に適用することで開発し、 1974年には長年の問題である近藤問題の構成的反復繰り込み解を実証しました^{[ 28 ]。}彼はこれらの貢献により1982年にノーベル物理学賞を受賞しました^{[ 40 ]。}

より専門的な用語で言えば、ある関数によって記述される理論を考えてみましょう。${\displaystyle Z}$状態変数の${\displaystyle \{s_{i}\}}$および結合定数 ${\displaystyle \{J_{k}\}}$。${\displaystyle Z}$分配関数、作用、ハミルトニアンなどである可能性があり、システムの物理的性質の完全な記述を含んでいる必要があります。

状態変数のブロッキング変換について考えてみましょう。${\displaystyle \{s_{i}\}\to \{{\tilde {s}}_{i}\}}$、その数は${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$数より少なくなければならない ${\displaystyle s_{i}}$。 もし${\displaystyle Z}$のみの関数として記述できます${\displaystyle {\tilde {s}}_{i}}$結合の同様の変換を介して、${\displaystyle \{J_{k}\}\to \{{\tilde {J}}_{k}\}}$すると、その理論は繰り込み可能であると言われる。大規模なシステムの可能な巨視的状態は、結合に関連付けられたベータ関数の繰り込み群の流れ内のこの固定点の集合によって与えられる。

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