電荷（物理学）

物理学において、電荷とは、電磁気学における電荷や量子色力学における色電荷など、さまざまな量のいずれかを指します。電荷は、対称群の時間不変生成元に対応し、具体的には、ハミルトニアンと交換可能な生成元に対応します。電荷は と表記されることが多く、したがって電荷の不変性は消失交換子に対応します。ここで、 はハミルトニアンです。したがって、電荷は保存される量子数と関連しており、これらは生成元の固有値です。また、「電荷」は、イメージ電荷法のように、電荷と位置を持つ点状の物体を指すこともあります。 ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle [Q,H]=0}$${\displaystyle H}$${\displaystyle Q}$

抽象的に言えば、電荷とは、研究対象の物理システムの連続対称性を生成するものです。物理システムが何らかの対称性を持つ場合、ノイマンの定理は保存電流の存在を意味します。電流に「流れる」ものが「電荷」であり、電荷は（局所）対称性群を生成するものです。この電荷はノイマン電荷と呼ばれることもあります。

したがって、例えば、電荷は電磁気学のU(1)対称性の生成元であり、保存される電流は電流です。

局所的な動的対称性の場合、すべての電荷にはゲージ場が関連付けられており、量子化されるとゲージ場はゲージボソンになります。理論の電荷はゲージ場を「放射」します。したがって、たとえば、電磁気学のゲージ場は電磁場であり、ゲージボソンは光子です。

「電荷」という言葉は、対称性の生成元と、生成元の保存量子数（固有値）の両方の同義語としてよく使用されます。したがって、大文字のQ を生成元に当てはめると、生成元はハミルトニアン[ Q , H ] = 0と交換されます。交換は、固有値（小文字）qが時間不変であることを意味します。⁠ 悪い/dt⁠ = 0 です。

したがって、たとえば対称群がリー群である場合、電荷演算子はリー代数のルートシステムの単純ルートに対応します。ルートシステムの離散性は電荷の量子化を説明します。他のすべてのルートはこれらの線形結合として取得できるため、単純ルートが使用されます。一般的なルートは、しばしば上昇演算子と下降演算子、またはラダー演算子と呼ばれます。

電荷量子数は、リー代数の特定の表現の最も重みの高いモジュールの重みに対応します。したがって、たとえば、量子場理論の粒子が対称性に属する場合、その対称性の特定の表現に従って変換されます。電荷量子数は、その表現の重みになります。

さまざまな電荷量子数が素粒子物理学の理論によって導入されています。これには標準モデルの電荷が含まれます。

• クォークの色荷。色荷は量子色力学のSU(3)色対称性を生成する。
• 電弱相互作用の弱アイソスピン量子数。これは電弱SU(2) × U(1)対称性のSU(2)部分を生成する。弱アイソスピンは局所対称性であり、そのゲージボソンはWボソンとZボソンである。
• 電磁相互作用の電荷。数学の教科書では、これはリー代数モジュールの -電荷と呼ばれることもあります。${\displaystyle u_{1}}$

これらの電荷量子数は、ゲージ共変微分#Standard_Model を介してラグランジアン内に現れることに注意してください。

近似対称性の電荷:

• 強いアイソスピン電荷。対称群はSU(2) フレーバー対称性であり、ゲージボソンはパイ中間子です。パイ中間子は素粒子ではなく、対称性は近似値にすぎません。これはフレーバー対称性の特殊なケースです。
• ストレンジネスやチャームなどの他のクォークフレーバー電荷。
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  –
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  上で述べたアイソスピンは、基本粒子の 全体的なSU(6)フレーバー対称性を生成します。この対称性は重いクォークの質量によって大きく破れています。電荷には、ハイパー電荷、X電荷、弱いハイパー電荷が含まれます。

標準モデルの拡張の仮説的な電荷:

• 仮想的な磁荷は、電磁気学の理論におけるもう一つの電荷です。磁荷は実験室実験では観測されませんが、磁気単極子を含む理論では存在します。

超対称性の場合：

• スーパーチャージとは、超対称性においてフェルミオンをボソンに、あるいはボソンをフェルミオンに回転させるジェネレータを指します。

共形場理論では：

• ヴィラソロ代数の中心電荷は、共形中心電荷または共形異常と呼ばれることもある。ここで、「中心」という用語は、群論における中心の意味で使用されている。つまり、代数内の他のすべての演算子と交換可能な演算子である。中心電荷は、代数の中心生成子の固有値である。ここでは、 2次元共形場理論のエネルギー運動量テンソルである。 ^[1]

重力の場合：

• エネルギー運動量テンソルの固有値は物理的な質量に対応します。

粒子理論の形式主義では、電荷のような量子数は、C と呼ばれる電荷共役演算子によって反転されることがあります。電荷共役とは、与えられた対称群が 2 つの同等でない (ただし同型である)群表現で発生することを意味します。通常、2 つの電荷共役表現は、リー群の複素共役 基本表現です。それらの積は、群の 随伴表現を形成します。

したがって、一般的な例としては、SL(2,C)の2つの電荷共役基本表現（スピノル）の積がローレンツ群SO(3,1)の随伴表現を形成するということがある。抽象的には、

${\displaystyle 2\otimes {\overline {2}}=3\oplus 1.\ }$

つまり、2 つの (ローレンツ) スピノルの積は、(ローレンツ) ベクトルと (ローレンツ) スカラーです。複素リー代数 sl(2,C) はコンパクトな 実数su(2) を持つことに注意してください (実際、すべてのリー代数は唯一のコンパクトな実数を持ちます)。同じ分解がコンパクト形式にも当てはまります。つまり、su(2)の 2 つのスピノルの積は、回転群 O(3)のベクトルとシングレットです。分解は、クレプシュ・ゴルダン係数によって与えられます。

同様の現象がコンパクト群SU(3)でも発生します。ここでは、電荷共役だが同値でない 2 つの基本表現 と があり、3 は表現の次元を表し、クォークは で変換し、反クォークは で変換します。2 つのクロネッカー積は次のように表されます。 ${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\overline {3}}}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle {\overline {3}}}$

${\displaystyle 3\otimes {\overline {3}}=8\oplus 1.\ }$

つまり、8次元表現、8重法のオクテット、およびシングルットである。このような表現の積を既約表現の直和に分解すると、一般に次のように表される。

${\displaystyle \Lambda \otimes \Lambda '=\bigoplus _{i}{\mathcal {L}}_{i}\Lambda _{i}}$

表現の場合、表現の次元は「次元の合計規則」に従います。 ${\displaystyle \Lambda}$

${\displaystyle d_{\Lambda }\cdot d_{\Lambda '}=\sum _{i}{\mathcal {L}}_{i}d_{\Lambda _{i}}.}$

ここで、は表現 の次元であり、整数はリトルウッド・リチャードソン係数です。表現の分解は、今度は一般的なリー代数設定で、再びクレプシュ・ゴルダン係数によって与えられます。 ${\displaystyle d_{\Lambda}}$${\displaystyle \Lambda}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

• カシミール演算子