想像上の時間

虚数時間は、特殊相対性理論や量子力学へのいくつかのアプローチに現れる時間の数学的表現であり、特定の宇宙論理論 で使用されています。

数学的には、虚時間とはウィック回転を経た実時間であり、その座標は虚数単位 iで乗算されます。虚時間は、非実在的または架空という意味での虚数ではなく、単に虚数で表現されます。

数学において、虚数単位は の平方根であり、 はと定義されます。 の倍数となる数は虚数と呼ばれます。^{[1] : Chp 4}${\displaystyle i}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle i^{2}}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle i}$

特定の物理理論では、時間周期はこのようにして倍数化される。数学的には、虚数時間周期は複素平面におけるウィック回転を介して実時間から得られる。[ ^{1] : 769}${\displaystyle i}$${\textstyle \tau }$${\textstyle t}$${\textstyle \pi /2}$${\textstyle \tau =it}$

スティーブン・ホーキングは著書『宇宙を簡単に説明すると』の中で虚数時間の概念を広めた。

「これは、虚数は現実世界とは何の関係もない単なる数学的なゲームであることを意味すると考える人もいるかもしれません。しかし、実証主義哲学の観点からは、何が現実であるかを決定することはできません。私たちにできることは、どの数学モデルが私たちの住む宇宙を記述するかを見つけることだけです。虚時間を含む数学モデルは、私たちがすでに観察した効果だけでなく、測定できなかったが、他の理由で信じている効果も予測することが判明しました。では、何が現実で、何が虚数なのでしょうか。その区別は私たちの心の中にだけあるのでしょうか。」

— スティーヴン・ホーキング^{[2] : 59}

実際、数に対する「実数」と「虚数」という用語は、「有理数」と「無理数」という用語と同様に、単なる歴史的な偶然です。

「...実数と虚数という言葉は、複素数の性質が適切に理解されていなかった時代の美しい遺物です。」

—  HSMコクセター^[3]

相対性理論で採用されているミンコフスキー時空モデルでは、時空は4 次元面または多様体として表現されます。3 次元空間での距離の 4 次元相当は、間隔 と呼ばれます。特定の期間が空間での距離と同じように実数として表現されると仮定すると、相対論的時空における間隔は、通常の式で時間を否定したもので次のように表されます。 ここで、、およびは各空間軸に沿った距離であり、は時間軸に沿った期間または「距離」です (厳密には、時間座標は であり、は光速ですが、慣例的に となるような単位を選択します)。 ${\displaystyle d}$$${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (ct)^{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle c=1}$

数学的には、これは次のように書くことと同等である。 $${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(it)^{2}}$$

この文脈では、は、上記のように空間と実時間の関係の特徴として受け入れられるか、または時間自体に組み込まれ、時間の値が で表される虚数になると考えられます。その場合、式は正規化された形式で書き直すことができます。${\displaystyle i}$${\displaystyle \tau}$$${\displaystyle d^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\tau ^{2}}$$

同様に、その4 元ベクトルはと表記されます。ここで、距離は と表され、は光速、時間は虚数です。 $${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})}$$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{0}=ict}$${\displaystyle c}$

ホーキングは1971年に、特定の状況下で時間間隔を回転させて架空の測定基準に変換することの有用性に注目した。^[4]

物理宇宙論では、虚時間は一般相対性理論の方程式の解である宇宙の特定のモデルに組み込むことができる。特に、虚時間は既知の物理法則が破綻する重力特異点を滑らかにし、特異点を除去してそのような破綻を回避するのに役立つ（ハートル・ホーキング状態を参照）。たとえば、ビッグバンは通常の時間では特異点として現れるが、虚時間でモデル化すると特異点を除去することができ、ビッグバンは 4 次元時空内の他の点と同じように機能する。時空の境界はどれも特異点の一種であり、そこでは時空の滑らかな性質が破綻する。^{[1] : 769–772}このような特異点がすべて宇宙から除去されると、宇宙には境界がなくなり、スティーブン・ホーキングは「宇宙の境界条件は、境界がないことである」と推測した。 ^{[2] : 85}

しかし、このようなモデルに組み込まれている実際の物理的時間と虚数時間の関係が証明されていないため、批判が巻き起こっている。^[5] ロジャー・ペンローズは、ビッグバン時の虚数時間を伴うリーマン計量（この文脈では「ユークリッド」と呼ばれることが多い）から、進化する宇宙の実数時間を伴うローレンツ計量への移行が必要であると指摘している。また、現代の観測では、宇宙は開いており、ビッグクランチまで縮小することは決してないことが示唆されている。これが真実であると証明されれば、時間の終わりの境界は依然として残っていることになる。^{[1] : 769–772}

• ユークリッド量子重力
• 複数の時間次元

• ホーキング、スティーブン・W (1998)。『時間の簡潔な歴史』（10周年記念版）。バンタムブックス。157ページ。ISBN 978-0-553-10953-5。
• ジェラルド・D・マハン。多粒子物理学、第3章
• A. Zee 量子場理論の要点、第 V.2 章

• 時間の始まり — スティーブン・ホーキングによる虚数時間についての講義。
• スティーブン・ホーキングの宇宙: 不思議なものの説明 2016-03-03 にWayback Machineでアーカイブ— 虚数時間に関する PBS サイト。