量子場理論における共通積分

量子場理論における共通積分とは、分配関数やループ図の積分など、量子場理論における様々な種類の計算に役立つ一連の公式のことである。

以下のガウス積分は、量子場理論の経路積分定式化に現れる経路積分を計算する際に有用です。^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-{1 \over 2}ax^{2}+Jx}\,dx&=\left({2\pi \over a}\right)^{1/2}\exp \left({J^{2} \over 2a}\right),&a,J\in \mathbb {C} ,\,\operatorname {Re} (a)>0\\\int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(i\left({\frac {1}{2}}(a+i\varepsilon )x^{2}+Jx\right)\right)dx&=\left({2\pi i \over a+i\varepsilon }\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {i}{2}}{J^{2} \over a+i\varepsilon }\right),&a,J,\varepsilon \in \mathbb {R} ,\,\varepsilon \rightarrow 0^{+}\\\int \exp \left(\sum _{i,j=1}^{n}-{\frac {1}{2}}x_{i}A_{ij}x_{j}+J_{i}x_{i}\right)d^{n}x&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\exp \left({1 \over 2}\sum _{i,j=1}^{n}J_{i}A_{ij}^{-1}J_{j}\right),&A,J\in \mathbb {R} ,\,A_{ij}=A_{ji}{\text{ positive definite}}\\\int \exp \left(i\left(\sum _{i,j=1}^{n}{\frac {1}{2}}x_{i}(A+i\varepsilon I)_{ij}x_{j}+J_{i}x_{i}\right)\right)d^{n}x&={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {(A+i\varepsilon I)}}}}\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}J_{i}(A+i\varepsilon I)_{ij}^{-1}J_{j}\right),&A,J,\varepsilon \in \mathbb {R} ,\,A_{ij}=A_{ji},\,\varepsilon \rightarrow 0^{+}\\\end{aligned}}}$$

量子場理論では、次の形式のn次元積分が $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left(-{1 \over \hbar }f(q)\right)d^{n}q}$$ 頻繁に現れます。${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数であり、fは で正の最小値を持つ関数である。${\displaystyle q=q_{0}}$これらの積分は最急降下法によって近似することができます。

プランク定数の値が小さい場合、f はその最小値の周りで展開できる。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)+{1 \over 2}\left(q-q_{0}\right)^{2}f^{\prime \prime }\left(q-q_{0}\right)+\cdots \right)\right]d^{n}q.}$$ここ${\displaystyle f^{\prime \prime }}$これは、関数の最小値における2階微分をn×n行列として表したものです。

高次の項を無視すれば、この積分は明示的に積分することができる。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp \left[-{1 \over \hbar }(f(q))\right]d^{n}q\approx \exp \left[-{1 \over \hbar }\left(f\left(q_{0}\right)\right)\right]{\sqrt {(2\pi \hbar )^{n} \over \det f^{\prime \prime }}}.}$$

一般的な積分は、次の形式の経路積分です。 $${\displaystyle \int \exp \left({i \over \hbar }S\left(q,{\dot {q}}\right)\right)Dq}$$ どこ${\displaystyle S\left(q,{\dot {q}}\right)}$は古典的な作用であり、積分は粒子がたどる可能性のあるすべての経路にわたって行われます。${\displaystyle \hbar }$この積分は定常位相近似で評価できる。この近似では、積分は作用が最小となる経路に沿って行われる。したがって、この近似は力学の古典極限を再現する。

以下は、計算において有用な再定義である。

${\displaystyle {\frac {1}{a_{0}a_{1}a_{2}\cdots a_{n}}}=\Gamma (n+1)\int _{0}^{1}{d}z_{1}\int _{0}^{z_{1}}{d}z_{2}\cdots \int _{0}^{z_{n-1}}{d}z_{n}{\frac {1}{[a_{0}+(a_{1}-a_{0})z_{1}+\cdots (a_{n}-a_{n-1})z_{n}]^{n+1}}}}$

分母のべき乗が増加する可能性がある場合${\textstyle {\frac {1}{a\cdots }}\rightarrow {\frac {1}{a^{k}\cdots }}}$運営により${\textstyle {\frac {1}{(k-1)!}}\left(-{\frac {\partial }{\partial a}}\right)^{k-1}}$両側に。

${\displaystyle {\frac {1}{A_{1}^{\alpha _{1}}\cdots A_{n}^{\alpha _{n}}}}={\frac {\Gamma (\alpha _{1}+\dots +\alpha _{n})}{\Gamma (\alpha _{1})\cdots \Gamma (\alpha _{n})}}\int _{0}^{1}d^{n}x_{1}{\frac {\delta (1-\sum _{k=1}^{n}x_{k})\;x_{1}^{\alpha _{1}-1}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}-1}}{\left(\sum _{k=1}^{n}x_{k}A_{k}\right)^{\sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}}}}}$

これはファインマン・パラメーター化と呼ばれます。

以下の積分は、カットオフ正則化におけるループ積分の計算で一般的に使用される結果であり、ベクトルとの間でミンコフスキーの内積が使用されます。${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}}$評価される: ^{[ 2 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {d}^{4}k{\frac {1}{\left(k^{2}-s+i\varepsilon \right)^{n}}}&=i\pi ^{2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-2)}{\Gamma (n)}}{\frac {1}{s^{n-2}}},&n\geq 3,\\\int {d}^{4}k{\frac {k^{\mu }}{\left(k^{2}-s+i\varepsilon \right)^{n}}}&=0,&n\geq 3,\\\int {d}^{4}k{\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{(k^{2}-s+{i}\varepsilon )^{n}}}&={i}\pi ^{2}(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n-3)}{2\Gamma (n)}}{\frac {g^{\mu \nu }}{s^{n-3}}},&n\geq 4,\\\int {d}^{4}p{\frac {1}{(p^{2}+2pq+t+{i}\varepsilon )^{n}}}&={i}\pi ^{2}{\frac {\Gamma (n-2)}{\Gamma (n)}}{\frac {1}{(t-q^{2})^{n-2}}},&n\geq 3,\\\int {d}^{4}p{\frac {p^{\mu }}{(p^{2}+2pq+t+{i}\varepsilon )^{n}}}&=-{i}\pi ^{2}{\frac {\Gamma (n-2)}{\Gamma (n)}}{\frac {q^{\mu }}{(t-q^{2})^{n-2}}},&n\geq 3,\\\int {d}^{4}p{\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{(p^{2}+2pq+t+{i}\varepsilon )^{n}}}&={i}\pi ^{2}{\frac {\Gamma (n-3)}{2\Gamma (n)}}{\frac {[2(n-3)q^{\mu }q^{\nu }+(t-q^{2})g^{\mu \nu }]}{(t-q^{2})^{n-2}}},&n\geq 4.\end{aligned}}}$$

次元正則化では、以下のような同様の関係式が用いられる。${\displaystyle n>D/2}$そして${\displaystyle \lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}}$評価される: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {{d}^{D}k}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-D/2)}{\Gamma (n)}}{\frac {1}{s^{n-D/2}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{\mu }}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&=0,\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{\mu }k^{\nu }}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{2\Gamma (n)}}{\frac {g^{\mu \nu }}{s^{n-D/2-1}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{2}}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n+1}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{2\Gamma (n)}}{\frac {D}{s^{n-D/2-1}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {(k^{2})^{2}}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{4\Gamma (n)}}{\frac {D(D+2)}{s^{n-D/2-1}}},\\\int {d}^{D}k{\frac {k^{\mu }k^{\nu }k^{\rho }k^{\sigma }}{\left(k^{2}-s+{i}\varepsilon \right)^{n}}}&={i}\pi ^{D/2}(-1)^{n}{\frac {\Gamma (n-D/2-1)}{4\Gamma (n)}}{\frac {[g^{\mu \nu }g^{\rho \sigma }+g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }+g^{\mu \sigma }g^{\nu \rho }]}{s^{n-D/2-1}}}.\end{aligned}}}$$

• シュレーディンガー方程式と量子力学の経路積分定式化との関係