ベータ関数（物理学）

量子電磁力学（QED）における1ループベータ関数は

• ${\displaystyle \beta (e)={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}~,}$

または同等に、

• ${\displaystyle \beta (\alpha )={\frac {2\alpha ^{2}}{3\pi }}~,}$

自然単位の微細構造定数で表すと、 α = e ² /4πとなる。^{[ 10 ]}

このベータ関数は、結合定数がエネルギー尺度の増加とともに増大し、高エネルギー領域では量子電磁力学（QED）が強結合状態になることを示している。実際、結合定数はある有限エネルギーで明らかに無限大になり、ランダウ極が生じる。しかし、強結合領域では摂動論的ベータ関数が正確な結果を与えるとは期待できないため、ランダウ極は摂動論がもはや有効でない状況で摂動論を適用した結果として生じるアーティファクトである可能性が高い。

量子色力学における1ループベータ関数${\displaystyle n_{f}}$風味と${\displaystyle n_{s}}$スカラーカラーボソンは

${\displaystyle \beta (g)=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

または

${\displaystyle \beta (\alpha _{s})=-\left(11-{\frac {n_{s}}{6}}-{\frac {2n_{f}}{3}}\right){\frac {\alpha _{s}^{2}}{2\pi }}~,}$

α _sを用いて記述すると=${\displaystyle g^{2}/4\pi }$。

n _s =0と仮定すると、 n _f ≤ 16 の場合、結果として得られるベータ関数は、結合がエネルギー尺度の増加とともに減少することを示しており、これは漸近的自由度として知られる現象である。逆に、結合はエネルギー尺度の減少とともに増加する。これは、結合が低エネルギーで大きくなり、摂動論に頼ることができなくなることを意味する。

QCDの（ヤン・ミルズ）ゲージ群は${\displaystyle \mathrm {SU} (3)}$3色を決定する場合、任意の数の色に一般化できます。${\displaystyle N_{c}}$ゲージグループと共に${\displaystyle G=\mathrm {SU} (N_{c})}$すると、このゲージ群では、表現にディラックフェルミオンが含まれる。${\displaystyle R_{f}}$の${\displaystyle G}$そして表現における複素スカラー${\displaystyle R_{s}}$1ループベータ関数は

${\displaystyle \beta (g)=-\left({\frac {11}{3}}C_{2}(G)-{\frac {1}{3}}n_{s}T(R_{s})-{\frac {4}{3}}n_{f}T(R_{f})\right){\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}~,}$

どこ${\displaystyle C_{2}(G)}$は二次カシミールです${\displaystyle G}$そして${\displaystyle T(R)}$は、次のように定義される別のカシミール不変量である。${\displaystyle Tr(T_{R}^{a}T_{R}^{b})=T(R)\delta ^{ab}}$発電機用${\displaystyle T_{R}^{a,b}}$表現Rにおけるリー代数の。（ワイルフェルミオンまたはマヨラナフェルミオンの場合は、${\displaystyle 4/3}$による${\displaystyle 2/3}$、実数スカラーの場合は、${\displaystyle 1/3}$による${\displaystyle 1/6}$）ゲージ場（すなわちグルーオン）の場合、必然的に随伴では${\displaystyle G}$、${\displaystyle C_{2}(G)=N_{c}}$;基本表現（または反基本表現）のフェルミオンの場合${\displaystyle G}$、${\displaystyle T(R)=1/2}$。次にQCDの場合、${\displaystyle N_{c}=3}$上記の式は、量子色力学のベータ関数について示されている式に帰着する。

この有名な結果は、1973年にヒュー・デイビッド・ポリッツァー^{[ 11 ]} 、デイビッド・グロス、フランク・ウィルチェック^{[ 12 ]}によってほぼ同時に導き出され、この3人は2004年にノーベル物理学賞を受賞しました。これらの著者は知らなかったのですが、ジェラール・ト・フーフトは1972年6月にマルセイユで開催された小規模な会議でクルト・シマンジクの講演後のコメントでこの結果を発表していましたが、それを公表することはありませんでした^{[ 13 ] 。}

標準模型では、クォークとレプトンはヒッグス粒子と湯川結合を持つ。これらが粒子の質量を決定する。ほとんどすべてのクォークとレプトンの湯川結合は、トップクォークの湯川結合に比べて小さい。これらの湯川結合は、測定されるエネルギー尺度に応じて、実行を通じてその値を変化させる。クォークの湯川結合のダイナミクスは、繰り込み群方程式によって決定される。

${\displaystyle \mu {\frac {\partial }{\partial \mu }}y\approx {\frac {y}{16\pi ^{2}}}\left({\frac {9}{2}}y^{2}-8g_{3}^{2}\right)}$、

どこ${\displaystyle g_{3}}$カラーゲージカップリング（これは${\displaystyle \mu }$（漸近的自由度に関連する）${\displaystyle y}$これは湯川結合定数です。この式は、湯川結合定数がエネルギー尺度によってどのように変化するかを表しています。${\displaystyle \mu }$。

アップ、ダウン、チャーム、ストレンジ、ボトムクォークの湯川結合は、大統一理論の極めて高いエネルギー尺度では小さい。${\displaystyle \mu \approx 10^{15}}$GeV。したがって、${\displaystyle y^{2}}$上記の式では項は無視できる。解くと、次のようになる。${\displaystyle y}$クォーク質量がヒッグス粒子によって生成される低エネルギー領域ではわずかに増加する。${\displaystyle \mu \approx 100}$GeV。

一方、初期値が大きい場合のこの方程式の解は${\displaystyle y}$エネルギー尺度を下るにつれて右辺が急速に小さな値に近づくようにする。上記の式は${\displaystyle y}$QCD結合へ${\displaystyle g_{3}}$これは、湯川結合の繰り込み群方程式の（赤外線）準固定点として知られています。^{[ 14 ] [ 15 ]}結合の初期値が何であっても、十分に大きければこの準固定点の値に達し、対応するクォーク質量が予測されます。

大統一理論の最小超対称標準模型（MSSM）における再正規化群の研究とヒッグス・湯川固定点は、理論が正しい方向に向かっていることを示す非常に有望な結果となった。しかしながら、これまでのところ、大型ハドロン衝突型加速器（LHC）での実験において、予測されたMSSM粒子の存在を示す証拠は得られていない。