チャーン・サイモンズ理論

1940年代、SS ChernとA. Weilは、微分幾何学における特性類理論の重要なステップである、滑らかな多様体Mのグローバル曲率特性をド・ラームコホモロジー（Chern–W​​eil理論）として研究した。M上の平坦なG主束Pが与えられると、 Gのリー代数gからのG随伴不変多項式の代数からコホモロジーへの一意的な準同型、 Chern–W​​eil準同型が存在する。${\displaystyle H^{*}(M,\mathbb {R} )}$不変多項式が同次である場合、閉接続ωの任意のk形式を、 ωの関連する曲率形式 Ω の何らかの 2 k形式として具体的に書き下すことができます。

1974年にSS ChernとJH Simonsは、具体的に(2 k − 1)形式のdf ( ω )を構築し、  

${\displaystyle dTf(\omega )=f(\Omega ^{k}),}$

ここで、Tはチャーン・ワイル準同型写像である。この形式はチャーン・サイモンズ形式と呼ばれる。df ( ω ) が閉形式であれば、上記の式を積分することができる。

${\displaystyle Tf(\omega )=\int _{C}f(\Omega ^{k}),}$

ここで、CはM上の(2 k − 1) 次元サイクルである。この不変量はチャーン・サイモンズ不変量と呼ばれる。チャーン・サイモンズ論文の序論で指摘されているように、チャーン・サイモンズ不変量 CS( M ) は、純粋な組み合わせ論的定式化では決定できない境界項である。また、次のように定義することもできる。  

${\displaystyle \operatorname {CS} (M)=\int _{s(M)}{\tfrac {1}{2}}Tp_{1}\in \mathbb {R} /\mathbb {Z} ,}$

どこ${\displaystyle p_{1}}$は第1ポントリャーギン数であり、s ( M ) は正規直交束Pの断面である。さらに、チャーン・サイモンズ項は、アティヤ、パトディ、シンガーによって定義されたイータ不変量として記述される。

ゲージ不変性と計量不変性は、チャーン・ワイル理論における随伴リー群作用の下での不変性と見なすことができる。物理学における場の理論の作用積分（経路積分）は、チャーン・サイモンズ形式とウィルソンループのラグランジュ積分、すなわちM上のベクトル束のホロノミーと見なすことができる。これらが、チャーン・サイモンズ理論が位相場の理論と密接に関連している理由を説明している。

チャーン・サイモンズ理論は、境界の有無にかかわらず、任意の位相的3次元多様体M上で定義できる。これらの理論はシュワルツ型の位相理論であるため、M上に計量を導入する必要はない。

チャーン・サイモンズ理論はゲージ理論であり、ゲージ群Gを持つM上のチャーン・サイモンズ理論における古典的な配置は、 M上の主Gバンドルによって記述されることを意味します。このバンドルの接続は、リー群Gのリー代数gに値をとる接続1 形式Aによって特徴付けられます。一般に、接続Aは個々の座標パッチでのみ定義され、異なるパッチ上のAの値は、ゲージ変換と呼ばれる写像によって関連付けられます。これらは、外微分演算子dと接続Aの和である共変微分が、ゲージ群Gの随伴表現で変換するという主張によって特徴付けられます。共変微分の 2 乗は、曲率形式または場強度と呼ばれるg値 2 形式Fとして解釈できます。これも随伴表現で変換されます。

チャーン・サイモンズ理論の作用Sは、チャーン・サイモンズ3形式の積分に比例する。

${\displaystyle S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}{\text{tr}}\,(A\wedge dA+{\tfrac {2}{3}}A\wedge A\wedge A).}$

定数kは理論のレベルと呼ばれる。チャーン・サイモンズ理論の古典物理学は、レベルkの選択に依存しない。

古典的には、このシステムは運動方程式によって特徴づけられ、それは場Aの変化に関する作用の極値である。場の曲率の観点から

${\displaystyle F=dA+A\wedge A\,}$

場の方程式は明示的に

${\displaystyle 0={\frac {\delta S}{\delta A}}={\frac {k}{2\pi }}F.}$

したがって、古典的な運動方程式が満たされるのは、曲率が至るところでゼロになる場合のみであり、その場合、接続は平坦であると言われる。このように、 Gチャーン・サイモンズ理論の古典的な解は、 M上の主Gバンドルの平坦接続である。平坦接続は、基底M上の非可縮サイクルの周りのホロノミーによって完全に決定される。より正確には、それらは、 Mの基本群からゲージ群Gへの共役を除いての準同型の同値類と 1 対 1 で対応している。

M が境界Nを持つ場合、N上の主Gバンドルの自明化の選択を記述する追加データが存在する。このような選択は、 NからGへの写像を特徴づける。この写像のダイナミクスは、レベルkにおけるN上のWess–Zumino–Witten (WZW) モデルによって記述される。

チャーン・サイモンズ理論の観測量は、ゲージ不変演算子の n 点相関関数です。最もよく研​​究されるゲージ不変演算子のクラスは、ウィルソンループです。ウィルソンループは、 Gの与えられた表現RでトレースされたM内のループの周りのホロノミーです。ウィルソンループの積に興味があるので、一般性を失うことなく、既約表現Rに注目を限定することができます。

より具体的には、既約表現RとM内のループKが与えられたとき、ウィルソンループを定義することができる。${\displaystyle W_{R}(K)}$による

${\displaystyle W_{R}(K)=\operatorname {Tr} _{R}\,{\mathcal {P}}\exp \left(i\oint _{K}A\right)}$

ここで、Aは接続1形式であり、我々は経路積分のコーシー主値を取る。${\displaystyle {\mathcal {P}}\exp }$はパス順序指数関数です。

M内のリンクLを考えます。これはℓ 個の互いに素なループの集合です。特に興味深い観測量は、各互いに素なループの周りのウィルソン ループの積から形成されるℓ点相関関数です。各ループはGの基本表現でトレースされます。この観測量を、0 点相関関数である分割関数Z ( M )で割ることによって、正規化された相関関数を形成できます。

Mが3次元球面である特殊な場合、Wittenはこれらの正規化された相関関数が既知の結び目多項式に比例することを示した。例えば、レベルkのG  = U ( N )Chern–Simons理論では、正規化された相関関数は位相を除いて、次のようになる。 

${\displaystyle {\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))}}}$

HOMFLY多項式の倍数。特にN  =  2の場合、HOMFLY多項式はJones多項式に帰着する。SO( N )の場合、 Kauffman多項式で同様の表現が得られる。

位相の曖昧さは、ウィッテンが示したように、量子相関関数が古典データによって完全に定義されないという事実を反映している。ループとそれ自身とのリンク数は分配関数の計算に含まれるが、この数は小さな変形に対して不変ではなく、特に位相不変量ではない。各ループに対してフレーミングを選択すれば、この数は明確に定義できる。フレーミングとは、ループを変形して自己リンク数を計算する各点において、好ましい非ゼロの法線ベクトルを選択することである。この手順は、1934年にポール・ディラックとルドルフ・パイエルスが量子場理論における見かけ上発散する量を定義するために導入した点分割正則化手順の一例である。

サー・マイケル・アティヤは、 2-フレーミングの標準的な選択が存在することを示した^{[ 5 ]。}これは今日文献で一般的に使用されており、明確に定義された連結数につながる。標準的なフレーミングでは、上記の位相は、Lとそれ自身との連結数の2π i /( k  + N ) 倍の指数関数である。 

問題（ジョーンズ多項式の一般3次元多様体への拡張）

「オリジナルのジョーンズ多項式は、3次元球面（3次元球、3次元空間R3）における1リンクに対して定義されました。任意の3次元多様体における1リンクに対するジョーンズ多項式を定義することはできますか？」

この問題の背景と歴史については、この論文のセクション 1.1 ^{[ 6 ]を参照してください。カウフマンは、仮想 1-ノットを導入することにより、閉じた向き付けられた曲面と閉じた区間の積多様体の場合の解を提出しました。 [ 7 ]}他のケースでは未解決です。ジョーンズ多項式のウィッテンの経路積分は、形式的には任意のコンパクトな 3 多様体のリンクに対して記述されていますが、3 球面 (3 ボール、3 空間R ³ ) 以外のケースでは、物理レベルでも計算は行われていません。この問題も物理レベルでは未解決です。アレクサンダー多項式の場合、この問題は解決されています。

弦理論の文脈では、 6次元多様体Xの向き付けられたラグランジュ3部分多様体M上のU ( N )チャーン・サイモンズ理論は、 X上のAモデル位相弦理論において、 Xを包み込むDブレーン上で終端する開弦の弦場理論として現れる。D5ブレーンのスタックの空間充填ワールドボリューム上のBモデル位相開弦場理論は、正則チャーン・サイモンズ理論として知られるチャーン・サイモンズ理論の6次元変種である。

チャーン・サイモンズ理論は、他の多くの場の理論と関連しています。たとえば、境界を持つ多様体上のゲージ群 G を持つチャーン・サイモンズ理論を考えると、3 次元の伝播自由度はすべてゲージ化によって除去され、境界上にG Wess–Zumino–Witten モデルとして知られる2 次元の共形場の理論が残ります。さらに、大きなNにおけるU ( N ) および SO( N ) チャーン・サイモンズ理論は、行列モデルによってよく近似されます。

1982年、S. Deser、R. Jackiw、S. Templetonは、3次元のChern–Simons重力理論を提唱した。この理論では、重力理論におけるアインシュタイン–ヒルベルト作用にChern–Simons項を追加することで修正が加えられている。（Deser、Jackiw 、 Templeton（1982））

2003年にR. JackiwとSY Piはこの理論を4次元に拡張し（Jackiw & Pi (2003)）、チャーン・サイモンズ重力理論は基礎物理学だけでなく凝縮系理論や天文学にも大きな影響を与えている。

4次元の場合も3次元の場合と非常によく似ている。3次元では、重力チャーン・サイモンズ項は

${\displaystyle \operatorname {CS} (\Gamma )={\frac {1}{2\pi ^{2}}}\int d^{3}x\varepsilon ^{ijk}{\biggl (}\Gamma _{iq}^{p}\partial _{j}\Gamma _{kp}^{q}+{\frac {2}{3}}\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jr}^{q}\Gamma _{kp}^{r}{\biggr )}.}$

この変形によりコットンテンソルが得られます

${\displaystyle =-{\frac {1}{2{\sqrt {g}}}}{\bigl (}\varepsilon ^{mij}D_{i}R_{j}^{n}+\varepsilon ^{nij}D_{i}R_{j}^{m}).}$

次に、上記のコットンテンソルを場の方程式に加えることで、3次元重力のチャーン・サイモンズ修正が行われます。これは、アインシュタイン・ヒルベルト作用を変化させることで真空解として得られます。

2013年、ケネス・A・イントリリゲーターとネイサン・セイバーグは、余剰自由度を持つモノポールを用いて、これらの3次元チャーン・サイモンズゲージ理論とその位相を解明した。発見された多数の真空のウィッテン指数は、質量パラメータをオンにして空間をコンパクト化し、その後指数を計算することによって求められた。いくつかの真空では、超対称性が破れていることが計算された。これらのモノポールは凝縮物質の渦と関連付けられた。（イントリリゲーター＆セイバーグ（2013））

N = 6 チャーン・サイモンズ物質理論は、M 理論のホログラフィック双対である。  ${\displaystyle AdS_{4}\times S_{7}}$。

2013年にケビン・コステロは、 2次元の「位相平面」と2次元（または1つの複素次元）の複素曲線の積からなる4次元多様体上で定義される密接に関連した理論を定義しました。^{[ 8 ]}彼は後にウィッテンと山崎正人とともにこの理論をより詳細に研究し、^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}ゲージ理論が、厳密に解ける格子モデル（6頂点モデルやXXZスピン鎖など）、積分可能な量子場理論（グロス・ネーヴモデル、主カイラルモデル、対称空間コセットシグマモデルなど）、ヤン・バクスター方程式、および前述のシステムの積分可能性を支える対称性を記述するヤンギアンなどの量子群を含む、積分可能システム理論の多くの概念とどのように関連しているかを示しました。

4次元多様体上の作用${\displaystyle M=\Sigma \times C}$どこ${\displaystyle \Sigma }$は2次元多様体であり、${\displaystyle C}$複雑な曲線は $${\displaystyle S=\int _{M}\omega \wedge CS(A)}$$ どこ${\displaystyle \omega }$は有理型1形式である${\displaystyle C}$。

チャーン・サイモンズゲージ理論に物質を加えると、一般に位相的ではなくなります。しかし、n 個のマヨラナフェルミオンを加えると、パリティ異常により、それらを積分消去すると、チャーン・サイモンズレベルが− n /2だけ一ループ繰り込みされた純粋なチャーン・サイモンズ理論になります。言い換えれば、n 個のフェルミオンを持つレベル k の理論は、フェルミオンを持たないレベルk − n /2 の理論と等価です。