電流密度

電磁気学において、電流密度とは、選択された断面積の単位面積を通過する電流（または単位時間あたりの電荷量）のことである。^{[ 1 ]}電流密度ベクトルは、空間内の特定の点における電流密度の大きさと、その点における正電荷の運動方向を表すベクトルとして定義される。SI基本単位では、電流密度は平方メートルあたりのアンペアで測定される。 ^{[ 2 ]}

与えられた点Mを中心とし、点Mにおける電荷の運動に直交する面積A (SI 単位: m ² )の小さな表面を考えます。Aを流れる電流をI _A (SI 単位: A )とすると、点Mにおける電流密度jは次の極限で与えられます。^{[ 3 ]}$${\displaystyle j=\lim _{A\to 0}{\frac {I_{A}}{A}}=\left.{\frac {\partial I}{\partial A}}\right|_{A=0},}$$

極限過程において、表面AはMを中心とし、電荷の運動に対して直交する位置に留まる。

電流密度ベクトルjは、大きさが電流密度であり、方向がMにおける正電荷の運動と同じであるベクトルです。

ある時刻tにおいて、v がMにおける電荷の速度であり、dA がMを中心としvに直交する微小表面である場合、時間dtの間、 dAとによって形成される体積に含まれる電荷のみが${\displaystyle v\,dt}$dAを流れる。この電荷は${\displaystyle dq=\rho \,v\,dt\,dA,}$ここでρはMにおける電荷密度である。電流は${\displaystyle dI=dq/dt=\rho v\,dA}$したがって、電流密度ベクトルはベクトル法線である。${\displaystyle dA}$（つまりvに平行）で大きさが${\displaystyle dI/dA=\rho v}$

$${\displaystyle \mathbf {j} =\rho \mathbf {v} .}$$

表面S上のjの面積分に続いて時間t ₁からt _{2までの積分を行うと、その時間 (} t ₂ − t ₁ )に表面を通過する電荷の総量が得られます。

$${\displaystyle q=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\iint _{S}\mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dA\,dt.}$$

より簡潔に言うと、これはt ₁とt ₂の間のSを横切るjのフラックスの積分です。

磁束を計算するために必要な面積は、実面積でも虚面積でも、平面でも曲面でも、断面積でも表面でも構いません。例えば、電荷キャリアが電気導体を通過する場合、面積は考慮する断面における導体の断面積となります。

ベクトル面積は、電荷キャリアが通過する面積の大きさAと、その面積に垂直な単位ベクトルの組み合わせです。${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} .}$その関係は${\displaystyle \mathbf {A} =A\mathbf {\hat {n}} .}$

微分ベクトル面積も同様に、上記の定義から導かれる。${\displaystyle d\mathbf {A} =dA\mathbf {\hat {n}} .}$

電流密度j が面積の法線に対して角度θでその領域を通過する場合${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} ,}$それから

$${\displaystyle \mathbf {j} \cdot \mathbf {\hat {n}} =j\cos \theta }$$

ここで、 ⋅は単位ベクトルの内積です。つまり、表面を通過する電流密度の成分（つまり、表面に垂直な成分）はj cos θであり、面積に接線方向に通過する電流密度の成分はj sin θですが、実際に面積を接線方向に通過する電流密度はありません。面積に垂直に通過する電流密度の成分は、コサイン成分のみです。

電流密度は、電気・電子システムの設計において重要である。

回路の性能は設計電流レベルに大きく依存し、電流密度は導電素子の寸法によって決まります。例えば、集積回路のサイズが縮小するにつれて、小型デバイスに必要な電流は減少するにもかかわらず、より小さなチップ面積でより多くのデバイスを実現するために、電流密度を高める傾向が見られます。ムーアの法則を参照してください。

高周波では、導線の導電領域は表面付近に集中し、その領域の電流密度が増加します。これは表皮効果として知られています。

高電流密度は望ましくない結果をもたらします。ほとんどの電気伝導体は有限の正の抵抗を持ち、熱としてエネルギーを消費します。導体の溶融や焼損、絶縁材料の破損、あるいは望ましい電気特性の変化を防ぐため、電流密度は十分に低く抑える必要があります。高電流密度では、相互接続を形成する材料が実際に移動します。この現象はエレクトロマイグレーションと呼ばれます。超伝導体では、過剰な電流密度によって、超伝導特性が自然に失われるほど強い磁場が発生する可能性があります。

電流密度の分析と観測は、金属だけでなく半導体や絶縁体を含む固体の性質の根底にある物理を調査するためにも使用されます。多くの基本的な観測を説明するために、精緻な理論的形式が開発されました。^{[ 4 ] [ 5 ]}

電流密度は、電流密度と磁場を関連付けるアンペールの法則（マクスウェル方程式の1つ）における重要なパラメータである。

特殊相対性理論では、電荷と電流は4元ベクトルに統合される。

電荷は保存されるため、電流密度は連続方程式を満たさなければならない。以下に、第一原理からの導出を示す。^{[ 9 ]}

ある体積V（形状は任意だが、計算上は固定されている）からの正味の流出量は、その体積内に保持されている電荷の正味の変化量と等しくなければならない。

$$\displaystyle \int _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=-{\frac {d}{dt}}\int _{V}{\rho \;dV}=-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

ここで、ρは電荷密度、d Aは体積Vを囲む表面Sの表面要素である。左側の表面積分は体積からの電流流出を表し、右側の負の符号の体積積分は体積内部の総電荷の減少を表す。発散定理より：

$${\displaystyle \oint _{S}{\mathbf {j} \cdot d\mathbf {A} }=\int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}}$$

したがって：

$$\displaystyle \int _{V}{{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {j} \;dV}\ =-\int _{V}{{\frac {\partial \rho }{\partial t}}\;dV}}$$

この関係は、大きさや場所に関係なく、あらゆる体積に対して有効であり、それは次のことを意味する。

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} =-{\frac {\partial \rho }{\partial t}}}$$

そしてこの関係は連続方程式と呼ばれる。^{[ 13 ] [ 14 ]}

電気配線では、最大電流密度（所定の温度定格の場合）は、周囲に空気循環のない電線では4  A⋅mm ⁻²から、自由空気中の電線では6  A⋅mm ^{−2を超えるまで変化する可能性があります。}建物配線の規制では、さまざまな条件下での各サイズのケーブルの最大許容電流がリストされています。SMPSトランスの巻線などのコンパクトな設計では、値は 2  A⋅mm ⁻²程度まで低くなる可能性があります。^{[ 15 ]}電線が高周波交流電流を流している場合、表皮効果により、電流が導体の表面に集中することで、セクション全体の電流分布に影響を与える可能性があります。高周波用に設計されたトランスでは、巻線にリッツ線を使用すると損失が低減されます。これは、表皮深さの2 倍の直径を持つ複数の絶縁電線を並列にしたものです。絶縁された素線は、表皮面積全体を増やし、表皮効果による抵抗を低減するために一緒に撚り合わされています。

プリント基板の上面層と下面層では、銅の厚さが35μmの場合、^最大電流密度は35A⋅mm⁻²にも達することがあります 。内層は外層ほど熱を放散できないため、回路基板の設計者は内層に大電流配線を配置することを避けます。 

半導体分野では、各種素子の最大電流密度はメーカーによって定められています。これらの制限を超えると、以下のような問題が発生します。

• ジュール効果とは、部品の温度を上昇させる効果のことです。
• 電気泳動効果により相互接続部が侵食され、最終的には断線を引き起こす。
• 高温に継続的にさらされると、金属イオンやドーパントが本来あるべき場所から移動してしまうという、緩やかな拡散効果が生じる。この効果は、老化とも同義である。

以下の表は、様々な材料における最大電流密度の目安を示しています。

メーカーが数値に多少の余裕を持たせている場合でも、特に高品質の電子機器においては、信頼性を向上させるために、計算された断面積を少なくとも2倍にすることが推奨されます。また、電子機器を冷却して、エレクトロマイグレーションや緩やかな拡散から保護することも重要です。

生物では、イオンチャネルがすべての細胞の膜を介したイオン（例えば、ナトリウム、カルシウム、カリウム）の流れを調節します。細胞膜はコンデンサのように機能すると考えられています。^{[ 17 ]} 電流密度は通常、pA⋅pF −1（ピコアンペア/ピコファラド）（つまり、電流を静電容量で割った値）で表されます。^細胞の静電容量と表面積を経験的に測定する技術が存在し、これによりさまざまな細胞の電流密度を計算できます。これにより、研究者は異なるサイズの細胞におけるイオン電流を比較できます。^{[ 18 ]}

フラッシュランプなどのガス放電ランプでは、電流密度が生成される出力スペクトルに重要な役割を果たします。電流密度が低いとスペクトル線発光が生じ、長波長側が優勢になります。電流密度が高いと連続発光が生じ、短波長側が優勢になります。^{[ 19 ]}フラッシュランプの低電流密度は一般的に約 10 A⋅mm ⁻²です。高電流密度は 40 A⋅mm ⁻²を超えることがあります。  

• ホール効果
• 量子ホール効果
• 超伝導
• 電子移動度
• ドリフト速度
• 有効質量
• 電気抵抗
• シート抵抗
• 電気の速度
• 電気伝導
• グリーンと久保の関係
• グリーン関数（多体理論）