共形場理論

リーマン球面のグローバル共形群はメビウス変換 群である。${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$⁠は有限次元である。一方、無限小の共形変換は無限次元のウィット代数を形成する。2次元の共形キリング方程式は、${\displaystyle \partial _{\mu }\xi _{\nu }+\partial _{\nu }\xi _{\mu }=\partial \cdot \xi \eta _{\mu \nu },~}$コーシー・リーマン方程式のみに還元する。${\displaystyle \partial _{\bar {z}}\xi (z)=0=\partial _{z}\xi ({\bar {z}})}$任意の解析座標変換のモードの無限性${\displaystyle \xi (z)}$キリングベクトル場 の無限大を生み出す${\displaystyle z^{n}\partial _{z}}$⁠ .

厳密に言えば、2次元共形場理論は、（応力テンソルを持つという意味で）局所的でありながら、大域的な不変性しか示さない可能性がある。${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {C} )}$これは非ユニタリー理論に特有のものであることが判明しました。例としては、双調和スカラーが挙げられます。 ^{[ 6 ]}この性質は、共形不変性のないスケールよりもさらに特別なものとみなされるべきです。なぜなら、$\displaystyle T_{\mu }{}^{\mu }}$完全な2階微分である。

2次元における大域共形対称性は、高次元における共形対称性の特殊な場合であり、同じ手法を用いて研究されます。これは、大域共形対称性を持つが局所共形対称性を持たない理論だけでなく、高次元共形場理論（CFT）の手法や概念を検証する目的で、局所共形対称性を持つ理論においても行われます。特に、数値ブートストラップ法は、最小モデルに適用し、その結果を局所共形対称性から導かれる既知の解析結果と比較することで検証できます。

共形不変な二次元量子論では、微小共形変換のウィット代数は中心的に拡張されなければならない。したがって、量子対称性代数はヴィラソロ代数であり、これは中心電荷と呼ばれる数に依存する。この中心拡張は、共形異常の観点からも理解することができる。

アレクサンダー・ザモロドチコフは、2次元量子場理論の繰り込み群の流れの下で単調に減少し、2次元共形場理論の中心電荷に等しい関数が存在することを示した。これはザモロドチコフのC定理として知られており、 2次元における繰り込み群の流れが不可逆であることを示している。^{[ 7 ]}

共形不変な量子論の対称性代数は、中心拡張に加えて複素化される必要があり、その結果、ビラソロ代数の2つのコピーが生じる。ユークリッドCFTでは、これらのコピーは正則コピーと反正則コピーと呼ばれ、ローレンツCFTでは、左移動コピーと右移動コピーと呼ばれる。どちらのコピーも同じ中心電荷を持つ。

理論の状態空間は、2 つのビラソロ代数の積の表現です。理論がユニタリーであれば、この空間はヒルベルト空間になります。この空間には真空状態、あるいは統計力学では熱状態が含まれる可能性があります。中心電荷がゼロにならない限り、無限次元の共形対称性全体を破らない状態は存在できません。私たちが持つことができる最良の状態は、生成子の下で不変な状態です。${\displaystyle L_{n\geq -1}}$ビラソロ代数の基底は⁠${\displaystyle (L_{n})_{n\in \mathbb {Z} }}$⁠。これにはジェネレーターが含まれています${\displaystyle L_{-1}、L_{0}、L_{1}}$グローバルな共形変換のうちの1つ。共形群の残りの部分は自発的に破れている。

与えられた時空と計量に対して、共形変換とは角度を保存する変換のことである。ここでは、平坦な時空の共形変換に焦点を当てる。${\displaystyle d}$次元ユークリッド空間$\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$またはミンコフスキー空間の$\displaystyle \mathbb {R} ^{1,d-1}}$⁠ .

もし${\displaystyle x\to f(x)}$は等角変換であり、ヤコビアン${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)={\frac {\partial f^{\mu }(x)}{\partial x^{\nu }}}}$形式は

${\displaystyle J_{\nu }^{\mu }(x)=\Omega (x)R_{\nu }^{\mu }(x),}$

どこ${\displaystyle \Omega (x)}$はスケールファクターであり、${\displaystyle R_{\nu }^{\mu }(x)}$これは回転（つまり直交行列）またはローレンツ変換です。

ユークリッド空間の共形群は局所的に と同型である${\displaystyle \mathrm {SO} (1,d+1)}$⁠、ミンコフスキー空間の⁠${\displaystyle \mathrm {SO} (2,d)}$これには、平行移動、回転（ユークリッド変換）、ローレンツ変換（ミンコフスキー変換）、および拡大縮小（スケール変換）が含まれます。

${\displaystyle x^{\mu }\to \lambda x^{\mu }.}$

これには特殊な等角変換も含まれます。任意の変換に対して⁠${\displaystyle T_{a}(x)=x+a}$⁠ 、特別な共形変換が存在する

${\displaystyle S_{a}=I\circ T_{a}\circ I,}$

どこ${\displaystyle I}$反転は次のようなものです。

${\displaystyle I\left(x^{\mu }\right)={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}.}$

球体の中で$${\displaystyle S^{d}=\mathbb {R} ^{d}\cup \{\infty \}}$$反転交換${\displaystyle 0}$と共に​${\displaystyle \infty }$翻訳は残ります${\displaystyle \infty }$固定されているが、特殊な共形変換により${\displaystyle 0}$修理済み。

対応するリー代数の交換関係は次のとおりである。

${\displaystyle {\begin{aligned}[][P_{\mu },P_{\nu }]&=0,\\[][D,K_{\mu }]&=-K_{\mu },\\[][D,P_{\mu }]&=P_{\mu },\\[][K_{\mu },K_{\nu }]&=0,\\[][K_{\mu },P_{\nu }]&=\eta _{\mu \nu }D-iM_{\mu \nu },\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle P}$翻訳を生成する、${\displaystyle D}$膨張を生成し、$\displaystyle K_{\mu }}$特殊な共形変換を生成し、$\displaystyle M_{\mu \nu }}$回転またはローレンツ変換を生成します。テンソル${\displaystyle \eta _{\mu \nu }}$はフラットなメトリックです。

ミンコフスキー空間では、共形群は因果律を保存しません。相関関数などの観測量は共形代数の下では不変ですが、共形群の下では不変ではありません。LüscherとMackが示したように、平坦なミンコフスキー空間をローレンツ円筒に拡張することで、共形群の下での不変性を回復することが可能です。^{[ 8 ]}元のミンコフスキー空間は、ポアンカレパッチと呼ばれる円筒の領域と共形的に等価です。円筒内では、大域的な共形変換は因果律を破りません。代わりに、ポアンカレパッチの外に点を移動させることができます。

任意の共形変換${\displaystyle x\to f(x)}$場に対して線形的に作用する${\displaystyle O(x)\to \pi _{f}(O)(x)}$⁠、したがって$\displaystyle f\to \pi _{f}}$これは共形群の表現であり、相関関数は不変である。

$\displaystyle \left\langle \pi _{f}(O_{1})(x_{1})\cdots \pi _{f}(O_{n})(x_{n})\right\rangle =\left\langle O_{1}(x_{1})\cdots O_{n}(x_{n})\right\rangle .}$

プライマリフィールドは、自身に変化するフィールドです。$\displaystyle \pi _{f}}$主場の挙動は、数によって特徴付けられる。${\displaystyle \Delta }$それを共形次元と呼び、表現${\displaystyle \rho }$回転またはローレンツ群の。主場の場合、次のようになる。

${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\Omega (x')^{-\Delta }\rho (R(x'))O(x'),\quad {\text{ただし}}\ x'=f^{-1}(x).}$

ここ${\displaystyle \Omega (x)}$そして${\displaystyle R(x)}$これらは等角変換に関連するスケールファクターと回転です。${\displaystyle f}$表現​${\displaystyle \rho }$スカラー場の場合、これは自明であり、次のように変換される。${\displaystyle \pi _{f}(O)(x)=\オメガ (x')^{-\デルタ }O(x')}$ベクトル場の場合、表現は次のようになります。${\displaystyle \rho }$は基本的な表現であり、私たちは⁠${\displaystyle \pi _{f}(O_{\mu })(x)=\Omega (x')^{-\Delta }R_{\mu }^{\nu }(x')O_{\nu }(x')}$⁠ .

共形次元によって特徴付けられる主要な場${\displaystyle \Delta }$そして代表${\displaystyle \rho }$拡大と回転によって生成された部分群からの共形群の誘導表現において、最も重みの高いベクトルとして振る舞う。特に、共形次元は${\displaystyle \Delta }$これは、拡大のサブグループの表現を特徴づけるものです。2 次元では、この誘導表現がVerma モジュールであるという事実は、文献全体にわたって現れています。より高次元の CFT (最大コンパクト部分代数がCartan 部分代数よりも大きい場合) では、この表現が放物型または一般化された Verma モジュールであることが最近認識されています。^{[ 9 ]}

基本場の導関数（任意の次数）は子孫場と呼ばれます。共形変換の下でのそれらの振る舞いはより複雑です。たとえば、${\displaystyle O}$主要分野である場合、${\displaystyle \pi _{f}(\partial _{\mu }O)(x)=\partial _{\mu }\left(\pi _{f}(O)(x)\right)}$は、${\displaystyle \partial _{\mu }O}$そして​${\displaystyle O}$子孫場の相関関数は、主場の相関関数から導出できます。しかし、すべての場が主場かその子孫場のいずれかである一般的な場合でも、共形ブロックや演算子積展開ではすべての子孫場に関する和が含まれるため、子孫場は重要な役割を果たします。

すべての主要フィールドのコレクション${\displaystyle O_{p}}$⁠、そのスケーリング次元によって特徴付けられる${\displaystyle \Delta _{p}}$そして表現${\displaystyle \rho _{p}}$⁠ は、理論のスペクトルと呼ばれます。

相関関数が共形変換に対して不変であるため、相関関数の場の位置への依存性は厳しく制限される。2点関数および3点関数の場合、その依存性は有限個の定数係数を除いて決定される。高点関数はより自由度が高く、位置の共形不変な組み合わせの関数を除いてのみ決定される。

2つの基本場の2点関数は、それらの共形次元が異なる場合に消滅する。

${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}\implies \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})\right\rangle =0.}$

膨張演算子が対角化可能であれば（つまり、理論が対数的でなければ）、2点関数が対角化されるような基本場の基底が存在する。${\displaystyle i\neq j\implies \left\langle O_{i}O_{j}\right\rangle =0}$この場合、スカラー一次場の2点関数は^{[ 10 ]}である。

${\displaystyle \left\langle O(x_{1})O(x_{2})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

ここで、共形対称性によって決定されない定数係数が 1 となるように場の正規化を選択します。同様に、非スカラー一次場の 2 点関数は、1 に設定できる係数を除いて決定されます。ランク⁠の対称トレースレステンソルの場合${\displaystyle \ell }$⁠、2点関数は

${\displaystyle \left\langle O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{1})O_{\nu _{1},\dots ,\nu _{\ell }}(x_{2})\right\rangle ={\frac {\prod _{i=1}^{\ell }I_{\mu _{i},\nu _{i}}(x_{1}-x_{2})-{\text{traces}}}{|x_{1}-x_{2}|^{2\Delta }}},}$

テンソル${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)}$は次のように定義される。

${\displaystyle I_{\mu ,\nu }(x)=\eta _{\mu \nu }-{\frac {2x_{\mu }x_{\nu }}{x^{2}}}.}$

3つのスカラー基本場の3点関数は

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{3}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

どこで${\displaystyle x_{ij}=x_{i}-x_{j}}$⁠、そして${\displaystyle C_{123}}$は3点構造定数です。必ずしもスカラーではない基本場の場合、共形対称性により有限個のテンソル構造が許容され、各テンソル構造には構造定数が存在します。2つのスカラー場とランクの対称なトレースレステンソルの場合、${\displaystyle \ell }$⁠、テンソル構造は1つだけであり、3点関数は

${\displaystyle \left\langle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})O_{\mu _{1},\dots ,\mu _{\ell }}(x_{3})\right\rangle ={\frac {C_{123}\left(\prod _{i=1}^{\ell }V_{\mu _{i}}-{\text{traces}}\right)}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}-\Delta _{3}}|x_{13}|^{\Delta _{1}+\Delta _{3}-\Delta _{2}}|x_{23}|^{\Delta _{2}+\Delta _{3}-\Delta _{1}}}},}$

ここでベクトルを導入します

${\displaystyle V_{\mu }={\frac {x_{13}^{\mu }x_{23}^{2}-x_{23}^{\mu }x_{13}^{2}}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}}.}$

スカラー一次場の4点関数は、任意の関数を除いて決定される。${\displaystyle g(u,v)}$2つの交差比率のうち

${\displaystyle u={\frac {x_{12}^{2}x_{34}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}\ ,\ v={\frac {x_{14}^{2}x_{23}^{2}}{x_{13}^{2}x_{24}^{2}}}.}$

4点関数は次のようになります^{[ 11 ]}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle ={\frac {\left({\frac {|x_{24}|}{|x_{14}|}}\right)^{\Delta _{1}-\Delta _{2}}\left({\frac {|x_{14}|}{|x_{13}|}}\right)^{\Delta _{3}-\Delta _{4}}}{|x_{12}|^{\Delta _{1}+\Delta _{2}}|x_{34}|^{\Delta _{3}+\Delta _{4}}}}g(u,v).}$

演算子積展開（OPE）は、より一般的な量子場理論よりも共形場理論において強力である。これは、共形場理論では演算子積展開の収束半径が有限である（つまりゼロではない）ためである。^{[ 12 ]}位置が与えられれば${\displaystyle x_{1},x_{2}}$2 つのフィールドが十分に近い場合、演算子積展開は、これらの 2 つのフィールドの積を、特定の点におけるフィールドの線形結合として書き換えます。${\displaystyle x_{2}}$技術的な便宜のため。

2つのフィールドの演算子積展開は次の形式をとる。

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{k}c_{12k}(x_{1}-x_{2})O_{k}(x_{2}),}$

どこ${\displaystyle c_{12k}(x)}$は係数関数であり、原理的には理論内のすべての場について和をとります。（同様に、状態と場の対応関係により、状態空間内のすべての状態について和をとります。）対称性による制約、例えば共形対称性や余分な対称性などにより、実際には存在しない場もあります。

すべてのフィールドが主フィールドまたは子孫フィールドである場合、任意の子孫フィールドの寄与を対応する主フィールドの寄与で書き換えることにより、フィールドの合計を主フィールドの合計に簡略化できます。

${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=\sum _{p}C_{12p}P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})O_{p}(x_{2}),}$

畑が${\displaystyle O_{p}}$これらはすべて主要なものであり、${\displaystyle C_{12p}}$は3点構造定数（このためOPE係数とも呼ばれる）である。微分演算子${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$これは導関数の無限級数であり、共形対称性によって決定されるため、原理的には既知である。

OPEを相関関数間の関係とみなすと、OPEは結合法則を満たさなければならないことがわかる。さらに、空間がユークリッド空間であれば、相関関数は体の順序に依存しないため、OPEは可換でなければならない。${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})=O_{2}(x_{2})O_{1}(x_{1})}$⁠ .

演算子積展開の存在は、共形ブートストラップの基本公理である。しかし、一般に演算子積展開、特に微分演算子を計算する必要はない。${\displaystyle P_{p}(x_{1}-x_{2},\partial _{x_{2}})}$むしろ、必要なのは相関関数を構造定数と共形ブロックに分解することである。原理的にはOPEを用いて共形ブロックを計算することも可能だが、実際にはより効率的な方法が存在する。

OPEを使用する${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$⁠、4点関数は3点構造定数とsチャネル共形ブロックの組み合わせとして記述できます。

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{12p}C_{p34}G_{p}^{(s)}(x_{i}).}$

共形ブロック${\displaystyle G_{p}^{(s)}(x_{i})}$は、主場の寄与の合計です。${\displaystyle O_{p}}$そしてその子孫。それは分野によって異なる。${\displaystyle O_{i}}$そしてそれらの位置。3点関数が${\displaystyle \left\langle O_{1}O_{2}O_{p}\right\rangle }$または${\displaystyle \left\langle O_{3}O_{4}O_{p}\right\rangle }$複数の独立したテンソル構造が関与し、構造定数と共形ブロックはこれらのテンソル構造に依存し、主場は${\displaystyle O_{p}}$複数の独立したブロックが寄与する。共形ブロックは共形対称性によって決定され、原理的には既知である。それらを計算するには、漸化式^{[ 9 ]と積分可能な手法[ 13 ]}がある。

OPEを使用する${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{4}(x_{4})}$または⁠${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{3}(x_{3})}$⁠ 、同じ4点関数はtチャネル共形ブロックまたはuチャネル共形ブロックで表されます。

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}O_{i}(x_{i})\right\rangle =\sum _{p}C_{14p}C_{p23}G_{p}^{(t)}(x_{i})=\sum _{p}C_{13p}C_{p24}G_{p}^{(u)}(x_{i}).}$

sチャネル、tチャネル、uチャネルの分解が等しいことを交差対称性と呼びます。これは、一次場のスペクトルと3点構造定数に対する制約となります。

共形ブロックは、4点関数と同じ共形対称性の制約に従います。特に、sチャネル共形ブロックは関数を用いて記述できます。${\displaystyle g_{p}^{(s)}(u,v)}$クロスレシオの。OPEは${\displaystyle O_{1}(x_{1})O_{2}(x_{2})}$収束するのは、${\displaystyle \vert x_{12}\vert <\min(\vert x_{23}\vert ,\vert x_{24}\vert )}$⁠、等角ブロックは、位置のすべての（ペアワイズ一致しない）値に解析的に接続できます。ユークリッド空間では、等角ブロックは、4つの点が特定の条件を満たさない限り、位置の単一値の実解析関数です。${\displaystyle x_{i}}$円上に位置するが、単一転置された巡回順序[1324]にあり、このような例外的な場合にのみ、等角ブロックへの分解は収束しない。

平坦なユークリッド空間における共形場理論${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$したがって、スペクトルによって定義される。${\displaystyle \{(\Delta _{p},\rho _{p})\}}$およびOPE係数（または3点構造定数）${\displaystyle \{C_{pp'p''}\}}$⁠、すべての4点関数が交差対称であるという制約を満たします。スペクトルとOPE係数（これらを総称してCFTデータと呼びます）から、任意の次数の相関関数を計算できます。

共形場理論は、その状態空間が正定値のスカラー積を持ち、膨張演算子が自己共役である場合にユニタリである。この場合、スカラー積は状態空間にヒルベルト空間の構造を与える。

ユークリッド共形場理論では、ユニタリ性は相関関数の反射正値性と等価であり、オスターワルダー・シュレーダー公理の1つである。^{[ 11 ]}

ユニタリ性とは、一次場の共形次元が実数であり、下限を持つことを意味する。下限は時空次元に依存する。${\displaystyle d}$⁠、そして主場が変換される回転またはローレンツ群の表現について。スカラー場の場合、ユニタリ性の限界は^{[ 11 ]である。}

${\displaystyle \Delta \geq {\frac {1}{2}}(d-2).}$

ユニタリ理論では、3点構造定数は実数でなければならず、これは4点関数が特定の不等式を満たすことを意味する。強力な数値ブートストラップ法は、これらの不等式を利用することに基づいている。

共形場理論は、次の3つの条件を満たす場合にコンパクトである。 ^{[ 14 ]}

• すべての等角寸法は実数である。
• いかなる場合でも${\displaystyle \Delta \in \mathbb {R} }$次元がより小さい状態は有限個存在する${\displaystyle \Delta }$⁠ .
• 次元を持つユニークな状態があります${\displaystyle \Delta =0}$⁠、そしてそれは真空状態であり、つまり対応する場は恒等場である。

（恒等場とは、相関関数に挿入しても相関関数を変更しない場のことである。すなわち、${\displaystyle \left\langle I(x)\cdots \right\rangle =\left\langle \cdots \right\rangle }$⁠ .) この名前は、2D 共形場理論がシグマモデルでもある場合、そのターゲット空間がコンパクトである場合に限り、これらの条件を満たすという事実から来ています

すべてのユニタリー共形場理論は次元がコンパクトであると考えられている。${\displaystyle d>2}$一方、ユニタリ性がない場合、4次元^{[ 15 ]}および4次元のCFTを見つけることが可能です。${\displaystyle 4-\epsilon }$^{[ 16 ]}連続スペクトルを持つ。そして、2次元では、リウヴィル理論はユニタリーであるがコンパクトではない。

共形場理論は、共形対称性に加えて追加の対称性を持つ可能性がある。例えば、イジングモデルは${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$対称性があり、超共形場理論は超対称性を持つ。

一般化自由場とは、相関関数がウィックの定理によってその2点相関関数から導出される場のことである。例えば、${\displaystyle \phi }$次元のスカラー基本場である${\displaystyle \Delta }$⁠、その4点関数は^{[ 17 ]と読み取れる。}

${\displaystyle \left\langle \prod _{i=1}^{4}\phi (x_{i})\right\rangle ={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta }|x_{34}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{13}|^{2\Delta }|x_{24}|^{2\Delta }}}+{\frac {1}{|x_{14}|^{2\Delta }|x_{23}|^{2\Delta }}}.}$

例えば、${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2}}$は、以下の2つのスカラープライマリフィールドである。${\displaystyle \langle \phi _{1}\phi _{2}\rangle =0}$（特に以下の場合は）${\displaystyle \Delta _{1}\neq \Delta _{2}}$）4点関数

${\displaystyle {\Big \langle }\phi _{1}(x_{1})\phi _{1}(x_{2})\phi _{2}(x_{3})\phi _{2}(x_{4}){\Big \rangle }={\frac {1}{|x_{12}|^{2\Delta _{1}}|x_{34}|^{2\Delta _{2}}}}.}$

平均場理論は、一般化された自由場から構築される共形場理論の総称である。例えば、平均場理論は1つのスカラー基本場から構築することができる。${\displaystyle \phi }$⁠。するとこの理論には⁠が含まれます${\displaystyle \phi }$⁠ 、その子孫体、および OPE \phi \phiに現れる体。 に現れる主要な体${\displaystyle \phi \phi }$4点関数を分解することで決定できる${\displaystyle \langle \phi \phi \phi \phi \rangle }$等角ブロックでは: ^{[ 17 ]}等角寸法は${\displaystyle 2\Delta +2\mathbb {N} }$: 平均場理論では、共形次元は整数を法として保存される。構造定数はガンマ関数を用いて正確に計算できる。^{[ 18 ]}

同様に、非自明なローレンツスピンを持つ場から平均場理論を構築することも可能である。例えば、4次元マクスウェル理論（荷電物質場が存在しない場合）は、反対称テンソル場から構築された平均場理論である。${\displaystyle F_{\mu \nu }}$スケーリング次元付き${\displaystyle \Delta =2}$⁠ .

平均場理論は、ラプラシアンを任意の実数べき乗（場のスケーリング次元を決定する）で累乗した二次作用によるラグランジュ記述を持つ。一般的なスケーリング次元の場合、ラプラシアンのべき乗は整数ではない。したがって、対応する平均場理論は非局所的である（例えば、保存応力テンソル演算子を持たない）。

臨界イジングモデルは、 2次元または3次元の超立方格子上のイジングモデルの臨界点です。${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$グローバル対称性は、すべてのスピンを反転させることに対応する。2次元臨界イジングモデルには、${\displaystyle {\mathcal {M}}(4,3)}$厳密に解けるビラソロ最小モデル。3次元臨界イジングモデルは厳密には解けないが、その普遍性クラスは臨界3Dイジングモデルの磁化だけでなく、臨界点における流体の臨界オパール現象も記述する。イジングCFTは存在しない。${\displaystyle d\geq 4}$寸法。

重要なポッツモデル${\displaystyle q=2,3,4,\cdots }$colors は置換群の 下で不変なユニタリ CFT です。${\displaystyle S_{q}}$これは臨界イジングモデルの一般化であり、以下に対応する。${\displaystyle q=2}$⁠。重要なポッツモデルは、以下に応じてさまざまな次元で存在します。${\displaystyle q}$⁠ .

臨界ポッツモデルは、 d次元超立方格子上のポッツモデルの連続体極限として構築できる。クラスターの観点からの Fortuin-Kasteleyn の再定式化では、ポッツモデルは次のように定義できる。${\displaystyle q\in \mathbb {C} }$⁠、ただし、それはユニタリではありません。${\displaystyle q}$整数ではありません。

臨界O( N ) モデルは直交群の下で CFT 不変である。任意の整数に対して⁠${\displaystyle N}$⁠、それは相互作用するユニタリーかつコンパクトなCFTとして存在します。${\displaystyle d=3}$寸法（および${\displaystyle N=1}$（2次元の場合も同様）。これは臨界イジングモデルの一般化であり、 のO(N) CFTに対応する。${\displaystyle N=1}$⁠ .

O( N )CFTは、 Nベクトルであるスピンを持つ格子モデルの連続体極限として構築することができ、これはnベクトルモデルと呼ばれます。

あるいは、重要な${\displaystyle O(N)}$モデルは次のように構築できます。${\displaystyle \varepsilon \to 1}$ウィルソン・フィッシャー固定点の極限${\displaystyle d=4-\varepsilon }$寸法。${\displaystyle \varepsilon =0}$⁠、ウィルソン・フィッシャー固定点は、テンソル積となる。${\displaystyle N}$次元を持つ自由スカラー${\displaystyle \Delta =1}$⁠。${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$問題のモデルは非ユニタリーである。^{[ 19 ]}

Nが大きい場合、O( N ) モデルは、ハバード–ストラトノビッチ変換によって1/ N展開で摂動的に解くことができます。特に、${\displaystyle N\to \infty }$臨界O( N )モデルの限界はよく理解されている。

臨界 O( N ) モデルの共形データはNと次元の関数であり、それについては多くの結果が知られています。^{[ 20 ]}

3次元および4次元の共形場理論の中には、アーベルまたは非アーベルのゲージ理論の形でラグランジアン記述を許容するものもある。そのような共形場理論の例としては、十分な数の荷電場を持つ共形QEDなどがある。${\displaystyle d=3}$またはバンクス・ザックス固定点${\displaystyle d=4}$⁠ .

D次元空間を持つ古典統計物理系の連続相転移（臨界点）は、しばしばユークリッド共形場理論によって記述される。このために必要条件となるのは、臨界点が空間回転と並進に対して不変であることである。しかし、この条件は十分条件ではない。例外的な臨界点の中には、スケール不変ではあるが共形不変ではない理論によって記述されるものもある。古典統計物理系が反射正であれば、その臨界点を記述する対応するユークリッド共形場理論はユニタリーとなる。

D次元空間を持つ凝縮系における連続的な量子相転移は、ローレンツ型のD+1次元共形場理論（ウィック回転によってD +1次元のユークリッド共形場理論と関連付けられる）によって記述される。並進不変性と回転不変性に加えて、この現象が起こるためのもう一つの必要条件は、動的臨界指数zが1に等しいことである。このような量子相転移を記述する共形場理論（クエンチド無秩序が存在しない場合）は常にユニタリーである。

弦理論の世界面記述は、動的な2次元量子重力（超弦理論の場合は超重力）と結合した2次元共形場理論（CFT）を含む。弦理論モデルの一貫性は、このCFTの中心電荷に制約を課し、ボソン弦理論ではc = 26 、超弦理論ではc = 10となるべきである。弦理論が存在する時空の座標は、このCFTのボソン場に対応する。

共形場理論は、 AdS/CFT対応において重要な役割を果たします。この対応では、反ド・ジッター空間（AdS）における重力理論は、AdS境界上の共形場理論と等価です。注目すべき例としては、 AdS ₅ × S ^5上のタイプIIB弦理論と双対であるd  =  4、N = 4超対称ヤン・ミルズ理論、およびAdS ₄ × S ^7上のM理論と双対であるd = 3、N = 6超チャーン・サイモンズ理論が挙げられます。（接頭辞「super」は超対称性を表し、Nは理論が持つ拡張超対称性の度合いを表し、 dは境界上の時空次元の数を表します。）        

共形場理論に摂動を加えることで、共形場理論であるか否かを問わず、他の場理論を構築することが可能となる。それらの相関関数は、共形摂動理論と呼ばれる手法を用いて、元の共形場理論の相関関数から摂動的に計算することができる。

例えば、摂動の一種として、共形場理論を離散時空上で研究することによって離散化する方法がある。結果として生じる有限サイズ効果は、共形摂動理論を用いて計算することができる。^{[ 21 ]}