創造と消滅の演算子

生成演算子と消滅演算子は、量子力学、特に量子調和振動子と多粒子系の研究において広く応用されている数学演算子である。 ^[1]消滅演算子（通常は と表記）は、与えられた状態にある粒子の数を 1 つ減らす。生成演算子（通常は と表記）は、与えられた状態にある粒子の数を 1 つ増やし、消滅演算子の随伴演算子である。物理学と化学の多くの分野では、波動関数の代わりにこれらの演算子を使用することを第二量子化として知られている。これらはポール・ディラックによって導入された。^[2]${\displaystyle {\hat {a}}}$${\displaystyle {\hat {a}}^{\dagger }}$

生成消滅演算子は、さまざまな種類の粒子の状態に作用します。たとえば、量子化学や多体理論では、生成消滅演算子は電子状態に作用することがよくあります。また、量子調和振動子のラダー演算子を指すこともあります。後者の場合、生成演算子は上昇演算子として解釈され、振動子システムにエネルギーの量子を追加します（低下演算子についても同様です）。これらはフォノンを表すために使用できます。これらの演算子を使用してハミルトニアンを構築すると、理論が自動的にクラスター分解定理を満たすという利点があります。^[3]

ボソンの生成消滅演算子の数学は、量子調和振動子のラダー演算子の数学と同じです。^[4]たとえば、同じボソン状態に関連付けられている生成消滅演算子の交換子は1 に等しく、他のすべての交換子は消えます。ただし、フェルミオンの場合、数学は異なり、交換子の代わりに反交換子が関係します。^[5]

量子調和振動子の文脈では、ラダー演算子を生成演算子と消滅演算子として再解釈し、振動子システムに固定の 量子エネルギーを追加または減算します。

生成/消滅演算子は、ボソン（整数スピン）とフェルミオン（半整数スピン）では異なります。これは、それらの波動関数が異なる対称性特性を持つためです。

まず、量子調和振動子の光子のより単純なボゾンの場合を考えてみましょう。1次元の時間に依存しない量子調和振動子のシュレーディンガー方程式から始めます。 $${\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\psi (x)=E\psi (x).}$$

座標置換を行って微分方程式 を無次元化する$${\displaystyle x\ =\ {\sqrt {\frac {\hbar }{m\omega }}}q.}$$

振動子のシュレーディンガー方程式は $${\displaystyle {\frac {\hbar \omega }{2}}\left(-{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

この量は光量子と同じエネルギーであり、ハミルトニアンの括弧は次のように書ける ことに注意する。${\displaystyle \hbar \omega =h\nu }$$${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}.}$$

最後の2つの項は、任意の微分可能関数への影響を考慮することで簡略化できる。${\displaystyle f(q),}$

$${\displaystyle \left({\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}\right)f(q)={\frac {d}{dq}}(qf(q))-q{\frac {df(q)}{dq}}=f(q)}$$ これは、 通常の標準的な交換関係と一致して、位置空間表現では次のことを意味します。 $${\displaystyle {\frac {d}{dq}}qq{\frac {d}{dq}}=1,}$$${\displaystyle -i[q,p]=1}$${\displaystyle p:=-i{\frac {d}{dq}}}$

したがって、 振動子のシュレーディンガー方程式は、上記の代入と1/2の係数の並べ替えにより、 $${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dq^{2}}}+q^{2}=\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+1}$$$${\displaystyle \hbar \omega \left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right){\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)+{\frac {1}{2}}\right]\psi (q)=E\psi (q).}$$

を「生成演算子」または「上昇演算子」 として定義し 、を 「消滅演算子」または「下降演算子」 として定義すると、振動子のシュレーディンガー方程式は次のように簡略化されます 。これは元の形式よりも大幅に単純化されています。この方程式をさらに簡略化すると、これまでに挙げたすべての特性を導き出すことができます。 $${\displaystyle a^{\dagger }\ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-{\frac {d}{dq}}+q\right)}$$$${\displaystyle a\ \ =\ {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {d}{dq}}+q\right)}$$$${\displaystyle \hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi (q)=E\psi (q).}$$

とすると、ここでの無次元運動量演算子 は ${\displaystyle p=-i{\frac {d}{dq}}}$${\displaystyle p}$

$${\displaystyle [q,p]=i\,}$$ そして $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q+ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q+{\frac {d}{dq}}\right)\\[1ex]a^{\dagger }&={\frac {1}{\sqrt {2}}}(q-ip)={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(q-{\frac {d}{dq}}\right).\end{aligned}}}$$

これらは、 $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]={\frac {1}{2}}[q+ip,q-ip]={\frac {1}{2}}([q,-ip]+[ip,q])=-{\frac {i}{2}}([q,p]+[q,p])=1.}$$

演算子および は、その随伴演算子と可換な通常の演算子と対照的である。 ^{[nb 1]}${\displaystyle a\,}$${\displaystyle a^{\dagger }\,}$

上で与えられた交換関係を用いると、ハミルトニアン演算子は次のように表される。 $${\displaystyle {\hat {H}}=\hbar \omega \left(a\,a^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left(a^{\dagger }\,a+{\frac {1}{2}}\right).\qquad \qquad (*)}$$

および演算子とハミルトニアンの間の交換関係を計算することができる： ^[6]${\displaystyle a\,}$${\displaystyle a^{\dagger }\,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[{\hat {H}},a\right]&=\left[\hbar \omega \left(aa^{\dagger }-{\tfrac {1}{2}}\right),a\right]=\hbar \omega \left[aa^{\dagger },a\right]=\hbar \omega \left(a[a^{\dagger },a]+[a,a]a^{\dagger }\right)=-\hbar \omega a.\\[1ex]\left[{\hat {H}},a^{\dagger }\right]&=\hbar \omega \,a^{\dagger }.\end{aligned}}}$$

これらの関係を使用すると、次のように量子調和振動子のすべてのエネルギー固有状態を簡単に見つけることができます。

がハミルトニアン の固有状態であると仮定する。これらの交換関係を用いると、^[6]${\displaystyle \psi _{n}}$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{n}=E_{n}\,\psi _{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}\,a\psi _{n}&=(E_{n}-\hbar \omega )\,a\psi _{n}.\\[1ex]{\hat {H}}\,a^{\dagger }\psi _{n}&=(E_{n}+\hbar \omega )\,a^{\dagger }\psi _{n}.\end{aligned}}}$$

これは、 ともハミルトニアンの固有状態であり、それぞれ固有値がと であることを示しています。これにより、演算子と が、隣接する固有状態間の「下げる」演算子と「上げる」演算子であることが識別されます。隣接する固有状態間のエネルギー差は です。 ${\displaystyle a\psi _{n}}$${\displaystyle a^{\dagger }\psi _{n}}$${\displaystyle E_{n}-\hbar \omega }$${\displaystyle E_{n}+\hbar \omega }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle \Delta E=\hbar \omega }$

基底状態は、下降演算子が非自明な核を持つと仮定することで見つけることができる。ハミルトニアンを基底状態に適用すると、 ${\displaystyle a\,\psi _{0}=0}$${\displaystyle \psi _{0}\neq 0}$

$${\displaystyle {\hat {H}}\psi _{0}=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\frac {1}{2}}\right)\psi _{0}=\hbar \omega a^{\dagger }a\psi _{0}+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=0+{\frac {\hbar \omega }{2}}\psi _{0}=E_{0}\psi _{0}.}$$ハミルトニアンの固有関数 も同様です。${\displaystyle \psi _{0}}$

これにより基底状態エネルギーが得られ、任意の固有状態のエネルギー固有値を^[6]として識別することができる。${\displaystyle E_{0}=\hbar \omega /2}$${\displaystyle \psi _{n}}$ $${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega .}$$

さらに、(*) で最初に述べた演算子、つまり数値演算子 がアプリケーションで最も重要な役割を果たしますが、2 番目の演算子は単に に置き換えることができることがわかります。 ${\displaystyle N=a^{\dagger }a\,,}$${\displaystyle aa^{\dagger }\,}$${\displaystyle N+1}$

その結果、 $${\displaystyle \hbar \omega \,\left(N+{\tfrac {1}{2}}\right)\,\psi (q)=E\,\psi (q)~.}$$

時間発展演算子は $${\displaystyle {\begin{aligned}U(t)&=\exp(-it{\hat {H}}/\hbar )=\exp(-it\omega (a^{\dagger }a+1/2))~,\\[1ex]&=e^{-it\omega /2}~\sum _{k=0}^{\infty }{(e^{-i\omega t}-1)^{k} \over k!}a^{{\dagger }{k}}a^{k}~.\end{aligned}}}$$

量子調和振動子の基底状態は、次の条件を課すことで見つけることができる。 ${\displaystyle \ \psi _{0}(q)}$$${\displaystyle a\ \psi _{0}(q)=0.}$$

微分方程式として書き表すと、波動関数は 次の解を 満たす。$${\displaystyle q\psi _{0}+{\frac {d\psi _{0}}{dq}}=0}$$$${\displaystyle \psi _{0}(q)=C\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}q^{2}\right).}$$

正規化定数Cは、ガウス積分を用いて、から求められる。をに繰り返し適用することで、すべての固有関数の明示的な公式が得られる。^[7]${\displaystyle 1/{\sqrt[{4}]{\pi }}}$${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi _{0}^{*}\psi _{0}\,dq=1}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle \psi _{0}}$

上記の正規直交基底に関する量子調和振動子の生成消滅演算子の行列表現は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }&={\begin{pmatrix}0&0&0&0&\dots &0&\dots \\{\sqrt {1}}&0&0&0&\dots &0&\dots \\0&{\sqrt {2}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {3}}&0&\dots &0&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\dots &\dots \\0&0&0&\dots &{\sqrt {n}}&0&\dots &\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\ddots \end{pmatrix}}\\[1ex]a&={\begin{pmatrix}0&{\sqrt {1}}&0&0&\dots &0&\dots \\0&0&{\sqrt {2}}&0&\dots &0&\dots \\0&0&0&{\sqrt {3}}&\dots &0&\dots \\0&0&0&0&\ddots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &{\sqrt {n}}&\dots \\0&0&0&0&\dots &0&\ddots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

これらは、と の関係を介して取得できます。固有ベクトルは量子調和振動子の固有ベクトルであり、「数基底」と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle a_{ij}^{\dagger }=\left\langle \psi _{i}\right|a^{\dagger }\left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle a_{ij}=\left\langle \psi _{i}\right|a\left|\psi _{j}\right\rangle }$${\displaystyle \psi _{i}}$

表現論とC*-代数のおかげで、上で導出された演算子は、実際にはCCR代数とCAR代数の文脈における生成演算子と消滅演算子のより一般化された概念の特定の例です。数学的に、さらに一般的には、ラダー演算子は、関数ヒルベルト空間上の演算子として表現を実現する必要なく、半単純リー群のルートシステムと関連する半単純リー代数の文脈で理解できます。^[8]

ヒルベルト空間表現の場合、演算子は次のように構築されます。を1粒子ヒルベルト空間（つまり、単一粒子の状態を表すとみなされる任意のヒルベルト空間）とします。上の（ボゾン）CCR代数は、 の要素によって抽象的に生成された共役演算子（*と呼ばれる）を持つ代数であり、 は上で自由に変動し、次の関係に従います。 ${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle f\,}$${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a(f),a(g)\right]&=\left[a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\right]=0\\[1ex]\left[a(f),a^{\dagger }(g)\right]&=\langle f\mid g\rangle ,\end{aligned}}}$$ブラケット表記法 で。

からボゾン CCR 代数への写像は、複素反線型である必要があります(これにより、関係がさらに追加されます)。その随伴は であり、写像はHにおいて複素線型です。したがって、は自身の CCR 代数の複素ベクトル部分空間として埋め込まれます。この代数の表現では、要素は消滅演算子として、また生成演算子として 実現されます。${\displaystyle a:f\to a(f)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle f\to a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$

一般に、CCR 代数は無限次元です。バナッハ空間完備化を取ると、C* 代数になります。上の CCR 代数はワイル代数と密接に関連していますが、同一ではありません。^{[説明が必要]}${\displaystyle H}$

フェルミオンの場合、（フェルミオン的）CAR代数は同様に構築されるが、代わりに反交換子関係を用いる。すなわち、 ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\{a(f),a(g)\}&=\{a^{\dagger }(f),a^{\dagger }(g)\}=0\\[1ex]\{a(f),a^{\dagger }(g)\}&=\langle f\mid g\rangle .\end{aligned}}}$$

CAR 代数は、 が有限次元の場合にのみ有限次元です。バナッハ空間完備化 (無限次元の場合にのみ必要) を取ると、代数になります。CAR 代数はクリフォード代数と密接に関連していますが、同一ではありません。^{[説明が必要]}${\displaystyle H}$${\displaystyle C^{*}}$

物理的に言えば、 は状態の粒子を除去（つまり消滅）しますが、 は状態の粒子を生成します。 ${\displaystyle a(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle a^{\dagger }(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$

自由場 真空状態は粒子が存在しない状態であり、次のような特徴がある。 ${\textstyle \left\vert 0\right\rangle }$$${\displaystyle a(f)\left|0\right\rangle =0.}$$

が となるように正規化されている場合、 は状態 にある粒子の数を与えます。 ${\displaystyle |f\rangle }$${\displaystyle \langle f|f\rangle =1}$${\displaystyle N=a^{\dagger }(f)a(f)}$${\displaystyle |f\rangle }$

消滅および生成演算子の記述は、分子のガスが拡散し、接触すると相互作用して不活性生成物を形成する状況など、古典的な反応拡散方程式を解析するのにも役立っています。この種の反応が消滅および生成演算子の形式でどのように記述されるかを確認するには、 1 次元格子上のサイトiにある粒子を考えます。各粒子は一定の確率で右または左に移動し、同じサイトにある各粒子のペアは、一定の確率で互いに消滅します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle A+A\to \emptyset }$${\displaystyle n_{i}}$

短い時間dtの間に 1 つの粒子がその場所を離れる確率は に比例します。つまり、左に飛び移る確率と右に飛び移る確率です。すべての粒子は確率 でその場に留まります。( dtは非常に短いため、 dtの間に 2 つ以上の粒子が離れる確率は非常に小さく、無視されます。) ${\displaystyle n_{i}\,dt}$${\displaystyle \alpha n_{i}dt}$${\displaystyle \alpha n_{i}\,dt}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle 1-2\alpha n_{i}\,dt}$

格子上の粒子の占有を、形式の「ケット」として記述できるようになりました。これは、格子の個々の場所にある 状態数の並置（または結合、またはテンソル積）を表します。${\displaystyle |\dots ,n_{-1},n_{0},n_{1},\dots \rangle }$${\displaystyle \dots ,|n_{-1}\rangle }$ ${\displaystyle |n_{0}\rangle }$${\displaystyle |n_{1}\rangle ,\dots }$

$${\displaystyle a\left|n\right\rangle ={\sqrt {n}}\left|n-1\right\rangle }$$ そして すべてのn ≥ 0 に対して、 $${\displaystyle a^{\dagger }\left|n\right\rangle ={\sqrt {n+1}}\left|n+1\right\rangle ,}$$$${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

この演算子の定義は、この問題の「非量子」性質に対応するために変更され、次の定義が使用されます。^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\left|n\right\rangle &=(n)\left|n{-}1\right\rangle \\[1ex]a^{\dagger }\left|n\right\rangle &=\left|n{+}1\right\rangle \end{aligned}}}$$

ケット上の演算子の挙動は変更されているが、これらの演算子は依然として交換関係に従うことに注意する。 $${\displaystyle [a,a^{\dagger }]=\mathbf {1} }$$

ここで、を に適用するように定義します。同様に、を に適用するように定義します。したがって、たとえば、 の正味の効果は、適切な係数を乗じながら、粒子を- 番目のサイトからi - 番目のサイトに移動することです。 ${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |n_{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a^{\dagger }}$${\displaystyle |n_{i}\rangle }$${\displaystyle a_{i-1}a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle (i-1)}$

これにより、粒子の純粋な拡散挙動を次のように記述することができる。 $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(2a_{i}^{\dagger }a_{i}-a_{i-1}^{\dagger }a_{i}-a_{i+1}^{\dagger }a_{i}\right)\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)(a_{i}-a_{i-1})\left|\psi \right\rangle .}$$

反応項は、粒子がさまざまな方法で相互作用することに注目することで推測でき、ペアが消滅する確率は となり、項 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n(n-1)}$${\displaystyle \lambda n(n-1)dt}$$${\displaystyle \lambda \sum _{i}(a_{i}a_{i}-a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\dagger }a_{i}a_{i})}$$

ここで、 n番目の状態は、特定の速度で n番目の状態− 2に置き換えられます。${\displaystyle i}$

このように国家は進化する $${\displaystyle \partial _{t}\left|\psi \right\rangle =-\alpha \sum _{i}\left(a_{i}^{\dagger }-a_{i-1}^{\dagger }\right)\left(a_{i}-a_{i-1}\right)\left|\psi \right\rangle +\lambda \sum _{i}\left(a_{i}^{2}-a_{i}^{\dagger 2}a_{i}^{2}\right)\left|\psi \right\rangle }$$

他の種類のインタラクションも同様の方法で含めることができます。

この種の表記法は、反応拡散系の解析に量子場理論の手法を用いることを可能にする。^[10]

量子場の理論と多体問題では、量子状態の生成消滅演算子および を扱います。これらの演算子は、調和振動子と同様に、 数演算子の固有値を 1 だけ変更します。インデックス ( など)は、システムの単一粒子状態を表す量子数を表します。したがって、必ずしも単一の数である必要はありません。たとえば、量子数の組は、水素原子の状態を表すために使用されます。 ${\displaystyle a_{i}^{\dagger }}$${\displaystyle a_{i}^{\,}}$$${\displaystyle N=\sum _{i}n_{i}=\sum _{i}a_{i}^{\dagger }a_{i}^{\,},}$$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n,\ell ,m,s)}$

多重ボソン系における生成演算子と消滅演算子の交換関係は、 は交換子、はクロネッカーのデルタです。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\right]&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }-a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\left[a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\right]&=[a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}]=0,\end{aligned}}}$$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

フェルミオンの場合、交換子は反交換子に置き換えられます 。 したがって、生成演算子または消滅演算子の積で互いに素な (つまり ) 演算子を交換すると、フェルミオン システムでは符号が反転しますが、ボソン システムでは反転しません。 ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\dagger }\}&\equiv a_{i}^{\,}a_{j}^{\dagger }+a_{j}^{\dagger }a_{i}^{\,}=\delta _{ij},\\[1ex]\{a_{i}^{\dagger },a_{j}^{\dagger }\}&=\{a_{i}^{\,},a_{j}^{\,}\}=0.\end{aligned}}}$$${\displaystyle i\neq j}$

iでラベル付けされた状態がヒルベルト空間Hの正規直交基底である場合、この構成の結果は、前のセクションの CCR 代数と CAR 代数の構成と 1 つを除いて一致します。それらが、QFT の非束縛粒子のように、何らかの演算子の連続スペクトルに対応する「固有ベクトル」を表す場合、解釈はより微妙になります。

Zee ^{[11]はフーリエ変換の}対称規則を介して運動量空間の正規化を得ているが、Tong ^[12]とPeskin & Schroeder ^[13]は共通の非対称規則を使用してを得ている。それぞれはを導出している。 ${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} )}$${\displaystyle [{\hat {\phi }}(\mathbf {x} ),{\hat {\pi }}(\mathbf {x} ')]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}$

スレドニツキはさらにローレンツ不変測度を非対称フーリエ測度に統合し、を得た。^[14]${\displaystyle {\tilde {dk}}={\frac {d^{3}k}{(2\pi )^{3}2\omega }}}$${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {k} },{\hat {a}}_{\mathbf {k} '}^{\dagger }]=(2\pi )^{3}2\omega \,\delta (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')}$