運動方程式

瞬間位置r = r ( t )から、瞬間とは時刻tの瞬間値におけることを意味するが、瞬間速度v = v ( t )および加速度a = a ( t )は、座標に依存しない一般的な定義を持つ。^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

速度は常に運動の方向を指していることに注意してください。つまり、曲線経路の場合、速度は接線ベクトルになります。大まかに言うと、1階微分は曲線の接線に関係しています。一定速度での運動の場合、加速度は経路の曲率中心に向かいます。これも大まかに言うと、2階微分は曲率に関係しています。

回転に関する類似のものは、「角ベクトル」（粒子が何らかの軸を中心に回転する角度）θ = θ ( t )、角速度ω = ω ( t )、および角加速度α = α ( t )です。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}$$

ここで、n̂は回転軸の方向の単位ベクトルであり、 θは物体が軸を中心に回転する角度である。

角速度ωで何らかの軸の周りを公転する点状粒子については、次の関係が成り立つ^。 [ ^{8 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$$

ここで、rは粒子の位置ベクトル（回転軸からの半径方向）、v は粒子の接線速度です。回転する連続体剛体の場合、これらの関係は剛体内の各点で成り立ちます。

直線上を一定または等加速度で運動する粒子の運動方程式は単純です。加速度が一定であるため、物体の位置の2階微分も一定になります。この場合の結果を以下にまとめます。

あらゆる方向への一定の直線加速度

初期位置、初期速度、および加速度ベクトルは共線である必要はなく、運動方程式はほぼ同じ形式になります。唯一の違いは、速度の二乗の大きさには内積が必要であることです。導出は基本的に共線の場合と同じです。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}}$$ ただし、トリチェリ方程式[4]は、内積の 分配法則を用いて次のように導出できます。$${\displaystyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}}$$$${\displaystyle (2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}}$$$${\displaystyle \therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))}$$

位置ベクトルrは、常に原点から放射状に伸びる方向を指す。

速度ベクトルvは、常に運動経路に接線方向である。

加速度ベクトルa は、半径方向の運動と平行ではなく、角加速度とコリオリ加速度によってオフセットされ、また経路に接線方向ではなく、向心加速度と半径方向の加速度によってオフセットされる。

平面極座標における運動学的ベクトル。この設定は2次元空間に限定されず、より高次元の平面にも適用できることに注意してください。

これらは、位置r = r ( t )で表される平面内の経路を移動する粒子の運動方程式です。^{[ 12 ]}これらは、角速度ωと角加速度αの上記の物理量の定義を使用して、平面極座標における位置ベクトルの時間微分です。これらは時間とともに変化する瞬間的な量です。

粒子の位置は

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$

ここで、ê _rとê _θは極座標単位ベクトルである。時間に関して微分すると速度が得られる。

$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

半径方向成分 dr / dt と、回転による追加成分 rω を持つ。時間に関して微分すると、加速度が得られる。

$${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

これは、半径方向の加速度 d 2 r / dt 2 、^向心加速度– ^rω 2、コリオリ加速度² ω dr / dt 、および角加速度rαに分解されます。

これらの式で記述される運動の特殊なケースを、以下の表に定性的にまとめました。そのうち2つは既に上で説明済みで、半径方向成分または角度方向成分のいずれかがゼロで、運動の非ゼロ成分が等加速度運動を表す場合です。

3D空間では、対応する単位ベクトルêr _、 êθ _、 êφを持つ球面座標( r、θ、φ )の式は、位置、速度、加速度をそれぞれ次のように一般化_する。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!}$$

φが定数の場合、これは上記の平面方程式に帰着する。

最初に開発された一般的な運動方程式は、ニュートンの運動第二法則である。最も一般的な形では、物体の運動量p = p ( t ) = m v ( t )の変化率は、物体に作用する力F = F ( x ( t ), v ( t ), t )に等しいと述べている。 ^{[ 13 ] : 1112}

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$$

方程式中の力は、物体が及ぼす力ではありません。運動量を質量と速度の積に置き換えると、この法則はより有名な形で次のように表されます。

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$

mはニュートン力学における定数であるため。

ニュートンの第二法則は、点状粒子および剛体内のすべての点に適用されます。また、変形可能な固体や流体などの質量連続体内の各点にも適用されますが、システムの運動を考慮する必要があります（物質微分を参照）。質量が一定でない場合、質量と速度の時間微分に積の法則を使用するだけでは不十分であり、ニュートンの第二法則は運動量保存則と整合するように何らかの修正が必要となります（可変質量システムを参照）。

ニュートンの運動法則を用いて運動方程式をベクトル形式で記述するのは簡単かもしれませんが、その成分は空間座標や時間によって複雑に変化する可能性があり、解くのは容易ではありません。多くの場合、問題を完全に解くには変数が多すぎるため、ニュートンの法則は必ずしもシステムの運動を決定する最も効率的な方法ではありません。単純な直交座標系ではニュートンの法則はうまく機能しますが、他の座標系では劇的に複雑になる可能性があります。

運動量形式の方が好ましいのは、特殊相対性理論や一般相対性理論などのより複雑なシステムに容易に一般化できるためである（4つの運動量を参照）。^{[ 13 ]： 112}また、運動量保存則と併用することもできる。しかし、ニュートンの法則は運動量保存則よりも基本的ではない。なぜなら、ニュートンの法則は、物体に作用する合力がゼロであれば運動量が一定であるのに対し、合力があれば運動量が一定ではないという事実と整合しているにすぎないからである。運動量保存則は、合力の影響を受けない孤立系では常に成り立つ。

多数の粒子（多体問題を参照）の場合、他の粒子の影響を受ける1つの粒子iの運動方程式は^{[ 7 ] [ 1 ]である。}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}$$

ここで、 p _iは粒子iの運動量、F _ijは粒子jが粒子iに及ぼす力、F _{E は}システムの一部ではない任意の作用因子による合力外力である。粒子iは自身に力を及ぼさない。

オイラーの運動法則はニュートンの法則と似ていますが、特に剛体の運動に適用されます。ニュートン・オイラー方程式は、剛体に作用する力とトルクを一つの方程式にまとめたものです。

回転に関するニュートンの第2法則は、並進運動の場合と同様の形式をとる。^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,}$$

物体に作用するトルクをその角運動量Lの変化率に等しくすることによって、慣性モーメントテンソルI は、質量と加速度の積に類似しており、回転軸周りの質量の分布に依存し、角加速度は角速度の変化率です。

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.}$$

繰り返しますが、これらの式は点状の粒子、または剛体の各点に適用されます。

同様に、多数の粒子の場合、1 つの粒子iの運動方程式は^{[ 7 ]}です。

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,}$$

ここで、L _iは粒子iの角運動量、τ _{ij は}粒子jによる粒子iへのトルク、τ _Eは（システムの一部ではない任意の作用因子による）外部トルクの合成値である。粒子i は自身にトルクを及ぼさない。

ニュートンの法則の例^{[ 14 ]}には、単純振り子の運動の説明などがある。

$${\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,}$$

そして減衰する正弦波駆動の調和振動子、

$${\displaystyle F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.}$$

重力による質量の運動を記述するために、ニュートンの万有引力の法則はニュートンの第二法則と組み合わせることができます。2 つの例を挙げると、質量mのボールが空気の流れ (風など) の中で投げられた場合、抵抗力のベクトル場R = R ( r , t )で記述されます。

$${\displaystyle -{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} }$$

ここで、Gは重力定数、Mは地球の質量、A = ⁠ R / m ⁠ は位置rと時刻tにおける気流による発射体の加速度である。

重力によって互いに相互作用するN個の粒子に関する古典的なN体問題は、 N個の非線形結合2階常微分方程式のセットである。

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})}$$

ここで、i = 1, 2, ..., N は、各粒子に関連付けられた量（質量、位置など）を表す。

上記の式は平坦な時空において有効です。曲がった時空では直線が存在しないため、数学的に複雑になります。これは一般化され、曲がった時空の測地線（2点間の最短曲線長）に置き換えられます。計量テンソルgを持つ曲がった多様体の場合、計量は弧長の概念を提供します（詳細は線要素を参照）。微分弧長は次のように与えられます。^{[ 19 ] : 1199}

$${\displaystyle ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}$$

そして測地線方程式は座標に関する2階微分方程式である。一般解は測地線の族である：^{[ 19 ]：1200}

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}}$$

ここで、Γ ^μ _αβは第 2 種のクリストッフェル記号であり、(座標系に関して) 計量を含んでいます。

応力エネルギーテンソルT ^αβによって与えられる質量エネルギー分布を考慮すると、アインシュタイン場の方程式は計量に関する非線形2階偏微分方程式のセットであり、時空の曲率が重力場と等価であることを意味します（等価原理を参照）。曲がった時空に落下する質量は、重力場に落下する質量と等価です。なぜなら、重力は仮想的な力だからです。曲がった時空におけるある測地線と別の測地線の相対加速度は、測地線偏差方程式によって与えられます。

$${\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}}$$

ここで、ξ ^α = x ₂ ^α − x ₁ ^αは 2 つの測地線間の分離ベクトル、⁠ D / ds ⁠ (単に⁠ d / ds ⁠ではない) は共変微分、R ^α _βγδはクリストッフェル記号を含むリーマン曲率テンソルである。言い換えれば、測地線偏差方程式は、曲がった時空における質量の運動方程式であり、電磁場における電荷のローレンツ力方程式に類似している。^{[ 18 ] : 34–35}

平坦な時空では、計量は定数テンソルとなるため、クリストッフェル記号は消滅し、測地線方程式の解は直線となる。これはまた、質量がニュートンの万有引力の法則に従って運動する場合の極限ケースでもある。

一般相対性理論では、回転運動は相対論的角運動量テンソル（スピンテンソルを含む）によって記述され、これは固有時間に関する共変微分のもとで運動方程式に現れる。マティソン・パパペトルー・ディクソン方程式は、重力場を運動する回転物体の運動を記述する。

場の空間依存性と時間発展を記述する方程式は場方程式と呼ばれます。これには以下が含まれます。

• 電磁場に関するマクスウェル方程式、
• ニュートン重力または静電場ポテンシャルのポアソン方程式、
• 重力に関するアインシュタインの場の方程式（ニュートンの万有引力の法則は、弱い重力場と粒子の低速の場合の特殊なケースである）。

この用語は普遍的なものではありません。例えば、ナビエ・ストークス方程式は流体の速度場を記述するものですが、この文脈では流体の運動量を表すため、通常は「場の方程式」とは呼ばれず、「運動量方程式」と呼ばれます。

波動運動の方程式は波動方程式と呼ばれます。波動方程式の解は、振幅の時間発展と空間依存性を示します。境界条件によって、解が進行波を表すか定常波を表すかが決まります。

古典的な運動方程式と場の方程式から、力学的方程式、重力波方程式、電磁波方程式を導出できる。3次元における一般的な線形波動方程式は次のとおりである。

$${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X}$$

ここで、X = X ( r , t )は任意の機械的または電磁場振幅であり、例えば次のようになります。^{[ 20 ]}

• 振動する棒、ワイヤー、ケーブル、膜などの横方向または縦方向の変位。
• 媒体の変動する圧力、音圧、
• 電場E またはD、または磁場BまたはH、
• 交流回路における電圧Vまたは電流Iは 、

ここで、vは位相速度です。非線形方程式は、 vをv ( X )に置き換えることで、位相速度の振幅依存性をモデル化します。非常に特殊な用途向けの他の線形および非線形波動方程式もあります。たとえば、Korteweg–de Vries 方程式を参照してください。

量子論では、波動と場という概念の両方が登場する。

量子力学において、古典的な運動方程式（ニュートンの法則、オイラー・ラグランジュ方程式、ハミルトン・ヤコビ方程式など）に相当するものは、最も一般的な形のシュレーディンガー方程式である。

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$$

ここで、Ψは系の波動関数、 Ĥは古典力学における関数ではなく量子ハミルトニアン演算子、ħはプランク定数を2πで割った値です。ハミルトニアンを設定して方程式に代入すると波動方程式が得られ、その解は空間と時間の関数としての波動関数です。対応原理を考慮すると、 ħがゼロになる極限でシュレーディンガー方程式自体はハミルトン・ヤコビ方程式に帰着します。測定と比較するには、観測量の演算子に実験に応じて量子波動関数を適用し、波動的または粒子的な結果を得る必要があります。

量子論のあらゆる側面において、相対論的であろうと非相対論的であろうと、量子系の時間発展と挙動を記述するシュレーディンガー方程式に代わる様々な定式化が存在する。例えば、以下のようなものがある。

• ハイゼンベルクの運動方程式は、動的観測量を量子演算子に置き換え、古典的なポアソン括弧を交換子に置き換えると、位置、運動量、時間の関数としての古典的な観測量の時間発展に似ている。
• 位相空間の定式化は古典的なハミルトン力学に非常に近いものであり、位置と運動量を同等に扱います。
• ファインマン経路積分定式化は、最小作用の原理を量子力学と場の理論に拡張し、ハミルトニアンではなくラグランジアンの使用を重視している。