散乱振幅

量子物理学では、散乱振幅は、定常状態の散乱過程において入射平面波に対する出射球面波の確率振幅である。^{[1]中心対称散乱中心から離れた距離では、平面波は}波動関数によって記述される^[2]

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=e^{ikz}+f(\theta ){\frac {e^{ikr}}{r}}\;,}$

ここで、は位置ベクトル、はz軸 に沿った波数k の入射平面波、は出射球面波、θは散乱角 (入射方向と散乱方向の間の角度)、 は散乱振幅です。散乱振幅の次元は長さです。散乱振幅は確率振幅です。散乱角の関数としての微分断面積は、その係数の二乗として与えられます。 ${\displaystyle \mathbf {r} \equiv (x,y,z)}$${\displaystyle r\equiv |\mathbf {r} |}$${\displaystyle e^{ikz}}$ ${\displaystyle e^{ikr}/r}$${\displaystyle f(\theta )}$

${\displaystyle d\sigma =|f(\theta )|^{2}\;d\Omega .}$

任意の外部場における波動関数の漸近形は^{[2]の形をとる。}

${\displaystyle \psi =e^{ikr\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} '}+f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '){\frac {e^{ikr}} {r}}}$

ここで、は入射粒子の方向であり、は散乱粒子の方向です。 ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} '}$

散乱中に粒子数保存則が成り立つ場合、散乱振幅のユニタリー条件が成立する。一般的な場合、^[2]

${\displaystyle f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} ')-f^{*}(\mathbf {n} ',\mathbf {n} )={\frac {ik}{2\pi } }\int f(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')f^{*}(\mathbf {n} ,\mathbf {n} '')\,d\オメガ ''}$

光学定理は、次の式から導かれる。${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {n} '.}$

中心対称場においては、ユニタリー条件は

${\displaystyle \mathrm {Im} f(\theta )={\frac {k}{4\pi }}\int f(\gamma )f(\gamma ')\,d\Omega ''}$

ここで、およびは、およびとある方向 との間の角度です。この条件は の許容される形式に制約を課します。つまり、散乱振幅の実部と虚部は、この場合独立ではありません。たとえば、における が既知である場合 (たとえば、断面積の測定から)、が代替 の範囲内で一意に決定されるように決定できます。^[2]${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma '}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} '}$${\displaystyle \mathbf {n} ''}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle |f(\theta )|}$${\displaystyle f=|f|e^{2i\alpha}}$${\displaystyle \alpha (\theta )}$${\displaystyle f(\theta )}$${\displaystyle f(\theta )\rightarrow -f^{*}(\theta )}$

部分波展開では、散乱振幅は部分波の合計として表される。^[3]

${\displaystyle f=\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)f_{\ell }P_{\ell }(\cos \theta )}$、

ここで、f _ℓは部分散乱振幅、P _{ℓ は}ルジャンドル多項式である。部分振幅は部分波S行列要素S _ℓ ( )と散乱位相シフトδ _ℓを介して次のように 表される。${\displaystyle =e^{2i\delta _{\ell }}}$

${\displaystyle f_{\ell }={\frac {S_{\ell }-1}{2ik}}={\frac {e^{2i\delta _{\ell }}-1}{2ik}}= {\frac {e^{i\delta _{\ell }}\sin \delta _{\ell }}{k}}={\frac {1}{k\cot \delta _{\ell }-ik}}\;.}$

すると総断面積^[4]

${\displaystyle \sigma =\int |f(\theta )|^{2}d\Omega }$、

は次のように展開できる^[2]

${\displaystyle \sigma =\sum _{l=0}^{\infty }\sigma _{l},\quad {\text{where}}\quad \sigma _{l}=4\pi (2l+1)|f_{l}|^{2}={\frac {4\pi }{k^{2}}}(2l+1)\sin ^{2}\delta _{l}}$

は部分断面積です。光学定理により、全断面積も に等しくなります。 ${\displaystyle \sigma =(4\pi /k)\,\mathrm {Im} f(0)}$

については、 ^[2]と書くことができる。${\displaystyle \theta \neq 0}$

${\displaystyle f={\frac {1}{2ik}}\sum _{\ell =0}^{\infty }(2\ell +1)e^{2i\delta _{l}}P_{\エル }(\cos \theta ).}$

X 線の散乱長はトムソン散乱長または古典的な電子半径r ₀です 。

原子核中性子散乱プロセスには、しばしばbで記述されるコヒーレント中性子散乱長が含まれます。

量子力学的アプローチはS 行列形式によって与えられます。

散乱振幅は、低エネルギー領域での 散乱長によって決定できます。

• ヴェネツィアーノ振幅
• 平面波展開