ヒッグス機構

標準模型では、ヒッグス場はSU(2)二重項（すなわち、アイソスピンと呼ばれる2つの複素成分を持つ標準表現）であり、ローレンツ変換の下ではスカラーです。その電荷はゼロです。弱いアイソスピンは1/2であり、弱いアイソスピンの第3成分は −1/2 です。また、弱いハイパーチャージ（任意の乗法定数を除いて定義されるU ( 1)ゲージ群の電荷）は1です。U (1)回転の下では、位相が乗算され、複素スピノルの実部と虚部が互いに混ざり合い、U(2)群の標準的な2成分複素表現と結合します。

ヒッグス場は、そのポテンシャルによって指定（要約、表現、あるいはシミュレート）される相互作用を通して、ゲージ群 U(2) の 4 つの生成子（「方向」）のうち 3 つの自発的破れを引き起こします。これは、対角位相因子が他の場、特にクォークにも作用するため、 SU(2) _L × U(1) _Yと表記されることがよくあります（厳密には、無限小対称性のレベルにおいてのみ同じです） 。ゲージ場と結合していなければ、その 4 つの成分のうち 3 つは通常、ゴールドストーン ボソンとして解像されます。

しかし、対称性の破れの後、ヒッグス場の 4 つの自由度のうちの 3 つが、3 つのW ボソンと Z ボソン( W ⁺、W ⁻そしてZ ⁰）であり、これらの弱いボソンの構成要素としてのみ観測可能であり、これらのボソンは、それらを含めることで質量を持つようになる。残りの自由度はただ一つだけとなり、それが新しいスカラー粒子、すなわちヒッグス粒子となる。ゴールドストーンボソンと混ざらない構成要素は、質量のない光子を形成する。

標準模型の電弱部分のゲージ群は SU(2) L × U(1) Y です。群SU ₍ 2 ₎は、行列式が単位であるすべての 2 × 2 ユニタリ行列の群であり、複素 2 次元ベクトル空間におけるすべての正規直交座標変換の群です。

座標を回転させて、2番目の基底ベクトルがヒッグス粒子の方向を指すようにすると、Hの真空期待値はスピノル(0, v )になります。x軸、y軸、z軸周りの回転の生成子はパウリ行列σ _x、σ _y、σ _zの半分なので、z軸周りの角度θの回転で真空は 

${\displaystyle \ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.}$

T _x および T _{yジェネレーターは}スピノル の上側と下側の成分を混ぜ合わせるが 、T _z回転はそれぞれ逆位相で乗算するだけである。この位相は、角度⁠ 1 / 2 ⁠ θの U(1) 回転によって元に戻すことができる。したがって、SU(2) T _z回転と⁠ 1 / 2 ⁠ θの量による U(1) 回転の両方において、真空は不変である。

この発電機の組み合わせ

${\displaystyle \ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\ }$

これはゲージ群の破れていない部分を定義する。ここで、Qは電荷、T ₃はSU(2)の随伴表現 における3軸周りの回転の生成子、 Y _WはU(1)の弱いハイパーチャージ生成子である。この生成子の組み合わせ（SU(2)における3軸回転と、その半角だけ同時に行われるU(1)回転）は真空を保存し、標準模型における破れていないゲージ群、すなわち電荷群を定義する。この方向のゲージ場の部分は質量を持たず、物理的な光子に相当する。対照的に、破れたトレース直交電荷は${\displaystyle \ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\ }$巨大なZ ^{0にカップル} ボソン。

自発的対称性の破れが導入されたにもかかわらず、質量項はカイラルゲージ不変性を排除する。これらの場については、質量項は常にゲージ不変な「ヒッグス」機構に置き換えられるべきである。一つの可能​​性として、フェルミオン場ψとヒッグス場の間の何らかの湯川結合（後述）が挙げられる。${\displaystyle \phi }$未知の結合定数G _ψを持つこの相互作用は、対称性の破れ（より正確には、適切な基底状態の周りのラグランジュ密度の展開後）によって再び元の質量項に戻りますが、今度は（すなわち、ヒッグス場の導入によって）ゲージ不変な形で記述されます。フェルミオン場ψとヒッグス場の湯川相互作用のラグランジュ密度${\displaystyle \phi }$は

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {フェルミオン} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,}$

ここでもゲージ場A はゲージ共変微分演算子D _μを介してのみ入ります(つまり、間接的にしか見えません)。量γ _μはディラック行列であり、G _ψは既に述べたψの湯川結合パラメータです。質量生成は上記と同じ原理、すなわち有限の期待値 ⁠ の存在から導かれます。${\displaystyle \vert \langle \phi \rangle \vert }$⁠ 。繰り返しますが、これは質量という性質の存在にとって非常に重要です。

自発的対称性の破れは、相対論的量子場理論にボソンを導入するための枠組みを提供した。しかし、ゴールドストーンの定理によれば、これらのボソンは質量を持たないはずである。^{[ 16 ]}ゴールドストーンボソンとして近似的に解釈できる唯一の観測された粒子はパイ中間子であり、南部陽一郎はこれをカイラル対称性の破れと関連付けた。

同様の問題は、質量ゼロのスピン-1ゲージボソンを予測するヤン・ミルズ理論（非可換ゲージ理論とも呼ばれる）でも生じる。質量ゼロの弱く相互作用するゲージボソンは長距離力をもたらすが、これは電磁気力とそれに対応する質量ゼロの光子でのみ観測されている。弱い力のゲージ理論は、整合性を保つために質量を持つゲージボソンを記述する方法を必要としていた。

ゲージ対称性の破れが質量のない粒子を生み出さないことは、1961年にジュリアン・シュウィンガーによって観測された^{[ 17 ]}が、彼は質量のある粒子が最終的に生じることを証明しなかった。これはフィリップ・ウォーレン・アンダーソンの1962年の論文^{[ 3 ]}で行われたが、非相対論的場の理論に限られていた。また、素粒子物理学への影響についても議論したが、明示的な相対論的モデルは構築しなかった。相対論的モデルは1964年に3つの独立したグループによって開発された。

• ロベール・ブラウトとフランソワ・アングラート^{[ 4 ]}
• ピーター・ヒッグス^{[ 5 ]}
• ジェラルド・グラルニック、カール・リチャード・ハーゲン、トム・キブル。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

少し後の1965年、他の出版物^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}とは独立して、当時ソ連の学部生であったアレクサンダー・ミグダルとアレクサンダー・ポリャコフ[ ^{24 ]によって}もこのメカニズムが提案された。しかし、彼らの論文はJETPの編集部によって掲載が遅れ、1966年にようやく出版された。

このメカニズムは、南部陽一郎が以前に発見した超伝導における量子場の「真空構造」に関わる現象と非常に類似している。^{[ 25 ]}類似しているが、異なる効果（現在ヒッグス場として認識されているもののアフィン実現を含む）は、シュトゥッケルベルク機構として知られており、以前にエルンスト・シュトゥッケルベルクによって研究されていた。

これらの物理学者は、ゲージ理論が対称群を自発的に破る追加の場と組み合わされると、ゲージボソンが常にゼロでない質量を獲得できることを発見しました。関係する値が大きいにもかかわらず（下記参照）、これは弱い力のゲージ理論による記述を可能にし、これは1967年にスティーブン・ワインバーグとアブドゥス・サラムによって独立に開発されました。モデルを提示したヒッグスの元の論文は、Physics Lettersに拒否されました。Physical Review Lettersに再提出する前に論文を改訂したとき、彼は最後に一文を追加し、^{[ 26 ]}対称群の完全な表現を形成しない、1つ以上の新しい質量のあるスカラーボソンの存在を示唆していると述べました。これらがヒッグスボソンです。

ブロウトとエングラート、ヒッグス、そしてグラルニク、ハーゲン、キブルによる3つの論文は、2008年にPhysical Review Letters誌でそれぞれ「画期的な論文」として認められた。 ^{[ 27 ]}これらの先駆的な論文はそれぞれ似たようなアプローチをとったが、1964年のPRL対称性の破れに関する論文間の貢献と相違点は注目に値する。6人の物理学者全員が、この研究に対して2010年のJJ櫻井理論素粒子物理学賞を共同受賞した。^{[ 28 ]}

ベンジャミン・W・リーは「ヒッグス様」メカニズムに最初に名前を付けた人物としてよく知られているが、これがいつ最初に起こったかについては議論がある。^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]}ヒッグスという名前が印刷物に初めて登場したのは1972年で、ジェラルダス・ト・ホーフトとマルティヌス・J・G・フェルトマンがノーベル賞受賞論文の中で「ヒッグス・キブル機構」と呼んだ時である。^{[ 32 ] [ 33 ]}

提案されたヒッグス機構は、超伝導における観測結果を説明するために提案された理論の結果として生まれた。超伝導体は外部磁場の侵入を許さない（マイスナー効果）。この奇妙な観測結果は、この現象の間、電磁場が何らかの形で短距離になることを示唆している。1950年代には、まずフェルミオン（ギンツブルグ＝ランダウ理論、1950年）、次にボソン（BCS理論、1957年）について、この現象を説明する理論が成功した。

これらの理論では、超伝導は電荷を帯びた凝縮体から生じるものと解釈されます。初期状態では、凝縮体の値は特定の方向を持ちません。これは、それがスカラーであることを意味しますが、その位相はゲージに基づく場の理論においてゲージを定義することができます。そのためには、場は電荷を帯びていなければなりません。電荷を帯びたスカラー場は複素数でなければなりません（別の言い方をすれば、少なくとも2つの成分と、それらの成分を互いに回転させることができる対称性を持つ必要があります）。素朴なゲージ理論では、凝縮体のゲージ変換は通常、位相を回転させます。しかし、これらの状況では、代わりに好ましい位相の選択を固定します。しかし、凝縮体がどこでも同じ位相を持つようにゲージの選択を固定すると、電磁場に余分な項が生じることも判明します。この余分な項により、電磁場は短距離になります。

ゴールドストーンの定理も、こうした理論において重要な役割を果たしている。その関係は、厳密に言えば、凝縮体が対称性を破ると、その凝縮体に対称性生成器を作用させた後に到達する状態のエネルギーは、元の状態と同じになるというものである。これは、ある種の振動ではエネルギーの変化が伴わないことを意味する。エネルギーが変化しない振動は、その振動に伴う励起（粒子）が質量を持たないことを意味する。

素粒子物理学においてこの理論が注目されるようになると、類似点は明らかになった。ゲージ不変理論において、通常は長距離の電磁場が短距離に変化するという現象は、弱い相互作用を媒介するボソンにとってまさに必要な効果であった（長距離力は質量のないゲージボソンを持ち、短距離力は質量のあるゲージボソンを意味するため、この相互作用の結果として場のゲージボソンが質量を獲得した、あるいは同様の同等の効果が生じることを示唆している）。この効果を実現するために必要な場の特性も明確に定義されていた。それは、少なくとも2つの成分を持つ電荷を持つスカラー場であり、これらの成分を互いに回転させることができる対称性を支えるために複素数でなければならない。

ヒッグス機構は、真空中で発生する超伝導の一種です。これは、空間全体が電荷を帯びた粒子の海で満たされている場合、あるいは場の言語で言えば、電荷を帯びた場がゼロでない真空期待値を持つ場合に発生します。空間を満たす量子流体との相互作用により、特定の力が長距離にわたって伝播することが妨げられます（ギンツブルグ・ランダウ理論のように、超伝導体内部で起こる現象とは異なります）。

超伝導体は内部からすべての磁場を排除する現象で、これはマイスナー効果として知られています。この現象は、電磁力が超伝導体内部で何らかの形で短距離力となることを示唆するため、長い間謎とされていました。これを通常の金属の挙動と比較してみましょう。金属では、導電率によって表面の電荷が再配置され、内部の電場が相殺されるまで電場が遮蔽されます。

しかし、磁場はどんな距離にも浸透することができ、磁気単極子（孤立した磁極）が金属に囲まれている場合、磁場は直線状に収束することなく外部に漏れ出す可能性があります。一方、超伝導体では、電荷は散逸することなく移動するため、表面電荷だけでなく、永久的な表面電流も発生します。超伝導体の境界に磁場を導入すると、磁場を完全に打ち消す表面電流が発生します。

マイスナー効果は、薄い表面層における電流によって生じるものであり、その厚さは、超伝導を荷電したボーズ・アインシュタイン凝縮体として扱うギンツブルグ・ランダウ理論の単純なモデルから計算できる。

超伝導体には電荷qを持つボソンが含まれていると仮定します。ボソンの波動関数は量子場を導入することで記述できます。${\displaystyle \ \psi \ ,}$これは場の方程式としてシュレーディンガー方程式に従います。換算プランク定数ħを1に設定した単位系では次のようになります。

${\displaystyle i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.}$

オペレーター${\displaystyle \psi (x)}$点xでボソンを消滅させる一方、その随伴$\displaystyle \psi ^{\dagger }}$同じ点に新しいボソンが生成される。ボーズ・アインシュタイン凝縮体の波動関数は、期待値となる。${\displaystyle \langle \psi \rangle }$の⁠${\displaystyle \psi (x)}$⁠ は、同じ方程式に従う古典的な関数です。期待値の解釈は、新しく生成されたボソンが凝縮体中に既に存在する他のすべてのボソンとコヒーレントに重ね合わせられるように、そのボソンに与えるべき位相であるということです。

電荷を帯びた凝縮体が存在する場合、電磁相互作用は遮蔽される。これを理解するには、ゲージ変換が場に及ぼす影響を考えてみよう。ゲージ変換は、凝縮体の位相を点ごとに変化する量だけ回転させ、ベクトルポテンシャルを勾配だけシフトさせる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{aligned}}}$

凝縮物がない場合、この変換は相の定義を変えるだけです。${\displaystyle \ \psi \ }$あらゆる点において。しかし、凝縮物が存在する場合、凝縮物の相によって好ましい相の選択が決まる。

凝縮体の波動関数は次のように書ける。

${\displaystyle \psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,}$

ここでρは実振幅であり、凝縮体の局所密度を決定します。凝縮体が中性であれば、流れはθの勾配、すなわちシュレーディンガー場の位相が変化する方向に沿って流れます。位相θがゆっくり変化する場合、流れは遅く、エネルギーも非常に小さくなります。しかし、ゲージ変換によって場の位相を回転させるだけで、 θをゼロにすることができます。

位相の緩やかな変化のエネルギーは、シュレーディンガー運動エネルギーから計算できます。

${\displaystyle \ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,}$

凝縮液の密度ρを一定と仮定すると、

$${\displaystyle H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.}$$

凝縮体がどこでも同じ位相を持つようにゲージの選択を固定すると、電磁場エネルギーには追加の項が加わり、

${\displaystyle {\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.}$

この項が存在する場合、電磁相互作用は短距離になります。波長の長さに関係なく、すべてのフィールドモードはゼロでない周波数で振動します。最低周波数は、長波長Aモードのエネルギーから読み取ることができます。

${\displaystyle E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.}$

これは周波数を持つ調和振動子です

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.}$

数量${\displaystyle \ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\ }$は超伝導粒子の凝縮体の密度である。

実際の超伝導体では、荷電粒子は電子であり、電子はボソンではなくフェルミオンです。したがって、超伝導を起こすには、電子が何らかの方法でクーパー対に結合する必要があります。そのため、凝縮体の電荷qは電子の電荷−eの 2 倍になります。通常の超伝導体におけるペアリングは格子振動によるもので、実際には非常に弱いものです。つまり、ペアは非常に緩く結合しています。緩く結合したペアのボーズ・アインシュタイン凝縮体の記述は、素粒子の凝縮体の記述よりも実際には難しく、1957 年にジョン・バーディーン、レオン・クーパー、ジョン・ロバート・シュリーファーによって有名なBCS 理論でようやく解明されました。

ゲージ不変性とは、ゲージ場の特定の変換によってエネルギーが全く変化しないことを意味します。A に任意の勾配を加えた場合、場のエネルギーは全く同じです。このため、質量項を加えるのは困難です。質量項は場をゼロの方向に押しやる傾向があるからです。しかし、ベクトルポテンシャルの値がゼロであることは、ゲージ不変な概念ではありません。あるゲージでゼロであるものは、別のゲージではゼロではありません。

ゲージ理論に質量を与えるためには、凝縮体によってゲージ不変性を破る必要がある。凝縮体は特定の位相を定義し、その位相によってゲージ不変な方法で場のゼロ値が定義される。ゲージ不変な定義とは、平行移動による任意の経路に沿った位相変化が凝縮体の波動関数の位相差に等しい場合に、ゲージ場がゼロになるというものである。

凝縮値は、ギンツブルグ・ランダウモデルと同様に、期待値を持つ量子場によって記述される。

真空の位相がゲージを定義するためには、場が位相（「電荷を持つ」とも呼ばれる）を持たなければならない。スカラー場Φが位相を持つためには、それが複素数であるか、あるいは（同等に）互いに回転し合う対称性を持つ2つの場を含んでいなければならない。ベクトルポテンシャルは、場によって生成された量子が点から点へと移動する際に、量子の位相を変化させる。場の観点から言えば、ベクトルポテンシャルは、近接する点における場の値を比較する際に、場の実部と虚部をどれだけ互いに回転させるかを定義する。

複素スカラー場 Φがゼロ以外の値をとる唯一の繰り込み可能なモデル は「メキシカンハット」モデルであり、このモデルでは場のエネルギーがゼロから離れた最小値を持つ。このモデルの作用は

${\displaystyle \ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,}$

その結果、ハミルトニアンが得られる。

${\displaystyle \ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.}$

第1項は場の運動エネルギーを表す。第2項は場が場所によって変化する場合の余剰位置エネルギーを表す。第3項は場の大きさが一定の場合の位置エネルギーを表す。

この位置エネルギー、ヒッグスポテンシャルは、 ${\displaystyle ~V\left(\phi ,\Phi \right)=\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,}$^{[ 34 ]}は、メキシカンハットのような形をしたグラフを示しており、それがこのモデルの名前の由来となっている。特に、最小エネルギー値は${\displaystyle \phi =0}$しかし、大きさが${\displaystyle \phi }$Φです​​。

場Φ( x )が電磁気と結合していない場合、メキシカンハット型ポテンシャルは平坦な方向を持ちます。真空の円のいずれかから始めて、場の位相を点から点へと変化させるのに必要なエネルギーはごくわずかです。数学的には、

${\displaystyle \ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\ }$

定数の前因子を持つ場合、場θ ( x )の作用、すなわちヒッグス場Φ( x )の「位相」は、微分項のみを持つ。これは驚くべきことではない。θ ( x )に定数を加えることは元の理論の対称性であり、θ ( x ) の異なる値は異なるエネルギーを持つことはできない。これは、モデルをゴールドストーンの定理に適合させる例である。自発的に破れた連続対称性は（通常）質量のない励起を生み出す。

アーベル・ヒッグスモデルは、電磁気学と結合したメキシカンハットモデルである。

${\displaystyle \ S(\phi ,A_{\mu })=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial _{\mu }-iqA_{\mu }\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.}$

古典的な真空は再びポテンシャルの最小値にあり、複素場の大きさは${\displaystyle \phi }$はΦに等しい。しかし、ゲージ変換によって位相が変化するため、場の位相は任意である。これは、場が${\displaystyle \ \theta (x)\ }$ゲージ変換によってゼロに設定することができ、実際の自由度を全く表さない。

さらに、真空の位相が固定されているゲージを選択すると、ベクトル場のゆらぎに対するポテンシャルエネルギーはゼロではなくなります。したがって、アーベルヒッグスモデルでは、ゲージ場は質量を獲得します。質量の大きさを計算するには、凝縮体の位相が一定のゲージにおいて、x方向のベクトルポテンシャルAが一定値であると仮定します。これは、ベクトルポテンシャルがゼロであるゲージにおいて、正弦波状に変化する凝縮体と同じです。Aがゼロであるゲージでは、凝縮体におけるポテンシャルエネルギー密度は、スカラー勾配エネルギーになります。

${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.}$

このエネルギーは質量項⁠ 1 / 2 ⁠ m ² A ²と同じで、ここでm = q Φ です。

非可換ヒッグスモデルは、以下の作用を持つ。

${\displaystyle S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),}$

ここで、非可換場Aは共変微分Dとテンソル成分に含まれている。${\displaystyle F^{\mu \nu }}$そして${\displaystyle F_{\mu \nu }}$（ Aとこれらの成分との関係は、ヤン・ミルズ理論からよく知られている。）

これはアーベルヒッグスモデルと全く同じである。${\displaystyle \phi }$はゲージ群の表現であり、ゲージ共変微分は、ゲージ場 A を接続とし​​て使用して、場の変化率から平行移動による変化率を引いた値によって定義されます。

${\displaystyle D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi }$

繰り返しますが、期待値は${\displaystyle \phi }$真空が一定となる好ましいゲージを定義し、このゲージを固定すると、ゲージ場Aの変動にはゼロではないエネルギーコストが伴う。

スカラー場の表現によっては、すべてのゲージ場が質量を持つとは限らない。簡単な例として、ジュリアン・シュウィンガーによる初期の電弱模型の繰り込み可能なバージョンが挙げられる。この模型では、ゲージ群はSO(3)（またはSU(2) ― この模型にはスピノル表現はない）であり、ゲージ不変性は長距離ではU(1)またはSO(2)に破れる。ヒッグス機構を用いて一貫性のある繰り込み可能なバージョンを作るには、スカラー場を導入する。${\displaystyle \phi ^{a}}$これは、SO(3)のベクトル（三つ組）として変換されます。この場が真空期待値を持つ場合、場空間のある方向を指します。一般性を失うことなく、場空間のz軸を、${\displaystyle \phi }$は指し示し、そして真空期待値は${\displaystyle \phi }$は(0, 0, Ã )であり、Ãは質量の次元を持つ定数 ( ⁠${\displaystyle c=\hbar =1}$⁠ )

z軸周りの回転はSO(3)のU(1)部分群を形成し、真空期待値を保存します。${\displaystyle \phi }$、そしてこれが破れていないゲージ群です。x 軸とy軸周りの回転は真空を保存せず、これらの回転を生成する SO(3) ゲージ場の成分は質量を持つベクトル中間子になります。 シュウィンガーモデルには、質量スケールÃによって質量が決まる 2 つの質量を持つ W 中間子と、光子に似た質量のない U(1) ゲージボソンが 1 つあります。

シュウィンガーモデルは電弱統一スケールで磁気単極子を予測するが、Zボソンは予測しない 。自然界のように電弱対称性を適切に破ることもない。しかし歴史的に見ると、これに類似したモデル（ただしヒッグス機構は使用しない）が、弱い力と電磁力を統一した最初のモデルであった。

エルンスト・シュトゥッケルベルクは、質量を持つ光子を用いた量子電磁力学の理論を解析することで、ヒッグス機構の一種を発見した^{[ 35 ]} 。実際には、シュトゥッケルベルクのモデルは、真空期待値Hが無限大になり、ヒッグス場の電荷がゼロになるような、通常のメキシカンハット・アーベル・ヒッグスモデルの極限であり、その積は固定される。ヒッグス粒子の質量はHに比例するため、ヒッグス粒子は無限に質量を持ち、分離するため、議論には含まれない。しかし、ベクトル中間子の質量は、積eHに等しく、有限のままである。

解釈としては、U(1)ゲージ場が量子化された電荷を必要としない場合、ヒッグス振動の角度部分のみを保持し、半径部分を破棄することが可能になる。ヒッグス場の角度部分θは、以下のゲージ変換法則を持つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha ~.\end{aligned}}}$

角度に関するゲージ共変微分（実際にはゲージ不変である）は次のとおりである。

${\displaystyle D\theta =\partial \theta -eAH~.}$

この極限においてθのゆらぎを有限かつ非ゼロに保つためには、 θをHで再スケーリングし、作用における運動項が正規化されるようにする必要がある。シータ場の作用は、メキシカンハット作用から、以下の式を代入することで読み取れる。 ${\displaystyle \phi =He^{i\theta /H}}$。

${\displaystyle S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}}$

eHはゲージボソンの質量であるため、 θ = 0と設定するゲージ変換を行うことで、作用におけるゲージ自由度が排除され、作用は質量を持つベクトル場の作用となる。

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.}$

電荷を任意に小さくするには、U(1) が乗算における単位複素数の円ではなく、加算における実数の円である必要があり、これは大域的トポロジーのみが異なります。このような U(1) 群は非コンパクトです。場θはゲージ群のアフィン表現として変換されます。許容されるゲージ群の中で、非コンパクトな U(1) だけがアフィン表現を許容し、電磁気学の U(1) は電荷量子化が極めて高い精度で成り立つことから、実験的にコンパクトであることが知られています。

このモデルにおけるヒッグス凝縮体は極めて小さな電荷を持つため、ヒッグス粒子との相互作用は電荷保存則を破りません。質量を持つ光子を含む量子電磁力学の理論は、依然として繰り込み可能な理論であり、電荷は保存されますが、磁気単極子は許容されません。非可換ゲージ理論では、アフィン極限は存在せず、ヒッグス振動はベクトルよりも質量が大きすぎることはありません。