経路積分の定式化

経路積分定式化は、古典力学の定常作用原理を一般化した量子力学の記述である。これは、システムの単一の一意の古典的軌道という古典的な概念を、量子力学的に可能な無限の軌道の合計、つまり関数積分に置き換えて、量子振幅を計算する。

この定式化は理論物理学のその後の発展に極めて重要であることが証明されている。なぜなら、明白なローレンツ共変性（量の時間および空間成分が同じように方程式に入る）は、正準量子化の演算子形式よりも達成しやすいからである。以前の方法とは異なり、経路積分を使用すると、同じ量子システムの非常に異なる正準記述間で座標を簡単に変更できます。もう1つの利点は、経路積分（特定のタイプの相互作用の場合、これらは座標空間またはファインマン経路積分である）に自然に入る理論のラグランジアンの方が、ハミルトニアンよりも正しい形式を推測することが実際にはより簡単なことである。このアプローチの考えられる欠点には、S行列のユニタリー性（これは確率の保存に関連し、物理的に可能なすべての結果の確率は合計で1になる必要がある）が定式化では不明瞭であることが挙げられる。経路積分アプローチは、量子力学および量子場の理論の他の形式と同等であることが証明されている。したがって、いずれかのアプローチを他のアプローチから導き出すことで、どちらかのアプローチに関連する問題（ローレンツ共変性やユニタリー性に例示されるもの）は解消されます。^[1]

経路積分は量子過程と確率過程にも関係しており、これが1970年代の大統合の基礎となり、量子場理論と二次相転移付近の変動場の統計場理論を統合した。シュレーディンガー方程式は虚拡散定数を持つ拡散方程式であり、経路積分はすべての可能なランダムウォークを合計する方法の解析的延長である。^[2]

経路積分は、高分子物理学、量子場理論、弦理論、宇宙論など、幅広い科学に影響を与えてきました。物理学では、格子ゲージ理論と量子色力学の基礎となっています。^[3]これは「物理学で最も強力な公式」と呼ばれており、^[4]スティーブン・ウルフラムもこれを「現代の量子力学と量子場理論の基本的な数学的構成」であると宣言しています。^[5]

経路積分定式化の基本的な考え方は、拡散とブラウン運動の問題を解決するためにウィーナー積分を導入したノーバート・ウィーナーに遡ることができます。^[6]この考え方は、1933 年の論文で経路積分定式化を生み出したポール・ディラックによって量子力学におけるラグランジアン使用に拡張されました。 ^{[7] [8] [9] [3]完全な方法は、1948 年に}リチャード・ファインマンによって開発されました。^{[10]いくつかの予備的な部分は、}ジョン・アーチボルド・ウィーラーの指導の下で博士論文の中で以前に検討されていました。元々の動機は、出発点としてラグランジアン(ハミルトニアンではなく) を使用して、ウィーラー-ファインマン吸収体理論の量子力学的定式化を得たいという願望から生まれました。

量子力学では、古典力学と同様に、ハミルトニアンは時間変換の生成元です。これは、ハミルトニアン演算子（負の虚数単位、 - iを乗じた値）を作用させた結果、わずかに後の時点の状態が現在の時点の状態と異なることを意味します。一定のエネルギーを持つ状態の場合、これは周波数とエネルギーの間のド・ブロイ関係の記述であり、一般的な関係はそれと重ね合わせの原理と一致します。

古典力学におけるハミルトニアンはラグランジアンから派生したもので、特殊相対論の文脈ではより基本的な量です。ハミルトニアンは時間の中でどのように進むかを示しますが、時間は参照フレームごとに異なります。ラグランジアンはローレンツ スカラーですが、ハミルトニアンは4 次元ベクトルの時間成分です。そのため、ハミルトニアンはフレームごとに異なり、このタイプの対称性は量子力学の元の定式化では明らかではありません。

ハミルトニアンは、ある時点での位置と運動量の関数であり、少し後の位置と運動量を決定します。ラグランジアンは、現在の位置と少し後の位置の関数です（または、無限小の時間間隔の場合は、位置と速度の関数です）。2つの関係は、ルジャンドル変換によって示され、古典的な運動方程式（オイラー-ラグランジュ方程式）を決定する条件は、作用が極値を持つ ということです。

量子力学では、ルジャンドル変換は、運動が明確な軌道を描いていないため解釈が難しい。古典力学では、時間の離散化により、ルジャンドル変換は次のようになる。

${\displaystyle \varepsilon H=p(t){\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon L}$

そして

${\displaystyle p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}},}$

ここで、偏微分はq ( t + ε )を固定している。逆ルジャンドル変換は ${\displaystyle {\dot {q}}}$

${\displaystyle \varepsilon L=\varepsilon p{\dot {q}}-\varepsilon H,}$

どこ

${\displaystyle {\dot {q}}={\frac {\partial H}{\partial p}},}$

そして偏微分はqを固定したpに関してになります。

量子力学では、状態は異なるqの値、または異なるpの値を持つ異なる状態の重ね合わせであり、量pとq は非可換演算子として解釈できます。演算子p は、 qに関して不定である状態でのみ確定します。したがって、時間的に分離された 2 つの状態を考え、ラグランジアンに対応する演算子を作用させます。

${\displaystyle e^{i{\big [}p{\big (}q(t+\varepsilon )-q(t){\big )}-\varepsilon H(p,q){\big ]}}.}$

この式に暗黙的に含まれている乗算を行列乗算として再解釈すると、最初の因数は

${\displaystyle e^{-ipq(t)},}$

これを行列の乗算としても解釈すると、すべての状態の合計がすべてのq ( t )にわたって積分されるため、基底をp ( t )に変更するにはq ( t )のフーリエ変換が必要になります。これがヒルベルト空間に対する作用、つまり時刻tで基底をpに変更する作用です。

次は

${\displaystyle e^{-i\varepsilon H(p,q)},}$

あるいは、未来の無限小時間に進化します。

最後に、この解釈の最後の要素は

${\displaystyle e^{ipq(t+\varepsilon )},}$

これは、後で基底をqに戻すことを意味します。

これは、通常の時間発展とあまり変わりません。H因子にはすべての動的情報が含まれており、状態を時間的に前進させます。最初の部分と最後の部分は、中間p基底から純粋なq基底に変更するための単なるフーリエ変換です。

別の言い方をすると、ハミルトニアンは当然pとqの関数なので、この量を指数化し、各ステップで基底をpからqに変更すると、 Hの行列要素を各パスに沿った単純な関数として表現できるようになります。この関数は、古典的な作用の量子アナログです。この観察はポール・ディラックによるものです。^[11]

ディラックはさらに、 S表現で時間発展演算子を二乗できることを指摘しました。

${\displaystyle e^{i\varepsilon S},}$

これにより、時刻tと時刻t + 2 εの間の時間発展演算子が得られます。H 表現では、中間状態にわたって合計される量は不明瞭な行列要素ですが、S 表現では、パスに関連付けられた量として再解釈されます。この演算子の大きな累乗を取る限界では、2 つの状態間の完全な量子発展が再構築されます。最初の状態はq (0)の固定値を持ち、後の状態はq ( t )の固定値を持ちます。結果は、位相を持つパスの合計であり、これが量子アクションです。

重要なのは、ディラックが古典的限界が作用原理の量子形式に与える影響を特定したことです。

... (11) の積分関数はe ^{iF / h}の形式でなければならないことが分かる。ここでF はq _T、q ₁、q ₂、… q _m、q _tの関数であり、 hがゼロに近づくにつれて有限のままである。ここで、中間の q の 1 つ、たとえば q k が連続的に変化し、他の q が固定されているとしよう。 hが_小さいため、一般にF / h は非常に急速に変化する。これは、e ^{iF / h が}値 0 の周りで非常に高い周波数で周期的に変化することを意味し、その結果、その積分は実質的にゼロになる。したがって、 q _kの積分領域で重要な部分は、 q _kの比較的大きな変化がFの非常に小さな変化のみを生成する部分である。この部分は、 q _kの小さな変化に対してFが定常である点の近傍である。この議論を積分の各変数に適用すると、積分領域で唯一重要な部分は、すべての中間変数 q の小さな変化に対して F が定常である部分であるという結果が得られます。Fの古典的な類似物として、∫が存在します。^t
_... L dtは単なる作用関数であり、古典力学では中間のqの小さな変化に対して定常であることが要求される。これは、 hが極端に小さくなると式(11)が古典的な結果に移行する様子を示している。

— ディラック（1933）、69ページ

つまり、プランク定数 ħに比べて大きい作用の限界、つまり古典的限界では、経路積分は作用の定常点の近傍にある解によって支配されます。古典的経路は古典的限界で自然に発生します。

ディラックの研究は、経路の合計を計算するための正確な規定を提供しなかったし、この規則からシュレーディンガー方程式や標準的な交換関係を復元できることも示さなかった。これはファインマンによって行われた。

ファインマンは、ディラックの量子作用は、ほとんどの興味深いケースでは、適切に離散化された古典作用と単純に等しいことを示しました。これは、古典作用が 2 つの固定されたエンドポイント間の量子進化によって獲得される位相であることを意味します。彼は、次の仮定から量子力学のすべてを回復することを提案しました。

1. イベントの確率は、「確率振幅」と呼ばれる複素数の二乗係数によって与えられます。
2. 確率振幅は、配置空間内のすべてのパスの寄与を合計することによって与えられます。
3. パスの寄与はe ^{iS / ħ}に比例します。ここで、S はパスに沿ったラグランジアンの時間積分によって与えられる作用です。

与えられたプロセスの全体的な確率振幅を求めるには、第 3 公準の振幅を、古典的基準では不合理なものも含め、初期状態と最終状態の間のシステムのすべての可能な経路の空間にわたって加算、つまり積分します。単一の粒子が 1 つの時空座標から別の時空座標に移動する確率振幅を計算する場合、粒子が複雑な渦巻きを描く経路、粒子が宇宙空間に飛び出して再び戻ってくる曲線などを含めるのが適切です。経路積分では、これらすべての振幅に等しい重みが割り当てられますが、位相、つまり複素数の引数は変化します。古典的な軌道から大きく異なる経路からの寄与は、干渉によって抑制される可能性があります(以下を参照)。

ファインマンは、ハミルトニアンが運動量に関してせいぜい 2 次である場合、この量子力学の定式化は量子力学の標準的なアプローチと同等であることを示した。ファインマンの原理に従って計算された振幅は、与えられた作用に対応するハミルトニアンのシュレーディンガー方程式にも従う。

量子場理論の経路積分定式化は、遷移振幅（古典的な相関関数に対応）を、初期状態から最終状態までのシステムのすべての可能な履歴の加重和として表します。ファインマン図は、遷移振幅への 摂動寄与をグラフィカルに表現したものです。

経路積分式を導く一般的な方法の 1 つは、時間間隔を小さな部分に分割することです。これが完了すると、トロッター積の式から、運動エネルギー演算子と位置エネルギー演算子の非可換性は無視できることがわかります。

滑らかなポテンシャル内の粒​​子の場合、経路積分はジグザグ経路で近似され、1次元では通常の積分の積となる。粒子が時刻t a の_{位置x aから}時刻t bの_位置x _bまで移動するとき、時間系列は次の ようになる。

${\displaystyle t_{a}=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n-1}<t_{n}<t_{n+1}=t_{b}}$

固定期間の n + 1 個のより小さなセグメントt _j − t _{j − 1}（j = 1, ..., n + 1 ）に分割できる。

${\displaystyle \varepsilon =\Delta t={\frac {t_{b}-t_{a}}{n+1}}.}$

このプロセスはタイムスライスと呼ばれます。

経路積分の近似値は、次のように比例して計算できる。

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\cdots \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\int _{t_{a}}^{t_{b}}L{\big (}x(t),v(t){\big )}\,dt\right)\,dx_{0}\,\cdots \,dx_{n},}$

ここで、L ( x , v )は位置変数x ( t )と速度v = ẋ ( t )を考慮した1次元システムのラグランジアンであり（下記参照）、時間積分がn項の合計で近似される場合、 dx _jはj番目の時間ステップでの位置に対応します。^{[nb 1]}

n → ∞ の極限では、これは関数積分となり、非本質的な要素を除けば、確率振幅⟨ x _b、t _b | x _a、t _a ⟩ (より正確には、連続スペクトルを扱う必要があるため、それぞれの密度) の積となり、初期状態x _aのt _aと最終状態x _bのt _bにおける量子力学粒子を見つけます。

実際、Lは考慮されている1次元システムの 古典的なラグランジアンであり、

${\displaystyle L(x,{\dot {x}})=T-V={\frac {1}{2}}m|{\dot {x}}|^{2}-V(x)}$

そして、上記の「ジグザグ」は、用語の出現に対応しています

${\displaystyle \exp \left({\frac {i}{\hbar }}\varepsilon \sum _{j=1}^{n+1}L\left({\tilde {x}}_{j},{\frac {x_{j}-x_{j-1}}{\varepsilon }},j\right)\right)}$

時間積分を近似するリーマン和において、 x ₁からx _nにわたって積分測度dx ₁ ... dx _nで積分される。x̃ _{j は}jに対応する区間の任意の値、例えばその中心である。xj + xj _{−1です​}/2⁠ .

したがって、古典力学とは対照的に、静止経路が寄与するだけでなく、実際には開始点と終了点の間のすべての仮想経路も寄与します。

位置表現における波動関数の観点から見ると、経路積分式は次のようになります。

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,e^{iS[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]}\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,}$

ここで はすべての経路にわたる積分を表し、は正規化係数です。ここで、作用は次のように与えられます。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle S[\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }}]=\int dt\,L(\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t))}$

経路積分表現は、点xから点yへの量子振幅をすべての経路にわたる積分として与える。自由粒子作用の場合（簡単にするためにm = 1、ħ = 1とする）

${\displaystyle S=\int {\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t,}$

積分は明示的に評価できます。

これを行うには、指数関数の係数iなしで開始すると便利です。これにより、振動の寄与をキャンセルするのではなく、小さな数値によって大きな偏差が抑制されます。振幅 (またはカーネル) は次のようになります。

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\exp \left(-\int _{0}^{T}{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\right)\,{\mathcal {D}}x.}$

積分を時間スライスに分割する:

${\displaystyle K(x-y;T)=\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}\prod _{t}\exp \left(-{\tfrac {1}{2}}\left({\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}\right)^{2}\varepsilon \right)\,{\mathcal {D}}x,}$

ここで、D はεの各整数倍における積分の有限集合として解釈されます。積の各因子は、分散εでx ( t )を中心とするx ( t + ε )の関数としてのガウス分布です。多重積分は、このガウス分布G _εと隣接する時刻における自身のコピーと の繰り返し畳み込みです。

${\displaystyle K(x-y;T)=G_{\varepsilon }*G_{\varepsilon }*\cdots *G_{\varepsilon },}$

ここで畳み込みの数は⁠T/ε⁠。両辺のフーリエ変換を行うと、畳み込みが乗算になるため、結果は簡単に評価できます。

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)={\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)^{T/\varepsilon }.}$

ガウス分布Gのフーリエ変換は、分散の逆数の別のガウス分布です。

${\displaystyle {\tilde {G}}_{\varepsilon }(p)=e^{-{\frac {\varepsilon p^{2}}{2}}},}$

そして結果は

${\displaystyle {\tilde {K}}(p;T)=e^{-{\frac {Tp^{2}}{2}}}.}$

フーリエ変換によりKが得られ、これも分散の逆数を持つガウス分布になります。

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{2T}}}.}$

比例定数は実際には時間スライス アプローチによって決定されるのではなく、異なるエンドポイント選択の値の比率のみが決定されます。比例定数は、2 つの時間スライス間の時間発展が量子力学的にユニタリになるように選択する必要がありますが、正規化を修正するよりわかりやすい方法は、経路積分を確率過程の記述として考えることです。

結果は確率的に解釈されます。指数因子のすべてのパスの合計は、各パスでそのパスを選択する確率の合計と見ることができます。確率は、各セグメントでそのセグメントを選択する確率の積であるため、各セグメントは確率的に独立して選択されます。答えが時間に対して線形に広がるガウス分布であるという事実は中心極限定理であり、統計的経路積分の最初の歴史的評価として解釈できます。

確率の解釈は自然な正規化の選択を与える。経路積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int K(x-y;T)\,dy=1.}$

この条件はガウス分布を正規化し、拡散方程式に従うカーネルを生成します。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)={\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

振動経路積分（分子にiが含まれるもの）の場合、時間スライスにより、前と同様に畳み込みガウス分布が生成されます。ただし、振動積分を評価するには慎重な制限が必要なため、畳み込み積は限界的に特異です。因子を明確に定義するには、時間増分εに小さな虚数部を追加するのが最も簡単な方法です。これは、ウィック回転と密接に関連しています。次に、前と同じ畳み込みの議論により、伝播カーネルが得られます。

${\displaystyle K(x-y;T)\propto e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2T}},}$

これは、前と同じ正規化（二乗和正規化ではない - この関数は発散ノルムを持つ）により、自由シュレーディンガー方程式に従います。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}K(x;T)=i{\frac {\nabla ^{2}}{2}}K.}$

これは、 K sの任意の重ね合わせも線形性によって同じ式に従うこと を意味します。定義

${\displaystyle \psi _{t}(y)=\int \psi _{0}(x)K(x-y;t)\,dx=\int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}^{x(t)=y}e^{iS}\,{\mathcal {D}}x,}$

すると、ψ _{t は}Kと同様に自由シュレーディンガー方程式に従います。

${\displaystyle i{\frac {\partial }{\partial t}}\psi _{t}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}\psi _{t}.}$

単純な調和振動子のラグランジアンは^[12]

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}.}$

その軌道x ( t )を古典軌道に何らかの摂動を加えたもの、x ( t ) = x _c ( t ) + δx ( t )と書き、作用をS = S _c + δSと書きます。古典軌道は次のように書くことができます。

${\displaystyle x_{\text{c}}(t)=x_{i}{\frac {\sin \omega (t_{f}-t)}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}+x_{f}{\frac {\sin \omega (t-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}.}$

この軌道は古典的な作用をもたらす

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{\text{c}}&=\int _{t_{i}}^{t_{f}}{\mathcal {L}}\,dt=\int _{t_{i}}^{t_{f}}\left({\tfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\right)\,dt\\[6pt]&={\frac {1}{2}}m\omega \left({\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega (t_{f}-t_{i})-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}\right)~.\end{aligned}}}$

次に、古典経路からの偏差をフーリエ級数として展開し、作用δSへの寄与を計算すると、

${\displaystyle S=S_{\text{c}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\tfrac {1}{2}}a_{n}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(n\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right).}$

これは、プロパゲータが

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}\prod _{j=1}^{\infty }{\frac {j\pi }{\sqrt {2}}}\int da_{j}\exp {\left({\frac {i}{2\hbar }}a_{j}^{2}{\frac {m}{2}}\left({\frac {(j\pi )^{2}}{t_{f}-t_{i}}}-\omega ^{2}(t_{f}-t_{i})\right)\right)}\\[6pt]&=e^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}Q\prod _{j=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{j\pi }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\end{aligned}}}$

何らかの正規化のために

${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {m}{2\pi i\hbar (t_{f}-t_{i})}}}~.}$

sinc関数の無限積表現を用いると、

${\displaystyle \prod _{j=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{j^{2}}}\right)={\frac {\sin \pi x}{\pi x}},}$

プロパゲータは次のように書ける。

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=Qe^{\frac {iS_{\text{c}}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {\omega (t_{f}-t_{i})}{\sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}=e^{\frac {iS_{c}}{\hbar }}{\sqrt {\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega (t_{f}-t_{i})}}}.}$

T = t _f − t _iとします。この伝播関数はエネルギー固有状態を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})&=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega T}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left({\frac {i}{\hbar }}{\tfrac {1}{2}}m\omega {\frac {(x_{i}^{2}+x_{f}^{2})\cos \omega T-2x_{i}x_{f}}{\sin \omega T}}\right)}\\[6pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }\exp {\left(-{\frac {iE_{n}T}{\hbar }}\right)}\psi _{n}(x_{f})\psi _{n}(x_{i})^{*}~.\end{aligned}}}$

i sin ωT = ⁠の等式を用いると1/2⁠ e ^iωT (1 − e ^{−2 iωT} )およびcos ωT = ⁠1/2⁠ e ^iωT (1 + e ^{−2 iωT} )、これは次のようになる。

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\left(1-e^{-2i\omega T}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\exp {\left(-{\frac {m\omega }{2\hbar }}\left(\left(x_{i}^{2}+x_{f}^{2}\right){\frac {1+e^{-2i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}-{\frac {4x_{i}x_{f}e^{-i\omega T}}{1-e^{-2i\omega T}}}\right)\right)}.}$

最初のe ^{− iωT /2以降の項をすべて}R ( T )に吸収すると、

${\displaystyle K(x_{f},t_{f};x_{i},t_{i})=\left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{\frac {1}{2}}e^{\frac {-i\omega T}{2}}\cdot R(T).}$

最後に、 R ( T ) をe ^{− iωT}の累乗で展開します。この展開のすべての項は、先頭の e ^{− iωT /2}の係数で乗算され、次の形式の項が得られます。

${\displaystyle e^{\frac {-i\omega T}{2}}e^{-in\omega T}=e^{-i\omega T\left({\frac {1}{2}}+n\right)}\quad {\text{for }}n=0,1,2,\ldots .}$

上記の固有状態展開と比較すると、単純な調和振動子の標準エネルギースペクトルが得られる。

${\displaystyle E_{n}=\left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)\hbar \omega ~.}$

しかし、クーロンポテンシャル の特異性のため、ファインマンの時間スライス近似は、原子の最も重要な量子力学的経路積分には存在しない。²電子/r⁠原点において、時間tを別の経路依存擬似時間パラメータに

${\displaystyle s=\int {\frac {dt}{r(t)}}}$

特異点は除去され、時間スライス近似が存在し、これは1979年にイスマイル・ハッキ・ドゥルとハーゲン・クライネルトによって発見されたように、単純な座標変換によって調和させることができるため、正確に積分可能です。^[13]経路依存の時間変換と座標変換の組み合わせは、多くの経路積分を解くための重要なツールであり、一般的にドゥル・クライネルト変換と呼ばれています。

経路積分は、ポテンシャルが存在する場合でも、初期状態と最終状態のシュレーディンガー方程式を再現します。これは、無限に離れた時間にわたって経路積分を行うことによって最も簡単に確認できます。

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x;t)\int _{x(t)=x}^{x(t+\varepsilon )=y}e^{i\int _{t}^{t+\varepsilon }{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}-V(x){\bigr )}dt}Dx(t)\,dx\qquad (1)}$

時間間隔は無限小であり、ẋの値が大きくなると打ち消し合う振動が激しくなるため、経路積分はy がxに近い場合に最も重要になります。この場合、最低次まで位置エネルギーは一定であり、運動エネルギーの寄与のみが重要になります。(指数における運動エネルギー項と位置エネルギー項のこの分離は、本質的にトロッター積の公式です。) 作用の指数は

${\displaystyle e^{-i\varepsilon V(x)}e^{i{\frac {{\dot {x}}^{2}}{2}}\varepsilon }}$

最初の項は、 ψ ( x )の位相を、位置エネルギーに比例する量だけ局所的に回転します。2番目の項は自由粒子の伝播関数で、拡散過程のi倍に相当します。εの最低次数まで、これらは加算的です。いずれの場合も、(1) で次の式が得られます。

${\displaystyle \psi (y;t+\varepsilon )\approx \int \psi (x;t)e^{-i\varepsilon V(x)}e^{\frac {i(x-y)^{2}}{2\varepsilon }}\,dx\,.}$

前述のように、 ψの広がりは自由粒子の伝播による拡散であり、位相には追加の微小回転があり、その回転はポテンシャルから点ごとにゆっくりと変化します。

${\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=i\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\nabla ^{2}-V(x)\right)\psi \,}$

これはシュレーディンガー方程式です。経路積分の正規化は、自由粒子の場合とまったく同じ方法で固定する必要があります。任意の連続ポテンシャルは正規化に影響を与えませんが、特異ポテンシャルは注意深い処理が必要です。

状態はシュレーディンガー方程式に従うため、経路積分はxおよび ẋ変数の平均に対するハイゼンベルクの運動方程式を再現する必要がありますが、これを直接確認することは有益です。直接的なアプローチは、経路積分から計算された期待値が量子力学の通常の値を再現することを示しています。

まず、ある固定された初期状態を持つ経路積分を考える。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{x(0)=x}e^{iS(x,{\dot {x}})}\,Dx\,}$

ここで、各時点におけるx ( t )は、それぞれ別の積分変数です。したがって、積分内の変数をシフトして変更することは正当です。 x ( t ) = u ( t ) + ε ( t )ただし、 ε ( t )は各時点で異なるシフトですが、エンドポイントは積分されていないため、 ε (0) = ε ( T ) = 0です。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}e^{iS(u+\varepsilon ,{\dot {u}}+{\dot {\varepsilon }})}\,Du\,}$

シフトによる積分の変化は、εの第1無限小オーダーまでである。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}\left(\int {\frac {\partial S}{\partial u}}\varepsilon +{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}{\dot {\varepsilon }}\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

これをtについて部分積分すると次の式が得られます。

${\displaystyle \int \psi _{0}(x)\int _{u(0)=x}-\left(\int \left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {u}}}}-{\frac {\partial S}{\partial u}}\right)\varepsilon (t)\,dt\right)e^{iS}\,Du\,}$

しかし、これは積分変数のシフトに過ぎず、 ε ( t )のどの選択に対しても積分の値は変わりません。結論としては、この一次変化は任意の初期状態と任意の時点においてゼロになります。

${\displaystyle \left\langle \psi _{0}\left|{\frac {\delta S}{\delta x}}(t)\right|\psi _{0}\right\rangle =0}$

これはハイゼンベルクの運動方程式です。

アクションにẋとx を同時に乗算する項が含まれている場合、これらの量の乗算規則は演算子形式と同様に経路積分でも非可換であるため、上記の操作は単なる経験則になります。

作用の変化がħを何桁も超える場合、オイラー・ラグランジュ方程式を満たす軌道の近傍以外では、通常、破壊的干渉が生じます。オイラー・ラグランジュ方程式は、現在では建設的干渉の条件として再解釈されています。これは、伝播関数に適用された定常位相法を使用して示すことができます。ħが減少するにつれて、積分の指数は、作用の任意の変化に対して複素領域で急速に振動します。したがって、 ħがゼロになる極限では、古典的な作用が変化しない点のみが伝播関数に寄与します。

経路積分の定式化では、一見すると量xとpが交換可能ではないことは明らかではありません。経路積分では、これらは単なる積分変数であり、明確な順序はありません。ファインマンは、非交換性が依然として存在することを発見しました。^[14]

これを理解するには、最も単純な経路積分であるブラウン運動を考えてみましょう。これはまだ量子力学ではないので、経路積分では作用はi倍されません。

${\displaystyle S=\int \left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}\,dt}$

量x ( t )は変動しており、導関数は離散的な差の極限として定義されます。

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}={\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

ランダムウォークが移動する距離は√tに比例するので、

${\displaystyle x(t+\varepsilon )-x(t)\approx {\sqrt {\varepsilon }}}$

これは、導関数を定義する比率が確率 1 で発散するため、ランダム ウォークが微分可能ではないことを示しています。

数量xẋは曖昧であり、2つの意味が考えられます。

${\displaystyle [1]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle [2]=x{\frac {dx}{dt}}=x(t+\varepsilon ){\frac {x(t+\varepsilon )-x(t)}{\varepsilon }}}$

初等微積分では、 ε が0 に近づくにつれて、2 つの差は 0 に近づく量だけ異なります。しかし、この場合は、2 つの差は 0 ではありません。

${\displaystyle [2]-[1]={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}\approx {\frac {\varepsilon }{\varepsilon }}}$

させて

${\displaystyle f(t)={\frac {{\big (}x(t+\varepsilon )-x(t){\big )}^{2}}{\varepsilon }}}$

すると、f ( t ) は急速に変動する統計量であり、その平均値は1、つまり正規化された「ガウス過程」である。このような量の変動は、統計的ラグランジアンによって記述できる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=(f(t)-1)^{2}\,,}$

そして、 Lに対応する作用S を極限まで高めることから導かれるfの運動方程式は、それを 1 に等しく設定します。物理学では、このような量は「演算子の恒等式として 1 に等しい」です。数学では、「1 に弱収束する」です。どちらの場合も、任意の期待値で 1 になるか、任意の区間で平均化した場合、またはすべての実用的な目的において 1 になります。

時間順序を演算子順序 として定義します。

${\displaystyle [x,{\dot {x}}]=x{\frac {dx}{dt}}-{\frac {dx}{dt}}x=1}$

これは確率計算では伊藤の補題と呼ばれ、物理学では（ユークリッド化された）正準交換関係と呼ばれます。

一般的な統計的行動についても同様の議論が成り立つ。

${\displaystyle \left[x,{\frac {\partial S}{\partial {\dot {x}}}}\right]=1}$

そして量子力学では、作用における余分な虚数単位はこれを標準的な交換関係に変換する。

${\displaystyle [x,p]=i}$

曲がった空間の粒子の場合、運動項は位置に依存し、上記の時間スライスは適用できません。これは、シュレーディンガー量子力学における悪名高い演算子順序付け問題の現れです。ただし、多値座標変換 (非ホロノミック マッピングの説明はこちら) を使用して、時間スライスされた平面空間の経路積分を曲がった空間に変換することで、この問題を解決できます。

場合によっては（例えば曲がった空間を移動する粒子）、関数積分に測度論的因子が含まれることもあります。

${\displaystyle \int \mu [x]e^{iS[x]}\,{\mathcal {D}}x.}$

この要素は、統一性を回復するために必要です。

例えば、

${\displaystyle S=\int \left({\frac {m}{2}}g_{ij}{\dot {x}}^{i}{\dot {x}}^{j}-V(x)\right)\,dt,}$

つまり、各空間スライスに測度√ gが掛け合わされることになります。この測度はD x測度を掛け合わせる関数として表現することはできません。なぜなら、それらはまったく異なるクラスに属しているからです。

行列要素は次のような形をとる。 ${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t')}F({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t')}|x_{i}\rangle }$

${\displaystyle \int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F(x(t'))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$。

これは複数の演算子に一般化され、例えば

${\displaystyle \langle x_{f}|e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t-t_{1})}F_{1}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{1}-t_{2})}F_{2}({\hat {x}})e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}(t_{2})}|x_{i}\rangle =\int _{x(0)=x_{i}}^{x(t)=x_{f}}{\mathcal {D}}[x]F_{1}(x(t_{1}))F_{2}(x(t_{2}))e^{{\frac {i}{\hbar }}\int dtL(x(t),{\dot {x}}(t))}}$、

そして、一般真空期待値（大きな時間制限において）

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}[\phi ]F(\phi )e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}[\phi ]e^{{\frac {i}{\hbar }}S[\phi ]}}}}$。

経路積分では、実時間から虚時間へのウィック回転を実行するのが一般的です。量子場理論の設定では、ウィック回転により時空の幾何学がローレンツからユークリッドに変わります。その結果、ウィック回転経路積分はユークリッド経路積分と呼ばれることがよくあります。

を に置き換えると、時間発展演算子はに置き換えられます。（この変更はウィック回転として知られています。）この設定で経路積分公式の導出を繰り返すと、^{[15]が得られます。}${\displaystyle t}$${\displaystyle -it}$${\displaystyle e^{-it{\hat {H}}/\hbar }}$${\displaystyle e^{-t{\hat {H}}/\hbar }}$

${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}e^{-S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})/\hbar }\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$、

ここでユークリッド作用は次のように与えられる。 ${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }}$

${\displaystyle S_{\mathrm {Euclidean} }(\mathbf {x} ,{\dot {\mathbf {x} }})=\int \left[{\frac {m}{2}}|{\dot {\mathbf {x} }}(t)|^{2}+V(\mathbf {x} (t))\right]\,dt}$。

これと通常の動作との間の符号の変化に注意してください。通常の動作では、位置エネルギー項は負です。(ユークリッドという用語は量子場理論の文脈から来ており、実時間から虚時間への変化によって時空幾何学がローレンツからユークリッドに変化します。)

ここで、経路積分に対する運動エネルギーの寄与は次のようになります。

${\displaystyle {\frac {1}{Z}}\int _{\mathbf {x} (0)=x}f(\mathbf {x} )e^{-{\frac {m}{2}}\int |{\dot {\mathbf {x} }}|^{2}dt}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \,}$

ここで、 は積分関数の経路への残りの依存性をすべて含みます。この積分は、と表記されるウィーナー測度に対する積分として厳密な数学的解釈を持ちます。ノーバート・ウィーナーによって構築されたウィーナー測度は、ブラウン運動のアインシュタインの数学的モデルに厳密な基礎を与えます。下付き文字は、の経路で測度がサポートされていることを示します。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu _{x}}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {x} (0)=x}$

すると、ファインマン経路積分の厳密なバージョンであるファインマン-カック公式が得られる。^[16]

${\displaystyle \psi (x,t)=\int e^{-\int V(\mathbf {x} (t))\,dt/\hbar }\,\psi _{0}(\mathbf {x} (t))\,d\mu _{x}(\mathbf {x} )}$、

ここで、これはシュレーディンガー方程式のウィック回転バージョンを満たす。 ${\displaystyle \psi (x,t)}$

${\displaystyle \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (x,t)=-{\hat {H}}\psi (x,t)}$。

ウィック回転シュレーディンガー方程式は直接的な物理的意味を持たないが、それを研究することでシュレーディンガー演算子の興味深い性質を引き出すことができる。^[17]${\displaystyle {\hat {H}}}$

数学と物理学の文献の両方において、経路積分の観点からの量子場の理論の研究の多くは、ユークリッドの設定、つまりウィック回転の後で行われています。特に、適切な特性を持つユークリッド場の理論を構築できれば、ウィック回転を元に戻して物理的なローレンツ理論を回復できることを示すさまざまな結果があります。^[18]一方、量子場の理論では、経路積分（ユークリッド経路積分でさえ）に意味を与えることは、量子力学よりもはるかに困難です。^{[nb 2]}

経路積分は、上記の積分を量子力学の問題すべてに一般化したものです。

${\displaystyle Z=\int e^{\frac {i{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]}{\hbar }}\,{\mathcal {D}}\mathbf {x} \quad {\text{where }}{\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]=\int _{0}^{t_{f}}L[\mathbf {x} (t),{\dot {\mathbf {x} }}(t)]\,dt}$

は、 t = 0 の時点で始まり、t = t _{f の}時点で終わる経路を調べる古典的な問題の作用であり、すべての経路にわたる積分測度を表します。古典的な極限では、最小作用の経路が積分を支配します。これは、この経路から離れた経路の位相が急速に変動し、異なる寄与が打ち消されるためです。^[19]${\displaystyle {\mathcal {D}}\mathbf {x} }$${\displaystyle {\mathcal {S}}[\mathbf {x} ]\gg \hbar }$

統計力学との関連は次のようになる。同じ構成で始まり、終わる経路のみを考え、ウィック回転 it = ħβを実行する。つまり、時間を虚数にして、すべての可能な開始-終了構成にわたって積分する。前のサブセクションで説明した、通常の動作を「ユークリッド」対応物に置き換えたウィック回転経路積分は、虚数時間に反比例する温度を持つ標準集団で定義された統計力学の分割関数に似ている。⁠1/T⁠ = ⁠私はkBt_​/ħ⁠ 。ただし厳密に言えば、これは統計場理論の分割関数です。

明らかに、量子力学と統計力学のこのような深い類似性は定式化に依存するものではない。標準的な定式化では、状態のユニタリー進化演算子は次のように与えられる。

${\displaystyle |\alpha ;t\rangle =e^{-{\frac {iHt}{\hbar }}}|\alpha ;0\rangle }$

ここで、状態αは時刻t = 0から発展したものである。ここでウィック回転を行い、任意の状態から同じ状態に戻るまでの振幅を（虚数）時間iβで求めると、次の式で表される。

${\displaystyle Z=\operatorname {Tr} \left[e^{-H\beta }\right]}$

これはまさに、先に引用した温度における同じシステムの統計力学の分配関数です。この等価性の 1 つの側面は、エルヴィン シュレーディンガーにも知られており、彼は、自分の名にちなんで名付けられた方程式がウィック回転後の拡散方程式のように見えると述べました。ただし、ユークリッド経路積分は、実際には古典的な統計力学モデル の形式であることに注意してください。

量子力学に対するシュレーディンガーとハイゼンベルクのアプローチはどちらも時間だけを取り上げており、相対論の精神には基づいていない。例えば、ハイゼンベルクのアプローチでは、スカラー場の演算子が交換関係に従うことを要求する。

${\displaystyle [\varphi (x),\partial _{t}\varphi (y)]=i\delta ^{3}(x-y)}$

2 つの同時空間位置xとyに対してであり、これは相対論的に不変な概念ではありません。計算の結果は共変ですが、対称性は中間段階では明らかではありません。単純な場の理論の計算が連続体極限で無限の答えを生成しなかった場合は、これはそれほど大きな問題にはならなかったでしょう。座標の選択が悪かっただけでしょう。しかし、対称性がないということは、無限の量を切り捨てなければならないことを意味し、座標が間違っていると、対称性を損なわずに理論を切り捨てることがほぼ不可能になります。これにより、物理的な予測を抽出することが難しくなり、慎重な制限手順が必要になります。

対称性の喪失の問題は古典力学にも現れ、ハミルトン定式化も表面的には時間だけを取り上げています。ラグランジアン定式化により相対論的不変性が明らかになります。同様に、経路積分は明らかに相対論的です。経路積分はシュレーディンガー方程式、ハイゼンベルクの運動方程式、および標準的な交換関係を再現し、これらが相対論と互換性があることを示しています。経路積分はハイゼンベルク型作用素代数を作用素積則に拡張しますが、これは古い形式ではわかりにくい新しい関係です。

さらに、正準変数の選択が異なると、同じ理論の表現がまったく異なるように見えます。変数間の変換は非常に複雑になることがあります。しかし、経路積分により、積分変数の変更は比較的簡単に行えます。これらの理由から、ファインマン経路積分により、以前の形式論はほぼ時代遅れになりました。

経路積分表現の代償として、理論のユニタリー性はもはや自明ではなくなるが、変数を何らかの標準的な表現に変更することで証明できる。経路積分自体も通常よりも大きな数学的空間を扱うため、より注意深い数学が必要となり、そのすべてが完全に解明されたわけではない。経路積分は歴史的にすぐには受け入れられなかったが、その理由の 1 つは、フェルミオンを適切に組み込むのに何年もかかったためである。このため、物理学者はグラスマン変数というまったく新しい数学的対象を発明する必要があり、これにより変数の変更が自然に行えるようになり、制約付き量子化も可能になった。

経路積分における積分変数は微妙に非可換です。同じ点のように見える 2 つの場の演算子の積の値は、2 つの点が空間と時間でどのように順序付けられているかによって異なります。これにより、いくつかの単純な恒等式が機能しなくなります。

相対論的理論では、すべての理論に対して粒子表現と場表現の両方が存在します。場表現はすべての場の構成の合計であり、粒子表現は異なる粒子の経路の合計です。

非相対論的定式化は、伝統的に場ではなく粒子の経路で与えられます。そこでは、固定された境界条件を持つ通常の変数での経路積分は、粒子が時間T内に点xから点yに移動する確率振幅を与えます。

${\displaystyle K(x,y;T)=\langle y;T\mid x;0\rangle =\int _{x(0)=x}^{x(T)=y}e^{iS[x]}\,Dx.}$

これはプロパゲータと呼ばれます。初期位置xの異なる値と任意の初期状態ψ ₀ ( x )を重ね合わせると、最終状態が構築されます。

${\displaystyle \psi _{T}(y)=\int _{x}\psi _{0}(x)K(x,y;T)\,dx=\int ^{x(T)=y}\psi _{0}(x(0))e^{iS[x]}\,Dx.}$

空間的に均質なシステムの場合、K ( x , y )は( x − y )のみの関数であり、積分は畳み込みであり、最終状態は初期状態とプロパゲータの畳み込みです。

${\displaystyle \psi _{T}=\psi _{0}*K(;T).}$

質量mの自由粒子の場合、伝播関数は経路積分から明示的に評価するか、シュレーディンガー方程式が虚数時間の拡散方程式であることに注目して評価することができ、解は正規化されたガウス分布でなければならない。

${\displaystyle K(x,y;T)\propto e^{\frac {im(x-y)^{2}}{2T}}.}$

( x − y )でフーリエ変換を行うと、別のガウス分布が生成されます。

${\displaystyle K(p;T)=e^{\frac {iTp^{2}}{2m}},}$

p空間では、比例係数は時間に対して一定であり、これは後で検証します。時間に対するフーリエ変換では、K ( p ; T ) を負の時間に対してゼロになるように拡張すると、グリーン関数、つまり周波数空間プロパゲーターが得られます。

${\displaystyle G_{\text{F}}(p,E)={\frac {-i}{E-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }},}$

これはシュレーディンガー方程式の波動関数を消滅させる演算子の逆数であり、比例係数がp空間表現で一定でなければ正しく出力されなかったでしょう。

分母の微小項は小さな正の数であり、これはEの逆フーリエ変換が未来の時間にのみ非ゼロになることを保証します。過去の時間については、逆フーリエ変換の輪郭は、特異点がないEの値に向かって閉じます。これにより、 K が粒子を未来に伝播することが保証され、これがGの添え字「F」の理由です。微小項は、虚数時間に向かう微小回転として解釈できます。

シュレーディンガー方程式は時間可逆なので、非相対論的な時間発展を過去に向かう伝播関数で再表現することも可能です。過去の伝播関数は、未来では消えてしまうという明らかな違いを除けば未来の伝播関数と同じです。ガウス分布ではtが− tに置き換えられます。この場合、これらは最終波動関数を畳み込んで初期波動関数を得るための量であると解釈されます。

${\displaystyle G_{\text{B}}(p,E)={\frac {-i}{-E-{\frac {i{\vec {p}}^{2}}{2m}}+i\varepsilon }}.}$

ほぼ同じで、唯一の変化はEとεの符号であるため、グリーン関数のパラメータE は、経路が未来に向かう場合はエネルギーになり、経路が過去に向かう場合はエネルギーの負数になります。

非相対論的理論では、移動する粒子の経路に沿って測定される時間と、外部の観測者によって測定される時間は同じです。相対論では、これは当てはまりません。相対論的理論では、プロパゲーターは、経路に沿って測定された、固定された固有時間内に 2 点間を移動するすべての経路の合計として定義されます (これらの経路は、空間と時間における粒子の軌跡を表します)。

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{i\int _{0}^{\mathrm {T} }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}}}-\alpha \,d\tau }.}$

上記の積分は平方根のため、解釈が簡単ではありません。幸い、経験的なトリックがあります。合計は振動量の経路の相対論的な弧の長さにわたっており、非相対論的な経路積分と同様に、虚数時間にわずかに回転したものとして解釈する必要があります。関数K ( x − y , τ )は、合計がユークリッド空間の経路にわたる場合に評価できます。

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }\int _{x(0)=x}^{x(\mathrm {T} )=y}e^{-L}.}$

これは、長さTのすべてのパスについて、 の指数から長さを引いたものの合計を表します。これは確率の解釈が可能です。すべてのパスの合計は、ステップごとに構築されたパスの確率平均です。ステップの総数はTに比例し、各ステップは長いほど可能性が低くなります。中心極限定理により、多くの独立したステップの結果は、Tに比例する分散のガウス分布になります。

${\displaystyle K(x-y,\mathrm {T} )=e^{-\alpha \mathrm {T} }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}}.}$

相対論的伝播関数の通常の定義では、振幅がxからyに移動するだけであることが求められ、それには、かかる可能性のあるすべての固有時間を合計する必要があります。

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }K(x-y,\mathrm {T} )W(\mathrm {T} )\,d\mathrm {T} ,}$

ここで、W (Τ)は重み係数、つまり異なる固有時間の経路の相対的な重要性です。固有時間における並進対称性により、この重みは指数係数のみとなり、定数αに吸収されます。

${\displaystyle K(x-y)=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{\mathrm {T} }}-\alpha \mathrm {T} }\,d\mathrm {T} .}$

これはシュウィンガー表現です。変数( x − y )のフーリエ変換は、 Tの各値に対して個別に実行できます。また、各個別のT寄与はガウス分布であるため、 が得られ、そのフーリエ変換は逆数の幅を持つ別のガウス分布です。したがって、 p空間では、プロパゲータは次のように単純に再表現できます。

${\displaystyle K(p)=\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {T} p^{2}-\mathrm {T} \alpha }\,d\mathrm {T} ={\frac {1}{p^{2}+\alpha }},}$

これはスカラー粒子のユークリッド伝播関数です。p 0 を虚数に回転すると、通常_の相対論的伝播関数が得られますが、係数− iと曖昧さは以下で明らかにされます。

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}.}$

この表現は非相対論的極限で解釈することができ、部分分数で分割すると便利です。

${\displaystyle 2p_{0}K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}+{\frac {i}{p_{0}+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}}.}$

非相対論的粒子が1つ存在する状態の場合、初期波動関数はp ₀ = m付近に集中した周波数分布を持ちます。プロパゲータと畳み込むと、p空間ではプロパゲータを掛け合わせるだけなので、第2項は抑制され、第1項が強調されます。p 0 = m 付近の周波数では、支配的な第1項は次_の形式になります 。

${\displaystyle 2mK_{\text{NR}}(p)={\frac {i}{(p_{0}-m)-{\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}}}.}$

これは自由シュレーディンガー粒子の 非相対論的グリーン関数の表現です。

2 番目の項にも非相対論的限界がありますが、この限界は負の周波数に集中しています。2 番目の極は、固有時間と座標時間が反対方向に進んでいる経路からの寄与によって支配されており、これは 2 番目の項が反粒子として解釈されることを意味します。非相対論的分析は、この形式では反粒子が依然として正のエネルギーを持っていることを示しています。

これを数学的に表現する適切な方法は、固有時間に小さな抑制係数を加えることで、第 1 項のt → −∞の限界が消え、第 2 項のt → +∞の限界が消える必要があるというものです。フーリエ変換では、これはp ₀の極をわずかにシフトすることを意味します。これにより、逆フーリエ変換は時間方向の 1 つで小さな減衰係数を拾います。

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}+i\varepsilon }}+{\frac {i}{p_{0}-{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}-i\varepsilon }}.}$

これらの項がなければ、 p ₀の逆フーリエ変換を行うときに極の寄与を明確に評価することはできません。これらの項は次のように再結合できます。

${\displaystyle K(p)={\frac {i}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }},}$

これを因数分解すると、各因数に反対符号の微小項が生成されます。これは、あいまいさのない相対論的粒子伝播関数の数学的に正確な形式です。ε項は、 α = m ²に小さな虚数部を導入します。これは、ミンコフスキー版では、長い経路の小さな指数的抑制です。

したがって、相対論的なケースでは、プロパゲーターのファインマン経路積分表現には、反粒子を表す、時間を遡る経路が含まれます。相対論的プロパゲーターに寄与する経路は、時間を前後に移動します。この解釈は、自由粒子が 2 点間を移動する振幅には、粒子が反粒子に変動し、時間を遡り、再び前進する振幅が含まれるというものです。

非相対論的ケースとは異なり、反粒子を含めずに局所粒子伝播の相対論的理論を作成することは不可能です。すべての局所微分演算子は、光円錐の外側で非ゼロの逆関数を持ちます。つまり、粒子が光より速く移動するのを防ぐことは不可能です。このような粒子は、相対論的に不変な理論では、将来のみ非ゼロとなるグリーン関数を持つことはできません。

しかし、経路積分定式化は量子場理論への直接適用においても極めて重要であり、量子場理論では「経路」または履歴は単一の粒子の運動ではなく、全空間にわたる場の可能な時間発展である。作用は技術的には場の関数S [ ϕ ]と呼ばれる。ここで場ϕ ( x ^μ )自体は空間と時間の関数であり、角括弧は作用が特定の値だけでなくあらゆる場所の場のすべての値に依存することを思い出させるものである。時空のそのような与えられた関数ϕ ( x ^μ )の1 つは場の構成と呼ばれる。原理的には、ファインマン振幅をすべての可能な場の構成のクラスにわたって積分する。

QFT の正式な研究の多くは、結果として得られる関数積分の特性に費やされており、これらの関数積分を数学的に正確にするために多くの努力が払われてきました (まだ完全に成功しているわけではありません)。

このような関数積分は、統計力学における分割関数と非常によく似ています。実際、これは分割関数と呼ばれることもあり、ファインマンの公理 3 の指数の係数iを除いて、この 2 つは本質的に数学的に同一です。積分を虚数時間変数まで解析的に継続すると(ウィック回転と呼ばれる)、関数積分はさらに統計分割関数に似たものになり、これらの積分を扱う際の数学的な困難さもいくらか緩和されます。

量子場の理論では、作用が場の構成の関数 S（局所的に場にのみ依存）によって与えられる場合、多項式的に有界な関数Fの時間順序付き 真空期待値⟨ F ⟩は次のように与えられる。

${\displaystyle \langle F\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}}}.}$

ここでの記号∫ D ϕ は、すべての時空上のすべての可能な場の構成にわたる無限次元積分を表す簡潔な方法です。前述のように、分母の簡素な経路積分により、適切な正規化が保証されます。

厳密に言えば、物理学で尋ねることができる唯一の質問は、「条件A を満たす状態のうち、条件Bも満たす割合はどれくらいか」ということです。この答えは 0 から 1 の間の数値で、条件付き確率として解釈でき、P( B | A )と書きます。経路積分の観点から言えば、P( B | A ) = ⁠P  ( A∩B )​/ P(あ)⁠、これは

${\displaystyle \operatorname {P} (B\mid A)={\frac {\sum _{F\subset A\cap B}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}{\sum _{F\subset A}\left|\int {\mathcal {D}}\varphi O_{\text{in}}[\varphi ]e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]}F[\varphi ]\right|^{2}}},}$

ここで、 [ ϕ ]_における関数Oは、私たちが関心のある状態につながる可能性のあるすべての入力状態の重ね合わせです。特に、これはビッグバン直後の宇宙の状態に対応する状態である可能性がありますが、実際の計算では、これはヒューリスティックな方法を使用して簡略化できます。この式は経路積分の商であるため、自然に正規化されます。

量子力学のこの定式化は古典的な作用原理に類似しているため、古典力学における作用に関する恒等式には、関数積分から導出可能な量子対応物があると考えられるかもしれません。これはよくあるケースです。

関数解析の言語では、オイラー・ラグランジュ方程式は次のように 書ける。

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}=0}$

（左辺は関数微分であり、この方程式は、場の構成が少し変化しても作用は定常であることを意味します）。これらの方程式の量子版は、シュウィンガー・ダイソン方程式と呼ばれます。

もし関数測度D ϕが並進不変であると判明した場合（この記事の残りの部分ではこれを仮定しますが、これは非線形シグマモデルには当てはまりません）、そしてウィック回転後に

${\displaystyle e^{i{\mathcal {S}}[\varphi ]},}$

それが今では

${\displaystyle e^{-H[\varphi ]}}$

あるHに対して、 φの大きな値に対して任意の多項式の逆数よりも速くゼロに近づくので、部分積分（ウィック回転の後に再びウィック回転）して、期待値に対する次のシュウィンガー・ダイソン方程式を得ることができます。

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta F[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle =-i\left\langle F[\varphi ]{\frac {\delta {\mathcal {S}}[\varphi ]}{\delta \varphi }}\right\rangle }$

任意の多項式有界関数Fに対して、 deWitt記法では次のようになる^[20]。

${\displaystyle \left\langle F_{,i}\right\rangle =-i\left\langle F{\mathcal {S}}_{,i}\right\rangle .}$

これらの方程式はオンシェルEL 方程式の類似物です。時間順序はS _、i内の時間微分の前に取られます。

J（ソースフィールドと呼ばれる）がフィールド構成の双対空間の要素である場合（関数測度の並進不変性の仮定により、少なくともアフィン構造を持つ）、ソースフィールドの生成関数 Zは次のように 定義されます。

${\displaystyle Z[J]=\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}.}$

ご了承ください

${\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[J]=i^{n}\,Z[J]\,\left\langle \varphi (x_{1})\cdots \varphi (x_{n})\right\rangle _{J},}$

または

${\displaystyle Z^{,i_{1}\cdots i_{n}}[J]=i^{n}Z[J]\left\langle \varphi ^{i_{1}}\cdots \varphi ^{i_{n}}\right\rangle _{J},}$

どこ

${\displaystyle \langle F\rangle _{J}={\frac {\int {\mathcal {D}}\varphi F[\varphi ]e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}{\int {\mathcal {D}}\varphi e^{i\left({\mathcal {S}}[\varphi ]+\langle J,\varphi \rangle \right)}}}.}$

基本的に、D φ e ^{i S [ φ ]}を関数分布と見なすと（ウィック回転統計力学の類似物とは異なり、ここでは時間順序付けの複雑さがあるため、 QFTの解釈として文字通りに受け取るべきではありません）、⟨ φ ( x ₁ ) ... φ ( x _n )⟩ はそのモーメントであり、Z はそのフーリエ変換です。

F がφの関数である場合、演算子 Kに対して、F [ K ] はK をφに置き換える演算子として定義されます。たとえば、

${\displaystyle F[\varphi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\varphi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\varphi (x_{n}),}$

そしてGはJの汎関数であるので、

${\displaystyle F\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J].}$

そして、関数積分の性質から

${\displaystyle \left\langle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}[\varphi ]+J(x)\right\rangle _{J}=0}$

すると「マスター」シュウィンガー・ダイソン方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0,}$

または

${\displaystyle {\mathcal {S}}_{,i}[-i\partial ]Z+J_{i}Z=0.}$

関数測度が並進不変でない場合は、積M [ φ ] D φとして表現できる可能性があります。ここで、Mは関数で、D φ は並進不変測度です。これは、たとえば、ターゲット空間がR ⁿに微分同相である非線形シグマモデルの場合に当てはまります。ただし、ターゲット多様体が位相的に非自明な空間である場合、並進の概念はまったく意味をなしません。

その場合、この式のSを別の関数に 置き換える必要があります。

${\displaystyle {\hat {\mathcal {S}}}={\mathcal {S}}-i\ln M.}$

この方程式をJ = 0についてのテイラー級数として展開すると、シュウィンガー・ダイソン方程式の全体が得られます。

経路積分は通常、無限の時空を通るすべての経路の合計であると考えられています。しかし、局所量子場理論では、すべてを有限の因果的に完全な領域、たとえば二重光円錐内に存在するように制限します。これにより、量子場理論のより数学的に正確で物理的に厳密な定義が得られます。

では、古典的なケースにおけるオンシェル ノイマンの定理はどうでしょうか。量子的な類似物もあるのでしょうか。はい、ただし注意点があります。関数の測度は、対称変換の 1 つのパラメーター グループの下でも不変である必要があります。

ここでは、簡単にするために、問題の対称性が局所的であると仮定しましょう（ゲージ対称性の意味で局所的ではなく、無限小変換の下での任意の点における場の変換された値が、問題の点の任意の小さな近傍での場の構成にのみ依存するという意味です）。また、作用がラグランジアンの時空上の積分であるという意味で局所的であると仮定しましょう。

${\displaystyle Q[{\mathcal {L}}(x)]=\partial _{\mu }f^{\mu }(x)}$

ある関数fに対して、f は局所的にφ (および場合によっては時空位置) にのみ依存します。

特別な境界条件を仮定しない場合、これは一般に、f = 0などの条件がない限り、用語の本当の意味での「真の」対称性にはなりません。ここで、Q は、問題の 1 つのパラメータ グループを生成する導出です。 BRSTや超対称性などの反導出も考えられます。

また、

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q[F][\varphi ]=0}$

任意の多項式有界関数Fに対して成り立ちます。この性質は測度の不変性と呼ばれ、一般には成り立ちません。(詳細については 異常性 (物理学)を参照してください。)

それから、

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,Q\left[Fe^{iS}\right][\varphi ]=0,}$

これは

${\displaystyle \langle Q[F]\rangle +i\left\langle F\int _{\partial V}f^{\mu }\,ds_{\mu }\right\rangle =0}$

ここで積分は境界を越えて行われます。これはノイマンの定理の量子版です。

さて、 Qが局所積分である と仮定しましょう。

${\displaystyle Q=\int d^{d}x\,q(x)}$

どこ

${\displaystyle q(x)[\varphi (y)]=\delta ^{(d)}(X-y)Q[\varphi (y)]\,}$

となることによって\

${\displaystyle q(x)[S]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\,}$

どこ

${\displaystyle j^{\mu }(x)=f^{\mu }(x)-{\frac {\partial }{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}{\mathcal {L}}(x)Q[\varphi ]\,}$

(これはラグランジアンがφとその最初の偏導関数のみに依存すると仮定しています。より一般的なラグランジアンでは、この定義の修正が必要になります。) q ( x )が対称性の生成元であると主張しているわけではありません (つまり、ゲージ原理を主張しているわけではありません)。Qがそうであるということだけを主張しています。また、関数測度が局所的に不変であるというさらに強い仮定も仮定しています。

${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\varphi \,q(x)[F][\varphi ]=0.}$

そうすると、

${\displaystyle \langle q(x)[F]\rangle +i\langle Fq(x)[S]\rangle =\langle q(x)[F]\rangle +i\left\langle F\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\right\rangle =0.}$

あるいは、

${\displaystyle q(x)[S]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=\partial _{\mu }j^{\mu }(x)\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}$

上記の2つの方程式は、Ward–Takahashi 恒等式です。

さて、 f = 0の場合、境界条件や局所性仮定はすべて忘れてよい。単純に

${\displaystyle \left\langle Q[F]\right\rangle =0.}$

あるいは、

${\displaystyle \int d^{d}x\,J(x)Q[\varphi (x)]\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]=0.}$

ここで定義される経路積分には、レギュレータの導入が必要です。レギュレータのスケールを変更すると、くりこみ群が発生します。実際、くりこみは、経路積分を明確に定義する上での大きな障害です。

配置空間で作業するか位相空間で作業するかに関係なく、演算子形式と経路積分定式化を等しくする場合、非可換演算子と経路積分関数に現れる可換関数との間の対応における曖昧さを解決するために順序付けの規定が必要です。たとえば、演算子は、、、または Weyl 順序付け規定のいずれを選択するかに応じて、、、またはのいずれかに変換できます。逆に、同じ順序付け規定のそれぞれの選択に応じて、は、、、またはのいずれかに変換できます。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}$${\displaystyle qp-{\frac {i\hbar }{2}}}$${\displaystyle qp+{\frac {i\hbar }{2}}}$${\displaystyle qp}$${\displaystyle {\hat {q}}{\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {p}}{\hat {q}}}$${\displaystyle qp}$${\displaystyle {\hat {q}}{\hat {p}}}$${\displaystyle {\hat {p}}{\hat {q}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}({\hat {q}}{\hat {p}}+{\hat {p}}{\hat {q}})}$

量子力学の解釈の一つである「履歴の総和」解釈では、経路積分が基本的なものとされ、現実は、すべて同じイベントを共有する単一の区別できない経路の「クラス」として見なされます。^[21]この解釈では、イベントが正確に何であるかを理解することが非常に重要です。履歴の総和法は、標準的な量子力学と同じ結果をもたらし、シンハとソーキン^[22]は、この解釈が非局所性に頼ることなくアインシュタイン-ポドルスキー-ローゼンのパラドックスを説明できると主張しています。

デコヒーレンスを強調する量子力学の解釈を主張する一部の^{[誰? ]}は、すべての可能な履歴の空間から古典的な「粗粒度の」履歴を抽出するという概念をより厳密にしようと試みてきました。

量子力学では経路積分の定式化は他の定式化と完全に同等であるが、量子重力に拡張できる可能性があり、ヒルベルト空間モデルとは異なるものになる可能性がある。ファインマンはこの方向である程度成功しており、彼の研究はホーキングらによって拡張された。^[23]この方法を使用するアプローチには、因果動的三角測量とスピンフォームモデルが含まれる。

量子トンネル効果は、経路積分形成を用いてポテンシャル障壁を通過する軌道の作用を決定することによってモデル化することができる。WKB近似を用いると、トンネル効果率（Γ）は次のように決定される 。

${\displaystyle \Gamma =A_{\mathrm {o} }\exp \left(-{\frac {S_{\mathrm {eff} }}{\hbar }}\right)}$

有効作用S _effと指数関数前因子A _oを伴う。この形式は、システムと周囲を一緒にモデル化する必要がある散逸システムで特に役立ちます。ランジュバン方程式を使用してブラウン運動をモデル化すると、経路積分の形成を使用して有効作用と指数関数前モデルを決定し、散逸がトンネル効果に与える影響を確認できます。^[24]このモデルから、マクロシステムのトンネル効果速度（有限温度）を予測できます。

• Scholarpedia の経路積分
• 量子理論における経路積分：教育的第一歩
• YouTube のアニメーションによる摂動経路積分への数学的に厳密なアプローチ
• ファインマンの無限の量子経路 | PBS Space Time。2017 年 7 月 7 日。(ビデオ、15:48)