静力と仮想粒子交換

プラズマ波の分散関係は^{[ 5 ]： 75-82}である。$${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){\frac {T_{\text{e}}}{m}}\mathbf {k} ^{2}.}$$ どこ${\displaystyle \omega }$は波の角周波数であり、 $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$プラズマ周波数 ​​は、${\displaystyle e}$は電子電荷の大きさです。${\displaystyle m}$は電子の質量です。${\displaystyle T_{\text{e}}}$は電子温度（ボルツマン定数は1）であり、${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$は周波数によって1から3まで変化する係数です。プラズマ周波数​​のオーダーの高周波数では、電子流体の圧縮は断熱過程であり、${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$は３に等しい。低周波数では、圧縮は等温プロセスであり、${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$は1に等しい。プラズマ波の分散関係を求める際には、遅延効果は無視されている。

低周波数では、分散関係は次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}+\mathbf {k} _{\text{D}}^{2}=0}$$ どこ $${\displaystyle k_{\text{D}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{T_{e}}}}$$はデバイ数であり、デバイ長 の逆数です。これは、プロパゲーターが $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{k^{2}+k_{\text{D}}^{2}}}.}$$

実際、遅延効果を無視しない場合、分散関係は次のようになります。 $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+k_{\text{D}}^{2}-{\frac {m}{T_{\text{e}}}}k_{0}^{2}=0,}$$ これは確かに推測されたプロパゲーターを与える。このプロパゲーターは、質量がデバイ長の逆数に等しい質量を持つクーロンプロパゲーターと同じである。したがって、相互作用エネルギーは次のようになる。 $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{D}}r\right).}$$ クーロンポテンシャルは、デバイ長程度の長さスケールで遮蔽される。

量子電子ガスでは、プラズマ波はプラズモンとして知られています。デバイ遮蔽はトーマス・フェルミ遮蔽に置き換えられ、 ^{[ 6 ]}が得られます。$${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{s}}r\right)}$$ ここで、トーマス・フェルミ遮蔽長の逆数は $${\displaystyle k_{\text{s}}^{2}={\frac {6\pi ne^{2}}{\varepsilon _{\text{F}}}}}$$ そして${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$フェルミエネルギーは${\textstyle \varepsilon _{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}.}$

この式は、電子ガスの化学ポテンシャルとポアソン方程式から導出できます。平衡状態に近い電子ガスの化学ポテンシャルは一定であり、次式で与えられます。 $${\displaystyle \mu =-e\varphi +\varepsilon _{\text{F}}}$$ どこ${\displaystyle \varphi }$は電位である。フェルミエネルギーを密度ゆらぎの一次まで線形化し、ポアソン方程式と組み合わせると、遮蔽長が得られる。力の伝達体はプラズマ波の量子版である。

電子ガス中に埋め込まれた、 z軸方向に軸を持つ線状電荷を考える。$${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{B}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$ どこ${\displaystyle r}$は、電荷線からxy平面上の距離です。${\displaystyle L_{B}}$は、z方向の材料の幅です。上付き文字2は、ディラックのデルタ関数が2次元であることを示しています。プロパゲーターは $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$ どこ${\displaystyle k_{Ds}}$は、デバイ・ヒュッケル遮蔽長の逆数、またはトーマス・フェルミ遮蔽長の逆数のいずれかである。

相互作用エネルギーは $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$ どこ${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$そして${\displaystyle K_{0}(x)}$はベッセル関数であり、${\displaystyle r_{12}}$は2つの線電荷間の距離です。相互作用エネルギーを求める際に、積分を利用しました（量子場理論における共通積分§ 質量を持つ円筒形プロパゲーターの積分を参照）。 $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$ そして $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr)=K_{0}(mr).}$$

のために${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$、 我々は持っています $${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\to -\ln \left({\frac {k_{Ds}r_{12}}{2}}\right)+0.5772.}$$

我々は、電子ガス中に埋め込まれた、磁場に沿った軸を持つ管内の電荷密度を考察する。 $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$ どこ${\displaystyle r}$はガイドセンターからの距離です。${\displaystyle L_{B}}$は磁場方向における材料の幅である。 $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$ ここで、サイクロトロン周波数は（ガウス単位） $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {a_{1}B}{{\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}}$$ そして $${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2\hbar \omega _{c}}{m_{1}}}}}$$ は磁場に対する粒子の速度、Bは磁場の大きさである。速度の公式は、磁場中の荷電粒子の量子力学的取り扱いにおいて、古典的な運動エネルギーをランダウ準位間の間隔に等しいと設定することによって得られる。

この幾何学では、相互作用エネルギーは次のように書ける。 $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$ どこ${\displaystyle r_{12}}$は電流ループの中心間の距離であり、${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$は第一種 ベッセル関数である。相互作用エネルギーを求める際に、積分を利用した。$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)={\mathcal {J}}_{0}(p).}$$

平衡付近の化学ポテンシャルは、次式で与えられる。 $${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$$ どこ${\displaystyle -e\varphi }$は電位中の電子のポテンシャルエネルギーであり、${\displaystyle N_{0}}$そして${\displaystyle N}$は、それぞれ静電ポテンシャルがない場合とある場合の電子ガス中の粒子数である。

密度変動は $${\displaystyle \delta n={\frac {e\varphi }{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}}$$ どこ${\displaystyle A_{\text{M}}}$これは、磁場に垂直な平面内の物質の面積です。

ポアソン方程式は $${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$$ どこ $${\displaystyle k_{B}^{2}={\frac {4\pi e^{2}}{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}.}$$

伝播器は $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={\frac {1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$ そして相互作用エネルギーは $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}$$ ここで、2番目の等式（ガウス単位）では、渦が同じエネルギーと電子電荷を持っていると仮定します。

プラズモンとの類推から言えば、力伝達体は、磁場に垂直に伝播する縦方向のプラズマ波である上部ハイブリッド振動の量子版である。

単純なプラズマまたは電子ガスに埋め込まれた磁場中で回転する電流管を考えます。磁場に垂直な平面内にある電流は、次のように定義されます。 $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(\mathbf {x} )=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}\left({\hat {\mathbf {b} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\right)}$$ どこ $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}}$$ そして${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$は磁場方向の単位ベクトルです。${\displaystyle L_{B}}$は、磁場方向における材料の寸法を示します。波ベクトルに垂直な横方向電流が横波を駆動します。

相互作用のエネルギーは $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\left(kr_{12}\right)}}$$ どこ${\displaystyle r_{12}}$は電流ループの中心間の距離であり、${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$は第一種 ベッセル関数である。相互作用エネルギーを求める際に、積分を利用した。$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$ そして $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

量子場理論における一般的な積分 § 円筒座標における角度積分を参照してください。

磁場に垂直な平面に閉じ込められたプラズマ中の電流は異常波を生成する。^{[ 5 ]： 110-112}この波はホール電流を生成し、それが相互作用して電磁場を変化させる。異常波の分散関係は^{[ 5 ]： 112である。}$${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+\omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}}}=0,}$$ これは伝播者に対して $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({\frac {1}{k^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$ どこ $${\displaystyle k_{X}\equiv {\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{H}}}}$$ ダーウィンの伝播器に類似して、ここでは、上部ハイブリッド周波数は次のように与えられる。 $${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$$ サイクロトロン周波数は (ガウス単位) で与えられる。$${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{mc}},}$$ プラズマ周波数​​（ガウス単位） $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}.}$$

ここで、nは電子密度、eは電子電荷の大きさ、mは電子質量である。

同種の電流の場合、相互作用エネルギーは次のようになる。 $${\displaystyle E=-\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

電流ループ間の距離が小さい極限では、 $${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}{\left(\mu \right)}K_{1}{\left(\mu \right)}}$$ どこ $${\displaystyle E_{0}=\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}}$$ そして $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}}}=k_{X}\;r_{B}}$$ IとKは変形ベッセル関数です。2つの電流は同じ電荷と速度を持つと仮定しました。

我々は積分を利用した（量子場理論における共通積分§ 質量を持つ円筒形プロパゲーターの積分を参照）。 $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$$

小さなmrの場合、積分は次のようになります。 $${\displaystyle I_{1}{\left(mr\right)}K_{1}{\left(mr\right)}\to {\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\left(mr\right)^{2}\right].}$$

大きなrに対して、積分は次のようになる $${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {\frac {1}{2}}\;\left({\frac {1}{mr}}\right).}$$

遮蔽波数(ガウス単位) は次のように表すことができます。$${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}c}}=\left({\frac {2e^{2}r_{B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$ どこ${\displaystyle \alpha }$は微細構造定数であり、充填率は $${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi N\hbar c}{eBA}}}$$ ここで、Nは材料中の電子の数、Aは磁場に垂直な材料の面積です。このパラメータは量子ホール効果と分数量子ホール効果において重要です。充填率は、基底状態エネルギーにおける占有ランダウ状態の割合です。

量子ホール効果に関心のあるケースでは、${\displaystyle \mu }$は小さい。その場合、相互作用エネルギーは $${\displaystyle E=-{\frac {E_{0}}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\mu ^{2}\right]}$$ ここで（ガウス単位） $${\displaystyle E_{0}={4\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$ は、充填因子がゼロの場合の相互作用エネルギーです。古典的な運動エネルギーを量子エネルギーに設定しました。 $${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\hbar \omega _{c}.}$$