表現（数学）

グラフ理論の活発な研究分野の一つは、グラフと他の構造との間の同型性の探求である。このような問題の重要なクラスは、無向グラフの隣接関係と同様に、集合の交差（より正確には非交差性）が対称関係であるという事実から生じる。これにより、無数の集合族の交差グラフの研究が生まれる。 ^{[ 3 ]}ここでの基礎的な結果の一つは、ポール・エルデシュとその同僚 によるもので、すべてのn頂点グラフは、n ^2/4以下のサイズの集合の部分集合間の交差によって表現できるということである。^{[ 4 ]}

隣接行列やラプラシアン行列などの代数構造によってグラフを表現すると、スペクトルグラフ理論という分野が生まれる。^{[ 5 ]}

上記のすべてのグラフが交差グラフであるという観察と双対なのは、すべての半順序集合（またはポセットとも呼ばれる）が包含（または包含）関係⊆によって順序付けられた集合の集合と同型であるという事実である。自然なオブジェクトのクラスの包含順序として生じるポセットには、ブール束と次元nの順序が含まれる。^{[ 6 ]}

多くの半順序は幾何学的オブジェクトの集合から生じ（したがって、それらの集合によって表現できる）、その中にはnボール順序がある。1 ボール順序は区間包含順序であり、2 ボール順序はいわゆる円順序、つまり平面上の円盤間の包含関係で表現できる半順序集合である。この分野における特に優れた成果は、頂点と辺の接続関係が円順序であるグラフとして平面グラフを特徴づけることである。 ^{[ 7 ]}

包含関係に基づかない幾何学的表現も存在する。実際、これらのうち最もよく研​​究されているクラスの1つは区間順序^{[ 8 ]}であり、これは実数直線上の区間の互いに素な優先順位と呼ばれるものに関して部分順序を表す。部分集合の各要素xは区間[ x1 _, x2 ]で表され、部分集合内の任意_のyとzに対して、 y2 < z1の場合に限り_yはzより小さい_。

論理学では、代数を関係構造として表現できることが、代数的意味論と関係的意味論の等価性を証明するためによく用いられる。その例としては、ストーンによるブール代数の集合体としての表現^{[ 9 ]、}エサキアによるハイティング代数の集合のハイティング代数としての表現^{[ 10 ]} 、表現可能な関係代数と表現可能な円筒代数の研究^{[ 11 ]}などが挙げられる。

特定の状況下では、単一の関数f  : X → Yが、 X上の複数の数学的構造からの同型写像となることがあります。これらの構造はそれぞれ、直感的にイメージYの意味（ Y が私たちに伝えようとしていることの 1 つ）と考えることができるため、この現象は多義性と呼ばれます。これは言語学から借用した用語です。多義性の例としては、次のようなものがあります。

• 交差多義性—共通の頂点集合V上のグラフG ₁とG ₂のペアは、単一の集合S _vによって同時に表現でき、 V内の任意の異なる頂点uとw は、対応する集合が交差する場合 ( S _u ∩ S _w ≠ Ø )に限りG ₁で隣接し、補集合が交差する場合 ( S _u ^C ∩ S _w ^C ≠ Ø )に限りG _{2で隣接します。} ^{[ 12 ]}

• 競争多義性—生態系の食物網の研究に触発されたもので、そこでは種のペアが共通の獲物や共通の捕食者を持つことがある。 1 つの頂点集合上のグラフのペアG ₁とG ₂は、同じ頂点集合上に単一の有向グラフDが存在し、任意の異なる頂点uとvがG 1で隣接しているのは_、uwとvw の両方がDの弧となるような頂点wが存在する場合のみであり、G _{2 で隣接しているのは、}wuとwvの両方がDの弧となるような頂点wが存在する場合のみである。^{[ 13 ]}

• 区間多義性— 共通の基底集合上の半順序集合P ₁とP ₂のペアは、単一の実区間の集合によって同時に表現することができ、つまり、 P ₁の区間順序表現とP ₂の区間包含表現である。^{[ 14 ]}