アニヨン

物理学 において、エニオンはこれまで2次元系でのみ観測されてきた準粒子の一種である。3次元系では、フェルミオンとボソンの2種類の素粒子のみが観測されている。エニオンはフェルミオンとボソンの中間の統計的性質を持つ。^{[1]一般に、} 2つの同一粒子を交換する操作は、全体的な位相シフトを引き起こす可能性はあるものの、観測可能なものには影響を与えない。エニオンは一般にアーベル型と非アーベル型に分類される。2020年に2つの実験で検出されたアーベル型エニオン^[2]は、分数量子ホール効果において大きな役割を果たしている。

大規模な多体系の統計力学は、マクスウェル・ボルツマン統計によって記述される法則に従います。量子統計は、フェルミオンとボソンと呼ばれる 2 種類の粒子の異なる動作のため、より複雑です。ただし、2 次元システムには、エニオンと呼ばれる 3 番目の種類の粒子が存在します。

私たちが住む 3 次元の世界には、互いに反発する「フェルミオン」と、くっつきやすい「ボソン」の 2 種類の粒子しかありません。よく知られているフェルミオンは電気を運ぶ電子で、よく知られているボソンは光を運ぶ光子です。しかし、2 次元の世界には、フェルミオンやボソンのようには動作しない別の種類の粒子、エニオンがあります。

—  「ついに、エニオンがその異質な量子特性を明らかにする」、アールト大学プレスリリース、2020年4月^[3]

2 次元の世界では、2 つの同一のエニオンが、3 次元の物理学では起こり得ない方法で場所を交換すると、波動関数が変化します。

...2 次元では、同一の粒子を 2 回交換することは、そのままにしておくことと同じではありません。2 回交換した後の粒子の波動関数は、元のものと異なる可能性があります。このような異常な交換統計を持つ粒子は、エニオンとして知られています。対照的に、3 次元では、粒子を 2 回交換しても波動関数は変化しないため、1 回の交換後も波動関数が同じままであるボソンと、交換によって波動関数の符号のみが変化するフェルミオンの 2 つの可能性しか残りません。

— キリル・シュテンゲル、「誰にでも家はあるか？」ネイチャー・フィジックス^[4]

同一の粒子を交換する、またはある粒子を別の粒子の周りで回すこのプロセスは、「編組」と呼ばれます。2つのエニオンを編むと、それらの変化した波動関数が編組の数を記録するため、イベントの履歴記録が作成されます。^[5]

マイクロソフトは、トポロジカル量子コンピューティングの潜在的な基盤として、エニオンに関する研究に投資してきました。^[6]エニオンは、メモリの形態として量子コンピューティングで役立つ可能性があります。^[6]エニオンが互いに周回する（「編み込み」）と、他の潜在的な量子コンピューティング技術よりも堅牢な方法で情報がエンコードされます。^[7]ただし、量子コンピューティングへの投資のほとんどは、エニオンを使用しない方法に基づいています。^[7]

物理学における多くの深い考えと同様に、エニオンの位相的な基礎はディラックにまで遡ることができます。

— ビーデンハーン他『アニオンの祖先』^[8]

1977年、オスロ大学の理論物理学者ジョン・マグネ・レイナスとヤン・ミルハイムの2人は、粒子が2次元のみで動くように制限されている場合、粒子をフェルミオンまたはボソンに分類するという従来の分類は当てはまらないことを示した。^[9]ボソンでもフェルミオンでもない仮想粒子は、これまで予想されていなかったさまざまな特性を示すことが予想される。1982年、フランク・ウィルチェクは2次元の準粒子の分数統計を研究した2つの論文を発表し、順列による位相シフトが任意の値を取る可能性があることを示すために、準粒子に「エニオン」という名前を付けた。^[10]

ダニエル・ツイとホルスト・シュテルマーは1982年に分数量子ホール効果を発見した。ウィルチェクが開発した数学は、ハーバード大学のベルトラン・ハルペリンがその側面を説明するのに役立った。^[11]フランク・ウィルチェク、ダン・アロヴァス、ロバート・シュリーファーは1985年にこの主張を明示的な計算で検証し、これらのシステムに存在する粒子は実際にはエニオンであると予測した。^{[12] [13]}

量子力学、およびいくつかの古典的な確率システムでは、区別できない粒子は、粒子iの状態を 粒子jの状態と 交換しても(記号的には⁠ ⁠${\displaystyle \psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j}$ )、測定可能なほど異なる多体状態にはならないという特性を持っています。

たとえば、量子力学システムでは、区別できない 2 つの粒子があり、粒子 1 が状態⁠ ⁠${\displaystyle \psi _{1}}$で粒子 2 が状態⁠ ⁠${\displaystyle \psi _{2}}$であるシステムは、ディラック表記で状態⁠ ⁠ を${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle }$持ちます。ここで、2 つの粒子の状態を交換すると、システムの状態は⁠ ⁠になります。これらの 2 つの状態には測定可能な違いがないため、位相係数を除いて同じベクトルになります。 ${\displaystyle \left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle }$

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .}$

ここで、⁠ ⁠ は${\displaystyle e^{i\theta }}$位相因子です。3次元以上の空間では、位相因子は⁠ ⁠${\displaystyle 1}$または⁠ ⁠${\displaystyle -1}$です。したがって、素粒子は、位相因子が⁠ ⁠${\displaystyle -1}$であるフェルミオン、または位相因子が⁠ ⁠${\displaystyle 1}$であるボソンのいずれかです。これら2つのタイプは統計的動作が異なります。フェルミオンはフェルミ-ディラック統計に従い、ボソンはボーズ-アインシュタイン統計に従います。特に、位相因子は、フェルミオンがパウリの排他原理に従う理由です。2つのフェルミオンが同じ状態にある場合、次のようになります。

${\displaystyle \left|\psi \psi \right\rangle =-\left|\psi \psi \right\rangle .}$

状態ベクトルはゼロでなければなりません。つまり、正規化できず、非物理的です。

しかし、2次元システムでは、フェルミ・ディラック統計とボーズ・アインシュタイン統計の間を連続的に変化する準粒子が観測され、1977年にオスロ大学のジョン・マグネ・レイナスとヤン・ミルハイムによって初めて示された。 ^[14] 2粒子の場合、これは次のように表される。

${\displaystyle \left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle ,}$

ここで、⁠ ⁠ は${\displaystyle e^{i\theta }}$⁠ ⁠${\displaystyle -1}$や⁠ ⁠${\displaystyle 1}$以外の値を取ることもできます。この省略表現では表記法が若干乱用されていることに注意することが重要です。実際には、この波動関数は多値になる可能性があり、通常は多値です。この表現が実際に意味するのは、粒子 1 と粒子 2 が、それぞれが他方の周りを反時計回りに半回転するプロセスで交換されると、2 粒子システムは、複素単位ノルム位相係数e ^iθが乗算されることを除いて、元の量子波動関数に戻ります。逆に、時計回りに半回転すると、波動関数にe ^{− iθ}が乗算されます。このような理論は、時計回りと反時計回りが明確に定義された方向である 2 次元でのみ意味をなすのは明らかです。

θ = πの場合、フェルミ–ディラック統計 ( e ^iπ = −1 ) が回復され、 θ = 0 (またはθ = 2 π )の場合、ボーズ–アインシュタイン統計 ( e ^{2 πi} = 1 ) が回復されます。その中間には、異なるものがあります。フランク・ウィルチェックは1982 年にこのような準粒子の挙動を調査し、粒子が交換されたときに任意の位相を持つことができるため、それらを記述するために「エニオン」という用語を作り出した。^[15]ボソンやフェルミオンとは異なり、エニオンは、同じ方法で 2 回交換された場合 (たとえば、エニオン 1 とエニオン 2 を互いの周りを半時計回りに回転させて場所を入れ替え、次に再び互いの周りを半時計回りに回転させて元の場所に戻った場合)、波動関数は必ずしも同じではなく、むしろ一般に何らかの複雑な位相 (この例では e ^{2 iθ ) が乗算されるという特殊な特性があります。}

θ = 2 πsと粒子スピン量子数sを用いることもできる。ここでs はボソンの場合は整数、フェルミオンの場合は半整数である。

${\displaystyle e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s},}$

または

${\displaystyle |\psi _{1}\psi _{2}\rangle =(-1)^{2s}|\psi _{2}\psi _{1}\rangle .}$

エッジでは、分数量子ホール効果エニオンは 1 つの空間次元内での移動に制限されます。1 次元エニオンの数学的モデルは、上記の交換関係の基礎を提供します。

3次元位置空間では、フェルミオンとボソンの統計演算子（それぞれ−1と+1）は、波動関数の空間に作用する置換群（ N個の区別できない粒子のS _{N 個}）の単なる1次元表現です。同様に、2次元位置空間では、アーベルのエニオン統計演算子（e ^iθ ）は、波動関数の空間に作用する編組群（N個の区別できない粒子のB _{N 個}）の単なる1次元表現です。非アーベルのエニオン統計は、編組群の高次元表現です。エニオン統計は、波動関数が置換群の高次元表現である粒子の統計を記述する準統計と混同してはならない。 ^{[16] : 22}

経路のホモトピー類（すなわち、組紐上の同値性の概念）が関連しているという事実は、より微妙な洞察を示唆している。それは、時空内の開始点から終了点までのすべての経路が適切な位相因子で寄与する、ファインマン経路積分から生じる。ファインマン経路積分は、時間を離散化するタイムスライス^[17]と呼ばれる方法を使用してプロパゲーターを展開することから動機付けられる可能性がある。

非ホモトピックパスでは、あるタイムスライスのどの点からも次のタイムスライスのどの点にも到達することはできない。これは、パスのホモトピック同値類が異なる重み係数を持つと考えることができることを意味する。^[18]

したがって、位相的な同値性の概念はファインマン経路積分の研究から生まれたものであることがわかる。^{[16] : 28}

同値性のホモトピック概念が「正しい」使用法であることをより明確に理解するには、アハロノフ・ボーム効果を参照してください。

2020年、2つの科学者チーム（1つはパリ、もう1つはパデュー大学）が、エニオンの存在を示す新たな実験的証拠を発表しました。両方の実験は、ディスカバーマガジンの2020年版「科学の現状」特集号で取り上げられました。^[2]

2020年4月、エコール・ノルマル・シュペリウール（パリ）とナノサイエンス・ナノテクノロジーセンター（C2N）の研究者らは、エニオンの超小型「粒子衝突型加速器」の結果を報告した。彼らは、エニオンの理論予測と一致する特性を検出した。^{[1] [20] [21]}

2020年7月、パデュー大学の科学者たちは異なるセットアップを使用してエニオンを検出しました。チームの干渉計は、ガリウムヒ素とアルミニウムガリウムヒ素で作られた特定の迷路のようなエッチングされたナノ構造を介して電子をルーティングします。「私たちのエニオンの場合、編組によって生成された位相は2π/3でした」と彼は言いました。「これはこれまで自然界で見られたものとは異なります。」^{[22] [23]}

2023年現在、これは依然として活発な研究分野であり、Google Quantum AIは、超伝導プロセッサを使用して、2022年10月にAndersenらによるarXivの記事で、非アーベル的エニオンのような粒子の最初の編組について報告しました。^[24]これは後にNatureに掲載されました。^[25] 2023年5月にリリースされたarXivの記事では、Quantinuumがトラップイオンプロセッサを使用した非アーベル的編組について報告しました。^[26]

1988 年、Jürg Fröhlich はスピン統計定理のもとで粒子交換がモノイド的 (非アーベル統計) であることが妥当であることを示した。 ^[27]特に、これはシステムが何らかの退化を示し、システムの複数の異なる状態が同じ粒子構成を持つ場合に達成できる。この場合、粒子の交換は位相変化に寄与するだけでなく、システムを同じ粒子構成で異なる状態に送ることができる。粒子交換は、この退化した状態のサブスペース上の線形変換に対応する。退化がない場合、このサブスペースは 1 次元であるため、このような線形変換はすべて交換可能である (位相係数による乗算にすぎないため)。退化があり、このサブスペースがより高い次元である場合、これらの線形変換は交換する必要がなくなる (行列の乗算が交換しないのと同じように)。

グレゴリー・ムーア、ニコラス・リード、シャオガン・ウェンは、非アーベル統計が分数量子ホール効果（FQHE）で実現できることを指摘した。^{[28] [29]}当初、非アーベルエニオンは一般に数学的な好奇心と考えられていたが、アレクセイ・キタエフが非アーベルエニオンを使ってトポロジカル量子コンピュータを構築できることを示したことで、物理学者たちはその発見に向けて動き始めた。2012年現在、ν = 5/2 FQHE状態の研究で有望なヒントが出てきているものの、非アーベルエニオンの存在を決定的に実証した実験はない。^{[更新が必要] [30] [31]}非可換アニオンの実験的証拠は、まだ決定的ではなく、現在議論の余地があるものの、^[32] 2013年10月に発表されました。^{[更新が必要] [33]}最近の研究では、トラップイオンプロセッサ上での非可換位相秩序とアニオンの生成^[26]と、超伝導プロセッサでのグラフ頂点の非可換編組の実証が主張されています。^[25]

2 つのフェルミオン (たとえば、スピン 1/2 の両方) を複合ボソン (合計スピンが0 と 1 の重ね合わせ) として一緒に見ることができるのとほぼ同じように、2 つ以上のエニオンを一緒にすると複合エニオン (ボソンまたはフェルミオンの可能性がある) が構成されます。複合エニオンは、そのコンポーネントの融合の結果であると言われています。

それぞれ${\displaystyle N}$が個別の統計を持つ同一のアーベル・エニオン(つまり、${\displaystyle \alpha }$ 2つの個別のエニオンが反時計回りの断熱交換を受けると、システムが位相を取得する) がすべて融合すると、それらには統計があります。これ${\displaystyle e^{i\alpha }}$は、 2 つの複合エニオンが互いの周りを反時計回りに回転すると、個別のエニオンの${\displaystyle N^{2}\alpha }$ペア${\displaystyle N^{2}}$(最初の複合エニオンに 1 つ、2 番目の複合エニオンに 1 つ)が存在し、それぞれが位相 ⁠ ⁠ を寄与することに注目することでわかります。${\displaystyle e^{i\alpha }}$同様の分析は、同一でないアーベル・エニオンの融合にも適用されます。複合エニオンの統計は、そのコンポーネントの統計によって一意に決定されます。

非可換アニオンはより複雑な融合関係を持つ。原則として、非可換アニオンを含むシステムでは、統計ラベルがその構成要素の統計ラベルによって一意に決定されるのではなく、量子重ね合わせとして存在する複合粒子が存在する（これは、スピン 1/2 を持つことがわかっている 2 つのフェルミオンが、合計スピン 1 と 0 の量子重ね合わせで一緒になっているのと完全に類似している）。複数のアニオンすべての融合の全体的な統計がわかっている場合、それらのアニオンの一部のサブセットの融合には依然として曖昧さが残っており、それぞれの可能性は一意の量子状態である。これらの複数の状態は、量子計算を行うことができるヒルベルト空間を提供する。 ^[34]

2次元を超える次元では、スピン統計定理によれば、区別できない粒子の多粒子状態は、ボーズ・アインシュタイン統計またはフェルミ・ディラック統計のいずれかに従わなければならない。任意のd  > 2に対して、リー群 SO( d ,1) （ローレンツ群を一般化したもの）とポアンカレ( d ,1)は、最初のホモトピー群としてZ _2を持つ。巡回群Z ₂は2つの要素で構成されているため、2つの可能性のみが残る。（詳細はこれより複雑だが、これが重要な点である。）

状況は2次元では変わります。ここで、SO(2,1)とポアンカレ(2,1)の最初のホモトピー群はZ (無限巡回)です。これは、Spin(2,1)が普遍被覆ではないことを意味します。つまり、Spin(2,1)は単連結ではありません。詳しくは、 SO(2,1)の線形表現や、その二重被覆であるスピン群Spin(2,1)からは生じない、特殊直交群SO(2,1)の射影表現があります。エニオンは、荷電粒子によるスピン偏極の均等補完表現です。

この概念は非相対論的システムにも適用されます。ここで重要な部分は、空間回転群 SO(2) が無限の第 1 ホモトピー群を持つということです。

この事実は、結び目理論でよく知られている組紐群にも関連しています。この関係は、2次元では2つの粒子の順列の群が対称群S ₂ (2つの要素を持つ) ではなく、組紐群B ₂ (無限の数の要素を持つ) であるという事実を考慮すると理解できます。重要な点は、1つの組紐が他の組紐に巻き付くことができることです。この操作は、時計回りにも反時計回りにも、無限に実行できます。

量子コンピューティングにおける安定性とデコヒーレンスの問題に対する非常に異なるアプローチは、エニオン（準粒子）を糸として使用し、編組理論に依存して安定した量子論理ゲートを形成するトポロジカル量子コンピュータを作成することです。^{[35] [36]}

点粒子としての部分的励起は、2+1 時空次元ではボソン、フェルミオン、またはエニオンになります。点粒子は、3+1 以上の時空次元ではボソンまたはフェルミオンのいずれかのみになることが知られています。ただし、ループ (またはストリング) または膜状の励起は、部分的統計を持つことができる拡張オブジェクトです。

現在の研究では、 3+1次元時空における位相秩序に対してループや弦のような励起が存在し、それらの多重ループ/弦編み統計が3+1次元位相秩序を識別するための重要な特徴であることが示されている。 ^{[37] [38] [39]} 3+1次元位相秩序の多重ループ/弦編み統計は、4次元時空における特定の位相量子場理論のリンク不変量によって捉えることができる。 ^[39]口語的に説明すると、拡張されたオブジェクト（ループ、弦、膜など）は、長距離エンタングルメントシステムにおいて、3+1次元およびそれ以上の高次元時空で潜在的にエニオンになり得る。

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