繁殖器

両極を時計回りに通過する等高線は、因果的遅延伝播関数を与える。これは、xy が空間的であるか、yがxの未来である場合はゼロとなるので、 x ⁰< y ⁰の場合はゼロとなる。

この等高線の選択は、限界を計算することと同等です。 $${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}+i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (x^{0}-y^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (x^{0}-y^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

ここ $${\displaystyle \Theta (x):={\begin{cases}1&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}$$はヘヴィサイド階段関数 です。 $${\displaystyle \tau _{xy}:={\sqrt {(x^{0}-y^{0})^{2}-({\vec {x}}-{\vec {y}})^{2}}}}$$ はxからyまでの適切な時間であり、${\displaystyle J_{1}}$は第一種ベッセル関数である。プロパゲーターがゼロでないのは、 の場合のみである。${\displaystyle y\prec x}$つまり、y はxに因果的に先行し 、ミンコフスキー時空では、

${\displaystyle y^{0}\leq x^{0}}$そして${\displaystyle \tau _{xy}^{2}\geq 0~.}$

この式は、自由スカラー場演算子の 交換子の真空期待値と関連付けることができる。$${\displaystyle G_{\text{ret}}(x,y)=-i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (x^{0}-y^{0}),}$$ どこ $${\displaystyle \left[\Phi (x),\Phi (y)\right]:=\Phi (x)\Phi (y)-\Phi (y)\Phi (x).}$$

両極の下を反時計回りに進む等高線は、因果的前進伝播関数を与える。これは、xy が空間的である場合、またはy がxの過去である場合にゼロとなるため、 x ⁰> y ⁰の場合にゼロとなる。

この等高線の選択は限界を計算することと同等である^{[ 8 ]}$${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{(p_{0}-i\varepsilon )^{2}-{\vec {p}}^{2}-m^{2}}}=-{\frac {\Theta (y^{0}-x^{0})}{2\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+\Theta (y^{0}-x^{0})\Theta (\tau _{xy}^{2}){\frac {mJ_{1}(m\tau _{xy})}{4\pi \tau _{xy}}}.}$$

この式は、自由スカラー場の交換子の真空期待値を用いて表すこともできます。この場合、 $${\displaystyle G_{\text{adv}}(x,y)=i\langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle \Theta (y^{0}-x^{0})~.}$$

左極の下を通り右極の上を通る等高線は、 1948年にリチャード・ファインマンによって導入されたファインマン伝播関数を与える。 ^{[ 9 ]}

この等高線の選択は限界を計算することと同等である^{[ 10 ]}$${\displaystyle G_{F}(x,y)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{(2\pi )^{4}}}\int d^{4}p\,{\frac {e^{-ip(x-y)}}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\begin{cases}-{\frac {1}{4\pi }}\delta (\tau _{xy}^{2})+{\frac {m}{8\pi \tau _{xy}}}H_{1}^{(1)}(m\tau _{xy})&\tau _{xy}^{2}\geq 0\\-{\frac {im}{4\pi ^{2}{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}}}}K_{1}(m{\sqrt {-\tau _{xy}^{2}}})&\tau _{xy}^{2}<0.\end{cases}}}$$

ここで、H ₁ ⁽¹⁾はハンケル関数であり、K ₁は変形ベッセル関数である。

この式は、自由スカラー場の時間順序積の真空期待値として場の理論から直接導出できます。つまり、積は常に時空点の時間順序が同じになるように取られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{F}(x-y)&=-i\langle 0|T(\Phi (x)\Phi (y))|0\rangle \\[4pt]&=-i\left\langle 0|\left[\Theta (x^{0}-y^{0})\Phi (x)\Phi (y)+\Theta (y^{0}-x^{0})\Phi (y)\Phi (x)\right]|0\right\rangle .\end{aligned}}}$$

この式は、点xと点yが空間的な間隔で隔てられているときに場演算子が互いに可換である限り、ローレンツ不変である。

通常の導出では、ローレンツ共変正規化を持つ場の間に完全な一粒子運動量状態を挿入し、次に、粒子とその反粒子の2つのΘ関数が、上記のように被積分関数が（したがって無限小の虚部を持つ）場合、エネルギー軸に沿った経路積分によって因果的な時間順序付けを与えることで得られることを示し、極を実数線から外します。

伝播関数は、量子論の経路積分定式化を用いて導出することもできる。

1938年にポール・ディラックによって導入された。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}

質量のない粒子の場合、伝播関数を次の形式で記述することで、これをより明確にすることができます。 $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {\varepsilon }{(x-y)^{2}+i\varepsilon ^{2}}}.}$$

これは通常の定義だが、係数で正規化されている。${\displaystyle \varepsilon }$すると、極限を取るというルールが成り立つ。${\displaystyle \varepsilon \to 0}$計算の最後に。

分かるように $${\displaystyle G_{F}^{\varepsilon }(x,y)={\frac {-i}{\varepsilon }}\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}=0,}$$ そして $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}G_{F}^{\varepsilon }(x,y)=0\quad {\text{if}}~~~(x-y)^{2}\neq 0.}$$ したがって、これは質量のない単一の粒子は常に光円錐上に留まることを意味します。また、任意の時点における光子の全確率は、次の係数の逆数で正規化されなければならないことも示されています。 $${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\int |G_{F}^{\varepsilon }(0,x)|^{2}\,dx^{3}=\lim _{\varepsilon \to 0}\int {\frac {\varepsilon ^{2}}{(\mathbf {x} ^{2}-t^{2})^{2}+\varepsilon ^{4}}}\,dx^{3}=2\pi ^{2}|t|.}$$ 光円錐の外側の部分は通常、極限ではゼロになり、ファインマン図においてのみ重要になることがわかります。

粒子がスピンを持つ場合、そのプロパゲーターは一般にやや複雑になり、粒子のスピンまたは偏極指数が関係します。スピン1/2 の粒子のプロパゲーターが満たす微分方程式は^{[ 13 ]}で与えられます。

${\displaystyle (i\not \nabla '-m)S_{F}(x',x)=I_{4}\delta ^{4}(x'-x),}$

ここで、I ₄は 4 次元の単位行列であり、ファインマンのスラッシュ表記法を用いると、これは時空におけるデルタ関数源のディラック方程式である。運動量表現を用いると、 $${\displaystyle S_{F}(x',x)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}{\tilde {S}}_{F}(p),}$$ 方程式は次のようになる

${\displaystyle {\begin{aligned}&(i\not \nabla '-m)\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}(\not p-m){\tilde {S}}_{F}(p)\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}I_{4}\exp {\left[-ip\cdot (x'-x)\right]}\\[6pt]={}&I_{4}\delta ^{4}(x'-x),\end{aligned}}}$

ここで、右辺には4次元デルタ関数の積分表現が用いられている。したがって

${\displaystyle (\not p-mI_{4}){\tilde {S}}_{F}(p)=I_{4}.}$

左から掛け合わせることで $${\displaystyle (\not p+m)}$$ （表記から単位行列を省略し）ガンマ行列の性質を用いると、 $${\displaystyle {\begin{aligned}\not p\not p&={\tfrac {1}{2}}(\not p\not p+\not p\not p)\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }p^{\mu }\gamma _{\nu }p^{\nu }+\gamma _{\nu }p^{\nu }\gamma _{\mu }p^{\mu })\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu })p^{\mu }p^{\nu }\\[6pt]&=g_{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=p^{2},\end{aligned}}}$$

量子電磁力学における電子を表すディラック場のファインマン図で使用される運動量空間プロパゲーターは、次の形式をとることがわかった。

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={\frac {(\not p+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}={\frac {(\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m)}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

下のiεは、複素p ₀平面における極の扱い方に関する処方箋です。これは、極を適切にシフトすることで、自動的にファインマン積分経路を生成します。これは、次のように書かれることもあります。

${\displaystyle {\tilde {S}}_{F}(p)={1 \over \gamma ^{\mu }p_{\mu }-m+i\varepsilon }={1 \over \not p-m+i\varepsilon }}$

略して。この式は( γ _μ p ^μ − m ) ⁻¹の略記法であることを覚えておく必要がある。「行列の1乗」はそうでなければ意味をなさない。位置空間では次のようになる。 $${\displaystyle S_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}\,e^{-ip\cdot (x-y)}{\frac {\gamma ^{\mu }p_{\mu }+m}{p^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}=\left({\frac {\gamma ^{\mu }(x-y)_{\mu }}{|x-y|^{5}}}+{\frac {m}{|x-y|^{3}}}\right)J_{1}(m|x-y|).}$$

これはファインマンプロパゲーターに関連しています。

${\displaystyle S_{F}(x-y)=(i\not \partial +m)G_{F}(x-y)}$

どこ${\displaystyle \not \partial$ :=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }} 。

ゲージ理論におけるゲージボソンのプロパゲーターは、ゲージを固定するための規約の選択に依存する。ファインマンとシュトゥッケルベルクが使用したゲージの場合、光子のプロパゲーターは次のようになる。

${\displaystyle {-ig^{\mu \nu } \over p^{2}+i\varepsilon }.}$

ゲージパラメータλの一般形は、全体の符号と係数を除いて、${\displaystyle i}$と読む

${\displaystyle -i{\frac {g^{\mu \nu }+\left(1-{\frac {1}{\lambda }}\right){\frac {p^{\mu }p^{\nu }}{p^{2}}}}{p^{2}+i\varepsilon }}.}$

質量を持つベクトル場のプロパゲーターは、シュトゥッケルベルク・ラグランジアンから導出できる。ゲージパラメータλ、全体の符号と係数を除いて、一般形は次のようになる。${\displaystyle i}$と読む

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}+{\frac {\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}{k^{2}-{\frac {m^{2}}{\lambda }}+i\varepsilon }}.}$

これらの一般形を用いると、 λ = 0の場合はユニタリーゲージのプロパゲーター、 λ = 1の場合はファインマンゲージまたはトフーフトゲージのプロパゲーター、 λ = ∞の場合はランダウゲージまたはローレンツゲージのプロパゲーターが得られます。ゲージパラメータがλの逆数である他の表記法もあり、通常はξで表されます( R _ξゲージを参照)。ただし、プロパゲーターの名前は、ゲージパラメータの値ではなく、その最終形式を指します。

単位ゲージ：

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{m^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

ファインマン（'t Hooft）ゲージ：

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

ランダウ（ローレンツ）ゲージ：

${\displaystyle {\frac {g_{\mu \nu }-{\frac {k_{\mu }k_{\nu }}{k^{2}}}}{k^{2}-m^{2}+i\varepsilon }}.}$

2つのスカラー場演算子の交換子はパウリ・ジョルダン関数を定義する。${\displaystyle \Delta (x-y)}$[ ^{16 ] [ 17 ]​}

${\displaystyle \langle 0|\left[\Phi (x),\Phi (y)\right]|0\rangle =i\,\Delta (x-y)}$

と

${\displaystyle \,\Delta (x-y)=G_{\text{ret}}(x-y)-G_{\text{adv}}(x-y)}$

これは満たす

${\displaystyle \Delta (x-y)=-\Delta (y-x)}$

ゼロの場合は${\displaystyle (x-y)^{2}<0}$。

正の周波数部分と負の周波数部分を定義できます${\displaystyle \Delta (x-y)}$相対論的に不変な方法で、カットプロパゲーターと呼ばれることもある。

これにより、正の周波数部分を定義できます。

${\displaystyle \Delta _{+}(x-y)=\langle 0|\Phi (x)\Phi (y)|0\rangle ,}$

そして負の周波数部分：

${\displaystyle \Delta _{-}(x-y)=\langle 0|\Phi (y)\Phi (x)|0\rangle .}$

^{これらは[ 17 ]}を満たす

${\displaystyle \,i\Delta =\Delta _{+}-\Delta _{-}}$

そして

${\displaystyle (\Box _{x}+m^{2})\Delta _{\pm }(x-y)=0.}$

2 つのスカラー場演算子の反交換子は、${\displaystyle \Delta _{1}(x-y)}$関数

${\displaystyle \langle 0|\left\{\Phi (x),\Phi (y)\right\}|0\rangle =\Delta _{1}(x-y)}$

と

${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{+}(x-y)+\Delta _{-}(x-y).}$

これは満たす${\displaystyle \,\Delta _{1}(x-y)=\Delta _{1}(y-x).}$