プランク定数

プランク定数
一般的な記号	${\displaystyle h}$
SI単位	ジュール/ヘルツ（ジュール秒）
その他のユニット	電子ボルト/ヘルツ (電子ボルト秒)
SI基本単位では	kg ⋅ m 2 ⋅ s −1
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}$
価値	6.626 070 15 × 10 −34 J・ Hz −1 4.135 667 696 ... × 10 −15  eV・Hz −1

プランク定数の減少
一般的な記号	${\displaystyle \hbar}$
SI単位	ジュール秒
その他のユニット	電子ボルト秒
SI基本単位では	kg ⋅ m 2 ⋅ s −1
他の量からの導出	${\displaystyle \hbar =h/(2\pi )}$
寸法	${\displaystyle {\mathsf {M}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {T}}^{-1}}$
価値	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s 6.582 119 569 ... × 10 −16  eV・s

プランク定数、またはプランク定数 は、 と表記され、^[1]量子力学において基礎的な重要性を持つ基本的な物理定数^[1]です。光子のエネルギーは、その周波数にプランク定数を掛けたものに等しく、物質波の波長は、プランク定数を関連する粒子の運動量で割ったものに等しくなります。密接に関連した簡約プランク定数 はに等しく、と表記され、量子物理学の方程式でよく使用されます。 ${\textstyle h}$${\textstyle h/(2\pi )}$${\textstyle \hbar }$

この定数は、実験的な黒体放射を説明するために必要な比例定数として、1900年にマックス・プランクによって提唱されました。 ^{[2]プランクは後にこの定数を「}作用量子」と呼びました。^[3] 1905年、アルバート・アインシュタインは「量子」またはエネルギーの最小要素を電磁波自体に関連付けました。マックス・プランクは、「エネルギー量子の発見によって物理学の進歩に貢献した」として、 1918年にノーベル物理学賞を受賞しました。

計量学では、プランク定数は他の定数とともに、質量のSI単位であるキログラムを定義するために使用されます。[ 4 ] ^{SI単位は、プランク定数をSI単位で表すと、正確な値}=となるように定義されます。${\displaystyle h}$6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹。^{[5] [6]}

プランク定数は、密閉された炉からの熱放射（黒体放射）の観測されたスペクトル分布を正確に予測する数式を作成するというマックス・プランクの成功した努力の一環として定式化されました。 ^[7]この数式は現在、プランクの法則として知られています。

19世紀末、マックス・プランクは、約40年前にキルヒホッフによって初めて提起された黒体放射の問題を調査していた。すべての物体は、自発的かつ継続的に電磁放射を放射している。観測される放射スペクトルの全体的な形状を表現する方法や説明はなかった。当時、ウィーンの法則は短波長と高温のデータに適合したが、長波長には当てはまらなかった。^{[7] : 141}また、この頃、プランクは知らなかったが、レイリー卿が理論的に導いた式は現在レイリー・ジーンズの法則として知られているが、長波長は合理的に予測できるが短波長では大幅に予測できないという式であった。

この問題に取り組むにあたり、プランクは光の運動方程式が、それぞれの周波数に対応する調和振動子のセットを表していると仮定した。彼は振動子のエントロピーが物体の温度によってどのように変化するかを調べ、ウィーンの法則に一致させようと試み、黒体スペクトルの近似的な数学的関数を導き出すことに成功し、^[2]長波長に対する簡単な経験式を与えた。

プランクは、ウィーンの法則（短波長）と実験式（長波長）を再現できる数式を見つけようとした。この式には定数が含まれていたが、これはヒルフスグロッセ（補助変数） ^[8]を表すと考えられており、後にプランク定数として知られるようになった。プランクによって定式化された式は、絶対温度Tにおける周波数νの物体の単位周波数あたりの分光放射輝度が次のように与えられる ことを示した。${\displaystyle h}$

${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T)d\nu ={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{k_{\mathrm {B} }T}}-1}}d\nu }$、

ここではボルツマン定数、はプランク定数、 は物質または真空中の光速です。 ^{[9] [10] [11]}${\displaystyle k_{\text{B}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle c}$

物体のスペクトル放射輝度は、異なる放射周波数で物体が放射するエネルギーの量を表します。これは、物体の単位面積あたり、単位放射立体角あたり、単位周波数あたりに放射される電力です。スペクトル放射輝度は、単位周波数あたりではなく、単位波長あたりで表すこともできます。上記の関係に代入すると、次の式が得られます。 ${\displaystyle B_{\nu}}$ ${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \nu =c/\lambda }$

${\displaystyle B_{\lambda }(\lambda ,T)d\lambda ={\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{\frac {hc}{\lambda k_{\mathrm {B} }T}}-1}}d\lambda }$、

より短い波長で放射される放射エネルギーは、より長い波長で放射されるエネルギーよりも温度とともに急速に増加することを示しています。^[12]

プランクの法則は、特定の波長で放出される光子の数や、放射線の体積内のエネルギー密度など、他の用語で表現されることもあります。のSI 単位はW · sr ⁻¹ · m ⁻² · Hz ⁻¹ですが、 の SI 単位はW·sr ⁻¹ ·m ⁻³です。 ${\displaystyle B_{\nu}}$${\displaystyle B_{\lambda}}$

プランクはすぐに、自分の解が唯一のものではないことに気づいた。いくつかの異なる解があり、それぞれが振動子のエントロピーに異なる値を与えた。^{[2]プランクは理論を救うために、当時物議を醸していた}統計力学の理論^[2]に頼ったが、彼はそれを「絶望的な行為」と表現した。^[13]彼の新しい境界条件の1つは

U _N [ N 個の振動子の振動エネルギー] を連続した無限に分割可能な量としてではなく、整数個の有限の等しい部分からなる離散的な量として解釈する。そのような各部分をエネルギー要素εと呼ぶことにする。

— プランク「正規スペクトルにおけるエネルギー分布の法則について」^[2]

この新しい条件により、プランクは振動子のエネルギーの量子化を課した。これは彼自身の言葉によれば「純粋に形式的な仮定であり、実際私はそれについてあまり考えていなかった」^{[14]が、物理学に革命をもたらすものであった。この新しいアプローチをウィーンの変位法則に適用すると、「エネルギー要素」は振動子の周波数に比例する必要があることが示され、現在では「}プランク-アインシュタインの関係」 と呼ばれることもある最初のバージョンとなった。

${\displaystyle E=hf.}$

プランクは黒体放射の実験データからの値を計算することができた。彼の結果は、${\displaystyle h}$6.55 × 10 ⁻³⁴  J⋅sは、現在定義されている値の1.2％以内です。^[2]彼はまた、同じデータと理論からボルツマン定数 を初めて決定しました。 ^[15]${\displaystyle k_{\text{B}}}$

黒体問題は 1905 年に再検討され、レイリー卿とジェームズ・ジーンズ(共同) およびアルバート・アインシュタインがそれぞれ独自に、観測されたスペクトルを古典的な電磁気学では決して説明できないことを証明しました。これらの証明は一般に「紫外線大惨事」として知られており、これは 1911 年にポール・エーレンフェストによって造られた名前です。これらは (アインシュタインの光電効果に関する研究とともに) プランクの量子化されたエネルギー準位の仮説が単なる数学的形式主義以上のものであることを物理学者に納得させるのに大きく貢献しました。1911 年の第 1 回ソルベー会議は「放射線と量子の理論」に捧げられました。^[16]

光電効果とは、光が当たった表面から電子（「光電子」と呼ばれる）が放出される現象である。この現象は1839年にアレクサンドル・エドモン・ベクレルによって初めて観測されたが、通常はハインリヒ・ヘルツ^[17]が1887年に初めて徹底的な調査を発表したとされている。もう1つの特に徹底的な調査は、 1902年にフィリップ・レーナール（レナード・フューロップ）によって発表された。 ^[18]アインシュタインは、この効果を光量子の観点から論じた1905年の論文^{[19 ] で、1921年にノーベル賞を受賞した。 [17 ] アインシュタインの予測は、}ロバート・アンドリュース・ミリカン^[20]の実験によって確認された。ノーベル委員会は、発見や実験に基づかない純粋に理論的な物理学に対する偏見と、相対性理論が真実であるという実際の証明に関する委員会内の意見の相違から、相対性理論ではなく光電効果に関する研究に賞を授与した。^{[21] [22]}

アインシュタインの論文以前は、可視光線などの電磁放射は波として振舞うと考えられていたため、さまざまな種類の放射を特徴付けるために「周波数」と「波長」という用語が使用されていました。 一定時間内に波によって伝達されるエネルギーは、その強度と呼ばれます。 劇場のスポットライトからの光は、家庭用の電球からの光よりも強度があります。つまり、光の色は非常に似ているかもしれませんが、スポットライトは通常の電球よりも単位時間あたりおよび単位空間あたりのエネルギーをより多く放出します (したがって、より多くの電力を消費します)。 音や海岸に打ち寄せる波などの他の波にも強度があります。 ただし、光電効果のエネルギーの説明は、光の波の記述とは一致していないようです。

光電効果の結果として放出される「光電子」には、測定可能な一定の運動エネルギーがあります。この運動エネルギー（各光電子について）は光の強度とは無関係ですが、 ^[18]周波数に比例して依存します。^{[20]また、周波数が低すぎる場合（光子エネルギーが物質の}仕事関数より低い場合）、エネルギーの合計が光電子のエネルギーより大きい複数の光子が事実上同時に作用しない限り、光電子はまったく放出されません（多光子効果）。^[23]周波数が光電効果を引き起こすのに十分高いと仮定すると、光源の強度が上昇すると、同じ運動エネルギーでより多くの光電子が放出されるようになります。同じ数の光電子がより高い運動エネルギーで放出されるのではなく。^[18]

アインシュタインはこれらの観察について、光自体が量子化されている、つまり光のエネルギーは古典的な波のように連続的に伝達されるのではなく、小さな「パケット」または量子としてのみ伝達される、と説明した。後に光子と名付けられるこれらのエネルギーの「パケット」のサイズは、プランクの「エネルギー要素」と同じであり、プランク-アインシュタインの関係の現代版が生まれた。

${\displaystyle E=hf.}$

アインシュタインの仮説は後に実験的に証明され、入射光の周波数と光電子の運動エネルギーの間の比例定数はプランク定数に等しいことが示された。^[20]${\displaystyle f}$${\displaystyle E}$${\displaystyle h}$

1912年にジョン・ウィリアム・ニコルソンは原子モデルを開発し^[24] 、モデル内の電子の角運動量はh /2πで関係していることを発見した。^{[25] [26]} ニコルソンの原子核量子モデルはニールス・ボーアの原子モデルの開発に影響を与え^{[27] [28] [26]}、ボーアは1913年の原子のボーアモデルの論文で彼を引用した。^[29]ボーアのモデルはプランクの抽象調和振動子の概念を超えていた。ボーア原子内の電子は特定の定義されたエネルギーしか持てなかった。${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}=-{\frac {hcR_{\infty }}{n^{2}}},}$

ここで は真空中の光速、は実験的に決定された定数（リュードベリ定数）、 である。このアプローチにより、ボーアは水素の原子スペクトルの経験的記述であるリュードベリの公式を説明することができ、リュードベリ定数の値を他の基本定数で説明することができた。ボーアは自身のモデルで電子の角運動量を議論する際に、現在では簡約プランク定数として知られる量 を角運動量量子 として導入した。^[29]${\displaystyle c}$${\displaystyle R_{\infty}}$${\displaystyle n\in \{1,2,3,...\}}$${\displaystyle R_{\infty}}$${\displaystyle {\frac {h}{2\pi }}}$

プランク定数は、ヴェルナー・ハイゼンベルクの不確定性原理の記述にも現れている。多数の粒子が同じ状態に準備されている場合、それらの位置の不確定性、およびそれらの運動量の不確定性、は、 ${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \Delta p_{x}}$

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}},}$

ここで、不確実性は、測定値の期待値からの標準偏差として与えられます。同様の規則に従う、物理的に測定可能な共役変数のペアは他にもいくつかあります。1 つの例は、時間とエネルギーです。2 つの共役変数の不確実性の間には反比例関係があるため、量子実験ではトレードオフが強制されます。1 つの量をより正確に測定すると、もう 1 つの量が不正確になるためです。

量子力学の定式化における特定の値の解釈の根底にあるいくつかの仮定に加えて、理論全体の基本的な基礎の1つは、位置演算子と運動量演算子の間の交換関係にあります。 ${\displaystyle {\hat {x}}}$ ${\displaystyle {\hat {p}}}$

${\displaystyle [{\hat {p}}_{i},{\hat {x}}_{j}]=-i\hbar \delta _{ij},}$

クロネッカーのデルタはどこにありますか。 ${\displaystyle \delta_{ij}}$

プランクの関係は、特定の光子エネルギー Eとそれに関連する波の周波数f を結び付けます。

${\displaystyle E=hf.}$

このエネルギーは、日常的に認識される物体から見れば極めて小さいものです。

周波数f、波長 λ、光速 cはの関係にあるため、この関係は次のようにも表すことができます。 ${\displaystyle f={\frac {c}{\lambda }}}$

${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}.}$

1923年、ルイ・ド・ブロイはプランク定数が光子だけでなくあらゆる粒子の量子波長と運動量との比例関係を表すと仮定し、プランク・アインシュタインの関係を一般化した。これはその後すぐに実験によって確認された。これは電気力学を含む量子論全体に当てはまる。粒子のド・ブロイ波長 λは次のように与えられる。

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

ここで、p は光子やその他の素粒子などの粒子の線形運動量を表します。

角周波数ω = 2πfの光子のエネルギーは次のように表される。

${\displaystyle E=\hbar \omega ,}$

一方、その線形運動量は

${\displaystyle p=\hbar k,}$

ここでkは角波数です。

これら 2 つの関係は、4 次元ベクトルを使用した特殊相対論的表現の時間的部分と空間的部分です。

${\displaystyle P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({ \frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right).}$

古典的な統計力学では、 hの存在が必要である(ただし、その値は定義しない)。^[30]最終的に、プランクの発見に続いて、物理的作用は任意の値を取ることはできず、代わりに非常に小さな量 (現在プランク定数と呼ばれる「[基本]作用量子」) の整数倍に制限されると推測されました。^{[31]これは、}ボーア、ゾンマーフェルト、石原などの物理学者によって開発された、いわゆる「古い量子論」の概念的な部分であり、粒子の軌道は存在するが隠されており、量子法則がそれらの作用に基づいてそれらを制約します。この見解は、完全に現代的な量子論に置き換えられました。この理論では、明確な運動の軌道は存在せず、むしろ粒子は空間と時間に広がる波動関数によって表されます。^{[32] : 373}これに関連して、古い量子論に存在し、現代の量子物理学にも形を変えて存在するエネルギー量子化の概念があります。古典物理学ではエネルギーの量子化を説明できません。

プランク定数は、作用や角運動量と同じ次元を持ちます。SI単位では、プランク定数はジュール毎ヘルツ( J⋅Hz ⁻¹ ) またはジュール秒 (J⋅s) の単位で表されます。

${\displaystyle h}$=6.626 070 15 × 10 ⁻³⁴  J⋅Hz ⁻¹ ‍ [ ^5]

${\displaystyle \hbar ={h \over 2\pi}}$=1.054 571 817 ... × 10 ⁻³⁴  J⋅s ‍ [ ^33] =6.582 119 569 ... × 10 ⁻¹⁶  eV・s。^[34]

上記の値は、SI の 2019 年改訂で固定されたものとして採用されました。

2019年以降、プランク定数の数値は有限小数表現で固定されています。この固定値はSI単位の質量であるキログラムを定義するために使用されます。「キログラム[...]は、 hの固定数値を次のように定義されます。6.626 070 15 × 10 ^{−34を J⋅s という単位で表すと kg⋅m 2} ⋅s ⁻¹に等しく、ここでメートルと秒は光速 cと摂動を受けていないセシウム133原子の基底状態の超微細遷移の持続時間Δ ν _Csによって定義されます。」^[35]キブル天秤などの質量計測技術は、プランク定数の固定値を適用してキログラムの価値を精緻化します。

プランク定数は物理学で使用される定数の中で最も小さい定数の1つです。これは、エネルギーがキロジュールのオーダーで、時間が秒または分のオーダーである人間に適応したスケールでは、プランク定数が非常に小さいという事実を反映しています。物理的イベントのエネルギーと時間の積がプランク定数に近づくと、量子効果が支配的になります。^[36]

同様に、プランク定数のオーダーは、日常の物体やシステムが多数の微小粒子で構成されているという事実を反映しています。たとえば、緑色の光（波長555 ナノメートルまたは周波数540 THz）各光子のエネルギーはE = hf =3.58 × 10 ⁻¹⁹  J。これは日常の経験からすると非常に小さなエネルギー量ですが、日常の経験は個々の光子や個々の原子や分子には関係ありません。日常の経験でより一般的な光の量は（人間の目で知覚できる最小量よりはるかに大きいですが）、1モルの光子のエネルギーです。そのエネルギーは、光子のエネルギーにアボガドロ定数N _A  = を 掛けることで計算できます6.022 140 76 × 10 ²³  mol ⁻¹ ‍ [ ^37]、結果は216 kJ、リンゴ3個分の食物エネルギーに相当します。^[要出典]

量子物理学における多くの方程式は、慣例的に、簡約されたプランク定数[38] : 104 を用いて書かれ、 （^{h -} barと発音する[ 39 ^{] : 336} ）と表記される。^[40]${\textstyle h/(2\pi )}$${\textstyle \hbar }$

基本方程式は、ではなく を使って書くと簡単に見えます。また、 を桁違いの推定値として使用した場合、通常は ではなく が最も信頼性の高い結果をもたらします。たとえば、次元解析を使用して水素原子のイオン化エネルギーを推定する場合、イオン化エネルギーを決定する関連パラメータは、電子の質量、電子電荷、およびプランク定数または縮小プランク定数です。 両方の定数は同じ次元を持っているため、同じ方法で次元解析に入力されますが、 の場合、推定値は 2 倍以内であるのに対し、 の場合、誤差は に近くなります 。^{[41] : 8–9}${\textstyle \hbar }$${\textstyle h}$${\textstyle \hbar }$${\textstyle h}$${\textstyle E_{\text{i}}}$${\textstyle m_{\text{e}}}$${\textstyle e}$${\textstyle h}$${\textstyle \hbar }$$${\displaystyle E_{\text{i}}\propto m_{\text{e}}e^{4}/h^{2}\ {\text{or}}\ \propto m_{\text{e} }e^{4}/\hbar ^{2}}$$${\textstyle \hbar }$${\textstyle h}$${\textstyle (2\pi )^{2}\approx 40}$

簡約プランク定数は、簡約プランク定数^{[42] ：5  [43] ：788}）、有理化プランク定数^{[44] ：726  [45] ：10  [46] ：-（} または有理化プランク定数^{[47] ：334  [48] ：ix}、^{[49] ：112）} 、 ディラック定数^{[50] ：275  [44] ：726  [51] ：xv}（またはディラック定数^{[52] ：148  [53] ：604  [54] ：313}）、ディラック${\textstyle h}$^{[55] [56] ：xviii}（またはディラックの${\textstyle h}$^{[57] ：17}）、ディラック${\textstyle \hbar }$^{[58] ：187}（またはディラックの${\textstyle \hbar }$^{[59] ：273  ）など、他の多くの名前で知られています。 [60] : 14}）、hバー^{[61] : 558  [62] : 561}の関係を維持しながら、これを「プランク定数」^{[63] : 55  [a]}と呼ぶこともよくあります。 ${\textstyle \hbar }$ ${\textstyle \hbar =h/(2\pi )}$

これまでのところ、簡約プランク定数の最も一般的な記号は である。しかし、代わりに で表す情報源もあり、その場合は通常「ディラック」^{[89] : 43  [90]}（または「ディラックの」^{[91] : 21}）と呼ばれる。 ${\textstyle \hbar }$${\textstyle h}$${\textstyle h}$ ${\textstyle h}$

この組み合わせはニールス・ボーアの1913年の論文^{[92] : 15}に登場し 、 と表記された。^{[26] : 169  [b]}その後15年間、この組み合わせは文献に登場し続けたものの、通常は別個の記号は使用されなかった。^{[93] : 180  [c]}そして1926年、シュレーディンガーとディラックは彼らの重要な論文の中で、再びこの組み合わせを表す特別な記号を導入した。シュレーディンガーの場合は^[105]、ディラックの場合は^{[106] 。ディラックは1930年[107] : 291}までこの方法を使い続け、その年に彼の著書『量子力学の原理』で 記号を導入した。^{[107] : 291  [108]}${\textstyle h/(2\pi )}$${\textstyle M_{0}}$${\textstyle K}$${\textstyle h}$${\textstyle h}$${\textstyle \hbar }$

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