相関関数（量子場理論）

量子場理論では、相関関数（相関関数またはグリーン関数とも呼ばれる）は、場演算子の時間順序付き積の真空期待値です。これらは量子場理論における重要な研究対象であり、 S行列要素などのさまざまな観測量を計算するために使用できますが、それ自体は観測量ではありません。これは、相関関数がゲージ不変である必要はなく、一意でもなく、異なる相関関数が同じS行列をもたらし、したがって同じ物理を記述するためです。^{[ 1 ]}これらはランダム変数間の相関関数と密接に関連していますが、それでもミンコフスキー時空と量子演算子で定義されるため、異なる対象です。

単一の場を持つスカラー場理論の場合${\displaystyle \phi (x)}$そして真空状態${\displaystyle |\オメガ \rangle }$時空内のあらゆる事象xにおいて、 n点相関関数は、ハイゼンベルク描像におけるn個の場演算子の時間順序積の真空期待値である。$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle \Omega |T\{{\mathcal {\phi }}(x_{1})\dots {\mathcal {\phi }}(x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

ここ$\displaystyle T\{\cdots \}}$は時間順序付け演算子であり、フィールド演算子を、より早い時間のフィールド演算子がより遅い時間のフィールド演算子の右側に表示されるように順序付けます。フィールドと状態を相互作用図に変換することにより、これは次のように書き直されます^{[ 2 ]}$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle }{\langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }},}$$ どこ${\displaystyle |0\rangle }$は自由理論の基底状態であり、${\displaystyle S[\phi ]}$アクションです。展開${\displaystyle e^{iS[\phi ]}}$テイラー級数を用いると、n点相関関数は相互作用画像相関関数の和となり、これはウィックの定理を用いて評価できる。得られた和を図式的に表現する方法としては、ファインマン図があり、各項は位置空間のファインマン規則を用いて評価できる。

連結したファインマン図は、連結した6点相関関数に寄与する。

接続された6点相関関数に寄与しない、独立したファインマン図。

一連の図は${\displaystyle \langle 0|e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$は、外部脚のない図である真空バブル図の集合です。一方、${\displaystyle \langle 0|\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}|0\rangle }$は、外部脚がちょうどn個あるすべての可能な図の集合によって与えられます。これには真空バブルを持つ非連結図も含まれるため、和は次のように因数分解されます。

（すべてのバブル図の合計）${\displaystyle \times }$（気泡のないすべての図の合計）

最初の因子は分母の正規化因子と相殺されるため、n点相関関数は真空バブルを除くすべてのファインマン図の合計となる。

$${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{no bubbles}}.}$$

真空バブルは含まれませんが、この合計には、少なくとも1つの外部脚が何らかの接続経路を介して他のすべての外部脚に接続されていない図である、非接続図が含まれます。これらの非接続図を除外すると、代わりに接続されたn点相関関数が定義されます。$${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=\langle 0|T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}\}|0\rangle _{\text{connected, no bubbles}}}$$

これらの図は、完全な相関関数に含まれるすべての情報を含んでいるため、直接扱う方が望ましい場合が多い。なぜなら、連結されていない図は、連結された図の単なる積にすぎないからである。他の図のセットを除外することで、1粒子既約相関関数などの他の相関関数を定義することができる。

経路積分定式化では、n点相関関数は関数平均として記述される。 $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \ \phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})e^{iS[\phi ]}}{\int {\mathcal {D}}\phi \ e^{iS[\phi ]}}}.}$$

これらは分割関数を用いて評価することができる。${\displaystyle Z[J]}$これは生成関数として機能し、${\displaystyle J}$相関関数のソース項である $${\displaystyle G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n}{\frac {1}{Z[J]}}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

同様に、連結相関関数は以下を使用して生成できます。${\displaystyle W[J]=-i\ln Z[J]}$^[注1 ^]$${\displaystyle G_{n}^{c}(x_{1},\dots ,x_{n})=(-i)^{n-1}\left.{\frac {\delta ^{n}W[J]}{\delta J(x_{1})\dots \delta J(x_{n})}}\right|_{J=0}.}$$

散乱振幅は、LSZ縮約式を用いて相関関数をS行列と関連付けることで計算できる。$${\displaystyle \langle f|S|i\rangle =\left[i\int d^{4}x_{1}e^{-ip_{1}x_{1}}\left(\partial _{x_{1}}^{2}+m^{2}\right)\right]\cdots \left[i\int d^{4}x_{n}e^{ip_{n}x_{n}}\left(\partial _{x_{n}}^{2}+m^{2}\right)\right]\langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\dots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle .}$$

初期状態の粒子${\displaystyle |i\rangle }$持っている${\displaystyle -i}$指数関数の符号は、最終状態の粒子は${\displaystyle |f\rangle }$持っている${\displaystyle +i}$相関関数のファインマン図展開におけるすべての項は、外部脚ごとに 1 つのプロパゲーターを持ちます。つまり、一方の端が${\displaystyle x_{i}}$そしてもう一方の頂点は内部の頂点にある${\displaystyle x}$この公式の重要性は、これらの外部脚に クライン・ゴルドン演算子を適用した後に明らかになる。$${\displaystyle \left(\partial _{x_{i}}^{2}+m^{2}\right)\Delta _{F}(x_{i},x)=-i\delta ^{4}(x_{i}-x).}$$

これは、外部レッグプロパゲーターを除去し、外部状態をオンシェルにすることで、図を切り捨てると言われています。相関関数からのその他のオフシェル寄与はすべて消滅します。結果として得られるデルタ関数を積分した後、LSZ縮約式に残るのは、内部点位置に関する積分を行うフーリエ変換操作のみです。${\displaystyle x}$外部脚伝播器が取り付けられていたもの。この形式では、縮約式は、S行列が、オンシェル外部状態を持つ切断された相関関数のフーリエ変換であることを示している。

運動量空間相関関数を直接扱うことは一般的である。${\displaystyle {\tilde {G}}(q_{1},\dots ,q_{n})}$相関関数のフーリエ変換によって定義される^{[ 3 ]}$${\displaystyle (2\pi )^{4}\delta ^{(4)}(q_{1}+\cdots +q_{n}){\tilde {G}}_{n}(q_{1},\dots ,q_{n})=\int d^{4}x_{1}\dots d^{4}x_{n}\left(\prod _{i=1}^{n}e^{-iq_{i}x_{i}}\right)G_{n}(x_{1},\dots ,x_{n}),}$$ 慣例として、運動量は図の内側に向かっています。散乱振幅を計算する際に計算すると便利な量は、行列要素です。${\displaystyle {\mathcal {M}}}$これはS行列から定義される $${\displaystyle \langle f|S-1|i\rangle =i(2\pi )^{4}\delta ^{4}{{\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\bigg )}}{\mathcal {M}}}$$ どこ${\displaystyle p_{i}}$は外部運動量である。LSZ 縮小式から、行列要素は、適切な向きの外部運動量を持つ切断された連結運動量空間相関関数と等価であることが導かれる^{[ 4 ] 。}$${\displaystyle i{\mathcal {M}}={\tilde {G}}_{n}^{c}(p_{1},\dots ,-p_{n})_{\text{amputated}}.}$$

非スカラー理論の場合、縮約式は光子の偏光ベクトルやフェルミオンのスピノル状態などの外部状態項も導入します。連結相関関数を使用する必要性は、クラスター分解から生じます。これは、大きな分離で発生する散乱過程は互いに干渉しないため、別々に扱うことができるためです。^{[ 5 ]}

• 効果的な行動
• グリーン関数（多体理論）
• 分配関数（数学）
• ソースフィールド

• Altland, A.; Simons, B. (2006).凝縮系物質場理論. Cambridge University Press .
• Peskin, M.; Schroeder, DV (2018)量子場理論入門. Addison-Wesley .