基本的な表現

リー群とリー代数の表現論において、基本表現は、最高重みが基本重みである半単純リー群またはリー代数の既約な有限次元表現である。たとえば、古典的なリー群の定義モジュールは基本表現である。半単純リー群またはリー代数の任意の有限次元既約表現は、エリー・カルタンによる手順によって基本表現から構築できる。したがって、ある意味では、基本表現は任意の有限次元表現の基本的な構成要素である。

• 一般線型群の場合、すべての基本表現は定義する加群の外積である。
• 特殊ユニタリ群SU( n )の場合、n −1個の基本表現は交代テンソルからなる ウェッジ積であり、k  = 1, 2, ...,  n  − 1である。${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}}$
• 奇直交群の二重被覆のスピン表現である奇スピン群と、偶直交群の二重被覆の2つの半スピン表現である偶スピノル群は、テンソルの空間では実現できない基本的な表現です。
• E ₈型の単純リー群の随伴表現は基本表現です。

単連結コンパクトリー群の既約表現は、その最高重みでインデックス付けされる。これらの重みは、支配的な積分重みからなるリー群の重み格子内の直交関数Q _{+ の格子点である。}ディンキン図の頂点でインデックス付けされた基本重みの集合が存在し、任意の支配的な積分重みが基本重みの非負整数線形結合であることが証明できる。^[1]対応する既約表現は、リー群の基本表現である。支配的な重みを基本重みで展開すると、基本表現の対応するテンソル積が得られ、その支配的な重みに対応する既約表現のコピーが 1 つ抽出される。^[2]

リー理論以外では、基本表現という用語は、最小次元の忠実な表現を指すために緩く使用されることがありますが、これは標準表現または定義表現（明確に定義された数学的意味を持つというよりも、履歴を指す用語）と呼ばれることも多いです。

• フルトン、ウィリアム、ハリス、ジョー(1991)。表現論。最初のコース。数学の大学院テキスト、数学の読書。第 129 巻。ニューヨーク: Springer-Verlag。doi : 10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR  1153249. OCLC  246650103.
• ホール、ブライアン C. (2015)、リー群、リー代数、および表現: 初等入門、Graduate Texts in Mathematics、第 222 巻 (第 2 版)、Springer、ISBN 978-0-387-40122-5。

特定の