シグマモデル

物理学において、シグマモデルは、場を固定された多様体上を動くように制限された点粒子として記述する場の理論である。この多様体は任意のリーマン多様体とすることができるが、最も一般的にはリー群または対称空間のいずれかとされる。このモデルは量子化される場合とされない場合がある。非量子化バージョンの例としては、スカイミオンモデルがある。これは、4 より大きいべきの非線形性のため量子化できない。一般に、シグマモデルは、スカイミオンモデルなどの (古典的な) 位相ソリトン解を許容する。シグマ場がゲージ場に結合されている場合、結果として得られるモデルはギンツブルグ-ランダウ理論によって記述される。この記事は、主にシグマモデルの古典的な場の理論に焦点を当てており、対応する量子化理論は「非線形シグマモデル」というタイトルの記事で紹介されている。

この名前は粒子物理学に由来しており、シグマモデルはパイオンの相互作用を記述します。残念ながら、「シグマ中間子」はシグマモデルでは記述されず、その構成要素としてのみ記述されます。^[1]

シグマ模型はGell-Mann & Lévy (1960, section 5)によって導入された。σ模型という名前は、彼らの模型において、ジュリアン・シュウィンガーによって以前に導入されたスカラー中間子であるσと呼ばれるスピンレス中間子に対応する場から来ている。^{[2]この模型は、O(​​4)からO(3)への}自発的対称性の破れの主要なプロトタイプとして機能した。破れた3つの軸生成子はカイラル対称性の破れの最も単純な現れであり、生き残った破れていないO(3)はアイソスピンを表す。

従来の素粒子物理学の設定では、場は一般にSU(N) 、つまり左カイラル場と右カイラル場の積の商のベクトル部分空間とみなされます。凝縮物質理論では、場はO(N)とみなされます。回転群O(3)の場合、シグマモデルは等方性強磁性体を記述します。より一般的には、O(N)モデルは量子ホール効果、超流動ヘリウム3、スピン鎖に現れます。 ${\displaystyle (SU(N)_{L}\times SU(N)_{R})/SU(N)}$

超重力モデルでは、場は対称空間であるとみなされます。対称空間は反転によって定義されるため、その接空間は自然に偶数パリティ部分空間と奇数パリティ部分空間に分割されます。この分割は、カルツァ＝クライン理論 の次元削減を推進するのに役立ちます。

最も基本的な形式では、シグマ モデルは純粋に点粒子の運動エネルギーとして捉えることができます。フィールドとしては、これはユークリッド空間における ディリクレ エネルギーにすぎません。

2つの空間次元では、O(3)モデルは完全に積分可能です。

シグマモデルのラグランジアン密度は、さまざまな方法で記述することができ、それぞれが特定のタイプのアプリケーションに適しています。最も単純で最も一般的な定義は、ラグランジアンをリーマン多様体上の計量テンソルの引き戻しの計量トレースとして記述することです。時空上のフィールドの場合、これは次のように記述できます。 ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}g_{ij}( \phi )\;\partial ^{\mu }\phi _{i}\partial _{\mu }\phi _{j}}$

ここで、 は場の空間 上の計量テンソルであり、 は基礎となる時空多様体上の微分です。 ${\displaystyle g_{ij}(\phi )}$${\displaystyle \phi \in \Phi }$${\displaystyle \partial _{\mu}}$

この表現を少し展開することができます。体空間は、任意のリーマン多様体 に選択できます。歴史的には、これはシグマモデルの「シグマ」です。歴史的に適切な記号は、幾何学におけるの他の多くの一般的な用法との衝突を避けるためにここでは避けられています。リーマン多様体は常に計量テンソル を伴います。 のチャートのアトラスが与えられれば、体空間は常に に局所的に自明化できます。つまり、アトラスで与えられた、そのパッチ上の明示的なローカル座標を与えるマップを書くことができます。そのパッチ上の計量テンソルは、成分を持つ行列です。${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \Phi}$${\displaystyle U\subset \Phi }$${\displaystyle U\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi =(\phi ^{1},\cdots ,\phi ^{n})}$${\displaystyle g_{ij}(\phi ).}$

基本多様体は微分可能多様体でなければなりません。慣例により、それは素粒子物理学の応用ではミンコフスキー空間、凝縮物質の応用では平坦な 2 次元ユークリッド空間、または弦理論の世界面であるリーマン面のいずれかです。 は、基本時空多様体 上の単なる昔ながらの共変微分です。 が平坦な場合、 はスカラー関数の通常の勾配です( 自身の観点からは、スカラー場 も同様です)。より正確な言葉で言えば、は のジェットバンドルのセクションです。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\partial \phi /\partial x^{\mu }}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi =\nabla \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi }$${\displaystyle M\times \Phi }$

クロネッカーのデルタ、つまりユークリッド空間におけるスカラー内積をとると、非線形シグマモデルが得られる。つまり、を の単位ベクトルと書き、通常のユークリッド内積で となる。すると-球面となり、その等長変換は回転群となる。するとラグランジアンは次のように書ける。 ${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle \phi ={\hat {u}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\hat {u}}\cdot {\hat {u}}=1}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle {\hat {u}}\in S^{n-1}}$${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\nabla _{\mu }{\hat {u}}\cdot \nabla _{\mu }{\hat {u}}}$

の場合、これは格子上の等方性強磁性体、すなわち古典的なハイゼンベルグ模型の連続体極限です。 の場合、これは古典的なXY模型の連続体極限です 。格子模型相当物については、nベクトル模型とポッツ模型も参照してください。連続体極限は次のように表されます。 ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}](i,j)={\frac {{\hat {u}}_{i}-{\hat {u}}_{j}}{h}}}$

隣接する格子位置の有限差分として、次に限界、定数項(「バルク磁化」) を削除した後で。 ${\displaystyle i,j.}$${\displaystyle \delta _{h}[{\hat {u}}]\to \partial _{\mu }{\hat {u}}}$${\displaystyle h\to 0}$${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{j}\to \partial _{\mu }{\hat {u}}\cdot \partial _{\mu }{\hat {u}}}$${\displaystyle {\hat {u}}_{i}\cdot {\hat {u}}_{i}=1}$

シグマモデルは、より完全な幾何学的表記法で、微分可能多様体上のファイバーを持つファイバーバンドルとして記述することもできます。断面が与えられた場合、点を固定します。におけるプッシュフォワードは、接バンドルのマップです 。${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \phi :M\to \Phi }$${\displaystyle x\in M.}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} _{x}\phi :T_{x}M\to T_{\phi (x)}\Phi \quad }$取る${\displaystyle \quad \partial _{\mu }\mapsto {\frac {\partial \phi ^{i}}{\partial x^{\mu }}}\partial _{i}}$

ここで、は上の正規直交ベクトル空間基底、 は上のベクトル空間基底とされる。 は微分形式である。シグマモデルの作用は、ベクトル値k形式 上の従来の内積にすぎない。${\displaystyle \partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle \partial _{i}=\partial /\partial q^{i}}$${\displaystyle T\Phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\mathrm {d} \phi \wedge {*\mathrm {d} \phi }}$

ここで はウェッジ積、 はホッジスターです。これは2つの異なる方法で内積です。最初の方法では、内の任意の2つの微分可能形式が与えられた場合、ホッジ双対は微分形式の空間上の不変内積を定義します。これは通常次のように記述されます。 ${\displaystyle \wedge }$${\displaystyle *}$${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle \langle \!\langle \alpha ,\beta \rangle \!\rangle \ =\ \int _{M}\alpha \wedge {*\beta }}$

上記は、慣例的にソボレフ空間 とみなされる二乗可積分形式の空間上の内積である。このようにして、 ${\displaystyle L^{2}.}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \mathrm {d} \phi ,\mathrm {d} \phi \rangle \!\rangle }$

これにより、シグマモデルが点粒子の運動エネルギーにすぎないことが明確かつ明白になります。多様体の観点からは、場はスカラーであり、したがってスカラー関数の通常の勾配として認識できます。ホッジスターは、曲がった時空で積分するときに体積形式を追跡するための単なる巧妙な装置です。が平坦な場合は完全に無視できるため、作用は次のようになります。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\Vert \nabla \phi \Vert ^{2}d^{m}x}$

これはのディリクレエネルギーです。作用の古典的な極値（ラグランジュ方程式の解）は、 のディリクレエネルギーを最小化する場の構成です。この表現をよりわかりやすい形式に変換する別の方法は、スカラー関数に対してとなり、したがって次のように書くこともできること を観察することです。${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathrm {d} *f=0}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

ここで はラプラス・ベルトラミ演算子、つまりが平坦な場合の通常のラプラス演算子です。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle M}$

もう一つの2番目の内積が存在するということは、それ自体の観点からは がベクトルであることを忘れないことだけが必要である。つまり、任意の2つのベクトルが与えられた場合、リーマン計量は内積を定義する。 ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle v,w\in T\Phi }$${\displaystyle g_{ij}}$

${\displaystyle \langle v,w\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$

は局所チャート上でベクトル値をとるので、そこでも内積をとる。より冗長に言えば、 ${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi =(\mathrm {d} \phi ^{1},\cdots ,\mathrm {d} \phi ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi ^{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi ^{j}}}$

これら2つの内積間の緊張関係は、次のことに注意することでさらに明確になります。

${\displaystyle B_{\mu \nu }(\phi )=g_{ij}\partial _{\mu }\phi ^{i}\partial _{\nu }\phi ^{j}}$

は双線型形式であり、リーマン計量の引き戻しである。個体は四分円としてとることができる。シグマ模型のラグランジアン密度は ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \partial _{\mu }\phi ^{i}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }B_{\mu \nu }}$

上のメトリックについては、 この接着を考慮すると、ははんだ形式として解釈できます。これは、以下でより詳しく説明します。 ${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

古典的（非量子化）シグマモデルについては、解釈上および基礎的なコメントがいくつかあります。最初のコメントは、古典的シグマモデルは相互作用しない量子力学のモデルとして解釈できるということです。2 番目は、エネルギーの解釈に関するものです。

これは次の表現から直接導かれる。

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\langle \!\langle \phi ,\Delta \phi \rangle \!\rangle }$

上に示した。 をとると、関数は波動関数と解釈でき、そのラプラシアンはその波動関数の運動エネルギーである。 は、空間全体で積分することを思い出させる幾何学的な仕組みにすぎない。対応する量子力学的表記は である。平坦な空間では、ラプラシアンは慣例的に と表記される。これらすべての部分をまとめると、シグマモデルの作用は と同等である。 ${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} }$${\displaystyle \phi :M\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \langle \!\langle \cdot ,\cdot \rangle \!\rangle }$${\displaystyle \phi =|\psi \rangle .}$${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}={\frac {1}{2}}\int _{M}\langle \psi |\nabla ^{2}|\psi \rangle dx^{m}={\frac {1}{2}}\int _{M}\psi ^{\dagger }(x)\nabla ^{2}\psi (x)dx^{m}}$

これは、係数 までの波動関数 の総運動エネルギーに過ぎません。結論として、 上の古典的なシグマモデルは、相互作用しない自由量子粒子の量子力学として解釈できます。明らかに、ラグランジアン に の項を追加すると、ポテンシャル内の波動関数の量子力学が得られます。 を取るだけでは、粒子系を記述するのに十分ではありません。粒子には、基本多様体によって提供されない個別の座標が必要です。これは、基本多様体のコピーを 取ることで解決できます。${\displaystyle \psi (x)}$${\displaystyle \hbar /m}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle V(\phi )}$${\displaystyle \Phi =\mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

リーマン多様体の測地線構造がハミルトン・ヤコビ方程式で記述されることはよく知られている。^[3]簡単に説明すると、その構成は以下のとおりである。とはどちらも リーマン多様体である。以下は について書かれているが、 についても同じことが言える。座標チャートで与えられる余接束 は常に局所的に と自明化できる。つまり、${\displaystyle M}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}\Phi }$

${\displaystyle \left.T^{*}\Phi \right|_{U}\cong U\times \mathbb {R} ^{n}}$

自明化により、余接バンドル上の標準座標 が与えられる。上の計量テンソルが与えられたとき、ハミルトン関数を定義する。 ${\displaystyle (q^{1},\cdots ,q^{n},p_{1},\cdots ,p_{n})}$ ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle H(q,p)={\frac {1}{2}}g^{ij}(q)p_{i}p_{j}}$

ここで、いつものように、この定義では計量の逆数が使用されていることに注意する必要がある。 有名なことに、測地線フローはハミルトン・ヤコビ方程式によって与えられる。${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}$${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\dot {q}}^{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}\quad }$そして${\displaystyle \quad {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}}$

測地線フローはハミルトンフローです。上記の解は多様体の測地線です。ちなみに、測地線に沿って、時間パラメータは測地線に沿った距離であることに注意してください。 ${\displaystyle dH/dt=0}$${\displaystyle t}$

シグマ模型は、2 つの多様体とにおける運動量を取り、それらをはんだ付けします。つまり、はんだ形式です。この意味で、シグマ模型をエネルギー関数として解釈することは驚くべきことではありません。これは、実際には2 つのエネルギー関数を貼り合わせたものです。注意: はんだ形式の正確な定義では、同型である必要があります。これは、と が同じ実数次元を持つ場合にのみ発生します。さらに、はんだ形式の従来の定義では、 はリー群になります。両方の条件は、さまざまなアプリケーションで満たされます。 ${\displaystyle T^{*}\Phi }$${\displaystyle T^{*}M}$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

空間は、従来の素粒子物理学モデルではリー群（通常はSU(N)） 、凝縮物質理論ではO(N) 、超重力モデルでは対称空間として扱われることが多い。対称空間は反転によって定義されるため、その接空間（つまり、生命が存在する場所）は自然に偶数パリティ部分空間と奇数パリティ部分空間に分割される。この分割は、カルツァ＝クライン理論の次元削減を推進するのに役立つ。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \mathrm {d} \phi }$

リー群という特殊なケースでは、 はリー群 上の計量テンソルで、正式にはカルタンテンソルまたはキリング形式と呼ばれます。ラグランジアン は、キリング形式の引き戻しとして表すことができます。キリング形式は、対応するリー代数からの 2 つの行列上のトレースとして表すことができることに注意してください。したがって、ラグランジアン は、トレースを含む形式で表すこともできます。少し整理すると、マウラー・カルタン形式の引き戻しとして表すこともできます。 ${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle g_{ij}}$

シグマモデルの一般的なバリエーションは、対称空間上に提示することです。典型的な例は、積をとる カイラルモデルです。

${\displaystyle G=SU(N)\times SU(N)}$

「左」と「右」のカイラル場のシグマモデルを構築し、「対角線」上にシグマモデルを構築します。

${\displaystyle \Phi ={\frac {SU(N)\times SU(N)}{SU(N)}}}$

このような商空間は対称空間なので、一般に を取ることができます。ここでは、カルタン反転に対して不変である の最大部分群です。ラグランジアンも、 上の計量から 上の計量への引き戻し、またはマウラー・カルタン形式の引き戻し のいずれかの方法で、上記とまったく同じように記述されます。${\displaystyle \Phi =G/H}$${\displaystyle H\subset G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G/H}$

物理学において、シグマモデルの最も一般的で慣例的な記述は、定義から始まる。

${\displaystyle L_{\mu }=\pi _{\mathfrak {m}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

ここで、 は、に対するマウラー・カルタン形式を時空多様体上に引き戻すものである。 は、カルタン反転の奇パリティ部分への射影である。つまり、のリー代数が与えられた場合、反転は、反転の2つの固有状態に対応する奇パリティ成分と偶パリティ成分に空間を分解する。シグマモデルのラグランジアンは次のように書ける。 ${\displaystyle g^{-1}\partial _{\mu }g}$${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle \pi _{\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\mathrm {tr} \left(L_{\mu }L^{\mu }\right)}$

これはSkyrme モデルの最初の項としてすぐに認識できます。

これと同等の計量形式は、群元をリー代数の元の測地線として書くことです。 はリー代数の基底元であり、 はの 構造定数です。 ${\displaystyle g\in G}$${\displaystyle g=\exp(\theta ^{i}T_{i})}$${\displaystyle \theta ^{i}T_{i}\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [T_{i},T_{j}]={f_{ij}}^{k}T_{k}}$${\displaystyle {f_{ij}}^{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

これを上記に直接代入し、ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式の無限小形式を適用すると、同等の式が得られる。

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}g_{ij}(\phi )\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}={\frac {1}{2}}\;{W_{i}}^{m}{W^{n}}_{j}\;\;\mathrm {d} \phi _{i}\wedge {*\mathrm {d} \phi _{j}}\;\;\mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

ここで、 は明らかにキリング形式（に比例）であり、 は「曲がった」計量を「平坦な」計量 で表すビエルバインです。ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式に関する記事では、ビエルバインを明示的に表しています。次のように書くことができます。 ${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$${\displaystyle {W_{i}}^{m}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \mathrm {tr} (T_{m}T_{n})}$

${\displaystyle W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}}$

ここで、 は行列要素が である行列です。 ${\displaystyle M}$${\displaystyle {M_{j}}^{k}=\theta ^{i}{f_{ij}}^{k}}$

対称空間上のシグマモデルでは、リー群とは異なり、 は全体ではなく部分空間を張るように制限されます。 上のリー交換子は内にありません。実際、 が存在するため、射影が依然として必要です。 ${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {m}},{\mathfrak {m}}]\subset {\mathfrak {h}}}$

このモデルはさまざまな方法で拡張できます。前述の4 次項を導入するSkyrme モデルのほかに、このモデルにねじれ項を追加してWess-Zumino-Witten モデルを作成することもできます。

もう一つの可能​​性は、超重力モデルでよく見られる。ここで、マウラー・カルタン形式は「純粋ゲージ」のように見えることに注意する。対称空間に対する上記の構成では、別の射影も考慮することができる。 ${\displaystyle g^{-1}dg}$

${\displaystyle A_{\mu }=\pi _{\mathfrak {h}}\circ \left(g^{-1}\partial _{\mu }g\right)}$

ここで、前と同様に、対称空間は分割 に対応していました。この追加の項は、ファイバーバンドル上の接続として解釈できます（ゲージ場として変換されます）。これは、 上の接続から「残った」ものです。次のように書くことで、独自のダイナミクスを付与できます。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {m}}\oplus {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle M\times H}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}=g_{ij}F^{i}\wedge *F^{j}}$

となります。ここでの微分は単に「d」であり、共変微分ではないことに注意してください。これはヤン・ミルズ応力エネルギーテンソルではありません。この項はそれ自体ではゲージ不変ではありません。 に埋め込まれる接続の部分と一緒に取られる必要があります。そのため、一緒に取られると、接続が一部となった は、この項と一緒に、完全なゲージ不変ラグランジアンを形成します（展開すると、ヤン・ミルズ項が含まれます）。 ${\displaystyle F^{i}=dA^{i}}$${\displaystyle L_{\mu }}$${\displaystyle L_{\mu }}$

• Gell-Mann, M.; Lévy, M. (1960)、「ベータ崩壊における軸ベクトル電流」、Il Nuovo Cimento、16 (4): 705–726、Bibcode :1960NCim...16..705G、doi :10.1007/BF02859738、S2CID  122945049

• Ketov, Sergei (2009). 「非線形シグマモデル」. Scholarpedia . 4 (1): 8508. Bibcode :2009SchpJ...4.8508K. doi : 10.4249/scholarpedia.8508 .