Zero-point energy

電磁場の量子論では、古典的な波の振幅αとα *は、以下の条件を満たす演算子aとa ^†に置き換えられる。 $${\displaystyle \left[a,a^{\dagger }\right]=1}$$

場のモードのエネルギーを表す古典的な式に現れる古典的な量| α | ²は、量子論では光子数演算子a ^† aに置き換えられます。事実として、次のようになります。 $${\displaystyle \left[a,a^{\dagger }a\right]\neq 1}$$ これは、量子論では光子数と場振幅を正確に定義できる放射場の状態は許容されない、つまり、a ^† aとaの同時固有状態は存在しないことを意味する。場の波動性と粒子性の調和は、確率振幅と古典モードパターンとの関連付けによって達成される。場モードの計算は完全に古典的な問題であり、場の量子特性は、これらの古典モードに関連付けられたモード「振幅」a ^†とaによって担われる。

場の零点エネルギーは、形式的にはaとa ^†の非可換性から生じる。これは任意の調和振動子に当てはまる。零点エネルギー⁠ ħω / 2 ⁠は、ハミルトニアンを記述する際に現れる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{cl}&={\frac {p^{2}}{2m}}+{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}{q}^{2}\\&={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega \left(aa^{\dagger }+a^{\dagger }a\right)\\&=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\tfrac {1}{2}}\right)\end{aligned}}}$$

宇宙全体が零点電磁場に完全に浸されているため、期待値に一定量しか加算できないとよく言われる。したがって、物理的な測定では真空状態からのずれしか明らかにならない。そのため、エネルギーのゼロを再定義するか、それが定数でありハイゼンベルク運動方程式に影響を与えないと主張することによって、零点エネルギーをハミルトニアンから削除することができる。したがって、基底状態のエネルギーがゼロであると一方的に宣言することができ、たとえば、場のハミルトニアンは次のように置き換えることができる。^{[ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{F}-\left\langle 0|H_{F}|0\right\rangle &={\tfrac {1}{2}}\hbar \omega \left(aa^{\dagger }+a^{\dagger }a\right)-{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega \\&=\hbar \omega \left(a^{\dagger }a+{\tfrac {1}{2}}\right)-{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega \\&=\hbar \omega a^{\dagger }a\end{aligned}}}$$ 理論の物理的予測に影響を与えることなく。新しいハミルトニアンは正規順序（またはウィック順序）であると言われ、二重ドット記号で表されます。正規順序ハミルトニアンは次のように表されます。H F _、すなわち: $${\displaystyle :H_{F}:\equiv \hbar \omega \left(aa^{\dagger }+a^{\dagger }a\right):\equiv \hbar \omega a^{\dagger }a}$$

言い換えれば、通常の順序付け記号内では、aとa ^†を可換にすることができます。零点エネルギーはaとa ^†の非可換性と密接に関係しているため、通常の順序付け手順では零点場からの寄与が排除されます。これは、場のハミルトニアンの場合に特に妥当です。零点項は単に定数エネルギーを追加するだけであり、エネルギーの零点を単純に再定義することで排除できるからです。さらに、ハミルトニアン内のこの定数エネルギーは明らかにaとa ^†と可換であるため、ハイゼンベルク運動方程式で記述される量子力学に影響を与えることはありません。

しかし、事態はそれほど単純ではありません。零点エネルギーは、ハミルトニアンからそのエネルギーを削除しても消去できません。このようにして場演算子のハイゼンベルク方程式を解くと、場演算子の解の同次部分である真空場を含める必要があります。実際、真空場は交換子の保存と QED の形式的整合性にとって不可欠であることを示すことができます。場エネルギーを計算すると、存在する可能性のある粒子と力からの寄与だけでなく、真空場自体からの寄与、つまり零点場エネルギーも得られます。言い換えれば、零点エネルギーは、ハミルトニアンから削除したとしても再び現れます。^{[ 94 ]}

マクスウェル方程式によれば、「自由場」、すなわち発生源のない場の電磁エネルギーは次のように表される。 $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{F}&={\frac {1}{8\pi }}\int d^{3}r\left(\mathbf {E} ^{2}+\mathbf {B} ^{2}\right)\\&={\frac {k^{2}}{2\pi }}|\alpha (t)|^{2}\end{aligned}}}$$

ヘルムホルツ方程式を満たす「モード関数」A ₀ ( r )を導入します。 $${\displaystyle \left(\nabla ^{2}+k^{2}\right)\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )=0}$$ ここでk = ω / cであり、以下のように正規化されていると仮定する。 $${\displaystyle \int d^{3}r\left|\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )\right|^{2}=1}$$

我々は、多モード場における自由空間の電磁エネルギーを「量子化」したいと考えている。自由空間の場の強度は位置に依存しないはずであり、各モードの場について| A ₀ ( r ) | ^{2 は}rに依存しないはずである。これらの条件を満たすモード関数は次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} )=e_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ ここで、 k · e _k = 0とすることで、我々が扱っているクーロンゲージに対して横断条件∇ · A ( r , t )が満たされる。

望ましい正規化を実現するために、空間を体積V = L ³の立方体に分割し、場に周期境界条件を課すと仮定します。 $${\displaystyle \mathbf {A} (x+L,y+L,z+L,t)=\mathbf {A} (x,y,z,t)}$$ または同等に $${\displaystyle \left(k_{x},k_{y},k_{z}\right)={\frac {2\pi }{L}}\left(n_{x},n_{y},n_{z}\right)}$$ ここでnは任意の整数値をとることができる。これにより、仮想立方体のいずれにおいても場を考慮し、モード関数を定義することができる。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}e_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}$$ これは、ヘルムホルツ方程式、横断性、および「ボックス正規化」を満たす。 $${\displaystyle \int _{V}d^{3}r\left|\mathbf {A} _{\mathbf {k} }(\mathbf {r} )\right|^{2}=1}$$ ここで、e _kは、電界モードの偏光を指定する単位ベクトルとして選択されます。条件k · e _k = 0は、 e _kには 2 つの独立した選択肢があることを意味します。これらをe _{k 1}とe _{k 2}と呼び、e _{k 1} · e _{k 2} = 0およびe ² _{k 1} = e ² _{k 2} = 1となります。したがって、モード関数を次のように定義します。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {k} \lambda }(\mathbf {r} )={\frac {1}{\sqrt {V}}}e_{\mathbf {k} \lambda }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,,\quad \lambda ={\begin{cases}1\\2\end{cases}}}$$ それによってベクトルポテンシャルは次のようになる。 $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {k} \lambda }(\mathbf {r} ,t)={\sqrt {\frac {2\pi \hbar c^{2}}{\omega _{k}V}}}\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(0)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }(0)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right]e_{\mathbf {k} \lambda }}$$ または： $${\displaystyle \mathbf {A} _{\mathbf {k} \lambda }(\mathbf {r} ,t)={\sqrt {\frac {2\pi \hbar c^{2}}{\omega _{k}V}}}\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(0)e^{-i(\omega _{k}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}+a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }(0)e^{i(\omega _{k}t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )}\right]}$$ ここで、ω _k = kcであり、 a _{k λ}、a ^† _{k λ}は、波数ベクトルkと偏光λを持つモードの光子消滅演算子と生成演算子である。これにより、場の平面波モードのベクトルポテンシャルが得られる。 ( k _x、k _y、k _z )の条件は、このようなモードが無限に存在することを示している。マクスウェル方程式の線形性により、次のように記述できる。 $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} t)=\sum _{\mathbf {k} \lambda }{\sqrt {\frac {2\pi \hbar c^{2}}{\omega _{k}V}}}\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(0)e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }+a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }(0)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\right]e_{\mathbf {k} \lambda }}$$ 自由空間における全ベクトルポテンシャルについて。以下の事実を用いると、 $${\displaystyle \int _{V}d^{3}r\mathbf {A} _{\mathbf {k} \lambda }(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {A} _{\mathbf {k} '\lambda '}^{\ast }(\mathbf {r} )=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}^{3}\delta _{\lambda ,\lambda '}}$$ 場のハミルトニアンは次のようになる。 $${\displaystyle H_{F}=\sum _{\mathbf {k} \lambda }\hbar \omega _{k}\left(a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }a_{\mathbf {k} \lambda }+{\tfrac {1}{2}}\right)}$$

これは、無数の非結合調和振動子のハミルトニアンである。したがって、場の異なるモードは独立しており、交換関係を満たす。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(t),a_{\mathbf {k} '\lambda '}^{\dagger }(t)\right]&=\delta _{\mathbf {k} ,\mathbf {k} '}^{3}\delta _{\lambda ,\lambda '}\\[10px]\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(t),a_{\mathbf {k} '\lambda '}(t)\right]&=\left[a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }(t),a_{\mathbf {k} '\lambda '}^{\dagger }(t)\right]=0\end{aligned}}}$$

明らかに、 H _Fの最小固有値は次のとおりです。 $${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} \lambda }{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega _{k}}$$

この状態は真空の零点エネルギーを表します。密度因子を代入すると、この和は発散する、実際には非常に大きく発散することがわかります。 $${\displaystyle {\frac {8\pi v^{2}dv}{c^{3}}}V}$$ 示されているように、総和は近似的に積分となる。 $${\displaystyle {\frac {4\pi hV}{c^{3}}}\int v^{3}\,dv}$$v の値が大きい場合。vが大きい場合、v ⁴に比例して発散します。

考慮すべき問題は 2 つあります。まず、発散はゼロ点エネルギーが本当に無限大になるような実在の発散でしょうか。体積Vが完全導体の壁で囲まれていると仮定すると、非常に高い周波数は、完全導体をますます増やすことによってのみ囲むことができます。高周波を囲む実際の方法は存在しません。このようなモードは私たちの箱の中では定常ではなく、したがって定常エネルギー含有量では数えられません。したがって、この物理的な観点からすると、上記の和は数えられる周波数にのみ及ぶべきであり、カットオフエネルギーは極めて妥当です。しかし、「宇宙」のスケールでは、一般相対性理論の問題を含める必要があります。箱を再現し、ぴったりと合わせ、時空を曲げることでうまく閉じることができると仮定します。そうすると、進行波の正確な条件が可能になるかもしれません。しかし、非常に高い周波数の量子は依然として囲まれません。ジョン・ホイーラーの「ジオオン」^{[ 95 ]}によると、これらはシステムから漏れ出します。したがって、ここでもカットオフは許容され、ほぼ必要になります。ここで問題となるのは、非常に高いエネルギーを持つ量子が質量源として作用し、幾何学的構造を歪ませ始めるため、整合性の問題となる。

これは2つ目の疑問につながります。発散するかどうか、有限か無限かに関わらず、零点エネルギーは物理的に意味を持つのでしょうか？実際的な計算では、零点エネルギー全体を無視することがしばしば推奨されます。その理由は、エネルギーは通常、任意のデータ点によって定義されるのではなく、データ点の変化によって定義されるため、定数（たとえ無限であっても）の加算または減算が許容されるはずだからです。しかし、これは全てではありません。実際には、エネルギーはそれほど恣意的に定義されているわけではありません。一般相対性理論では、時空の曲率の源はエネルギー含有量であり、そこではエネルギーの絶対量が真の物理的意味を持ちます。場のエネルギー密度に任意の加算定数などというものは存在しません。エネルギー密度は空間を曲げ、エネルギー密度の増加は曲率の増加をもたらします。さらに、零点エネルギー密度は、カシミール効果、ラムシフトへの寄与、電子の異常磁気モーメントなど、他の物理的結果をもたらします。これは、単に打ち消すことができる数学定数や人工物ではないことは明らかです。^{[ 96 ]}

（発生源のない）「自由」電磁場の真空状態は、すべてのモード（k、λ）に対してn _{k λ} = 0 となる基底状態として定義されます。真空状態は、場のすべての定常状態と同様に、ハミルトニアンの固有状態ですが、電場演算子と磁場演算子の固有状態ではありません。したがって、真空状態では、電場と磁場は確定値を持ちません。それらは、平均値であるゼロを中心に変動していると考えることができます。

光子が消滅（吸収）する過程では、光子が真空状態へ遷移すると考えることができます。同様に、光子が生成（放出）されるときには、光子が真空状態から遷移したと考えると便利な場合があります。^{[ 54 ]}例えば、原子は真空からの「仮想光子」の放出と再吸収によって「覆われている」と考えることができます。Σ k _{λ ⁠} ħω k _/ 2 ⁠で表される真空状態のエネルギーは無限大です。次のように置き換えることができます。 $${\displaystyle \sum _{\mathbf {k} \lambda }\longrightarrow \sum _{\lambda }\left({\frac {1}{2\pi }}\right)^{3}\int d^{3}k={\frac {V}{8\pi ^{3}}}\sum _{\lambda }\int d^{3}k}$$ 零点エネルギー密度は次のとおりである。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{V}}\sum _{\mathbf {k} \lambda }{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega _{k}&={\frac {2}{8\pi ^{3}}}\int d^{3}k{\tfrac {1}{2}}\hbar \omega _{k}\\&={\frac {4\pi }{4\pi ^{3}}}\int dk\,k^{2}\left({\tfrac {1}{2}}\hbar \omega _{k}\right)\\&={\frac {\hbar }{2\pi ^{2}c^{3}}}\int d\omega \,\omega ^{3}\end{aligned}}}$$ 言い換えれば、真空場のスペクトルエネルギー密度である。 $${\displaystyle \rho _{0}(\omega )={\frac {\hbar \omega ^{3}}{2\pi ^{2}c^{3}}}}$$

_{したがって、}ω1からω2までの周波数範囲における零点エネルギー密度は次_のようになる。 $${\displaystyle \int _{\omega _{1}}^{\omega _{2}}d\omega \rho _{0}(\omega )={\frac {\hbar }{8\pi ^{2}c^{3}}}\left(\omega _{2}^{4}-\omega _{1}^{4}\right)}$$

これは、スペクトルの比較的狭い「低周波数」領域でも大きくなる可能性があります。 たとえば、400～700 nm の光領域では、上記の式は約 220 erg /cm ³になります。

前述の節で示したように、零点エネルギーは正規順序付けの処方によってハミルトニアンから消去できます。しかし、この消去は真空場が重要でなくなったり、物理的な影響がなくなったりすることを意味するものではありません。この点を説明するために、真空中の線形双極子振動子を考えます。振動子と相互作用する場のハミルトニアンは次のようになります。 $${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+{\tfrac {1}{2}}m\omega _{0}^{2}\mathbf {x} ^{2}+H_{F}}$$

これは対応する古典的なハミルトニアンと同じ形式であり、振動子と場のハイゼンベルク運動方程式は形式的には古典的なものと同じです。例えば、振動子の 座標xと正準運動量p = m ẋ + ⁠ e A / c ⁠に関するハイゼンベルク方程式は次のようになります。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\dot {x}} &=(i\hbar )^{-1}[\mathbf {x} .H]={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\\\mathbf {\dot {p}} &=(i\hbar )^{-1}[\mathbf {p} .H]{\begin{aligned}&={\tfrac {1}{2}}\nabla \left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}-m\omega _{0}^{2}\mathbf {\dot {x}} \\&=-{\frac {1}{m}}\left[\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\cdot \nabla \right]\left[-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right]-{\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} -{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)\times \nabla \times \left[-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right]-m\omega _{0}^{2}\mathbf {\dot {x}} \\&={\frac {e}{c}}(\mathbf {\dot {x}} \cdot \nabla )\mathbf {A} +{\frac {e}{c}}\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {B} -m\omega _{0}^{2}\mathbf {\dot {x}} \end{aligned}}\end{aligned}}}$$ または： $${\displaystyle {\begin{aligned}m\mathbf {\ddot {x}} &=\mathbf {\dot {p}} -{\frac {e}{c}}\mathbf {\dot {A}} \\&=-{\frac {e}{c}}\left[\mathbf {\dot {A}} -\left(\mathbf {\dot {x}} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} \right]+{\frac {e}{c}}\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {B} -m\omega _{0}^{2}\mathbf {x} \\&=e\mathbf {E} +{\frac {e}{c}}\mathbf {\dot {x}} \times \mathbf {B} -m\omega _{0}^{2}\mathbf {x} \end{aligned}}}$$ 移動する電荷の座標系におけるベクトルポテンシャルの変化率は対流微分によって与えられるため $${\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+(\mathbf {\dot {x}} \cdot \nabla )\mathbf {A} ^{3}\,.}$$

非相対論的運動の場合、磁力を無視して、mẍの式を次のように置き換えることができます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {x}} +\omega _{0}^{2}\mathbf {x} &\approx {\frac {e}{m}}\mathbf {E} \\&\approx \sum _{\mathbf {k} \lambda }{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{k}}{V}}}\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(t)+a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }(t)\right]e_{\mathbf {k} \lambda }\end{aligned}}}$$

_{上記では、}電場の空間依存性を無視した電気双極子近似を行った。同様にハミルトニアンから、 _kλに対するハイゼンベルク方程式は次のようになる。$${\displaystyle {\dot {a}}_{\mathbf {k} \lambda }=i\omega _{k}a_{\mathbf {k} \lambda }+ie{\sqrt {\frac {2\pi }{\hbar \omega _{k}V}}}\mathbf {\dot {x}} \cdot e_{\mathbf {k} \lambda }}$$ 電気双極子近似において。

x、p、およびa _{k λ}に関するこれらの式を導出する際に、同時刻の粒子演算子と場演算子が可換であるという事実を利用しました。これは、物質場解釈が始まると想定されるある時刻 (例えばt = 0 ) において粒子演算子と場演算子が可換であるという仮定と、ハイゼンベルク描像演算子A ( t )がA ( t ) = U ^† ( t ) A (0) U ( t )のように時間とともに変化するという事実から導かれます。ここで、 U ( t )は、以下の条件を満たす時間発展演算子です。 $${\displaystyle i\hbar {\dot {U}}=HU\,,\quad U^{\dagger }(t)=U^{-1}(t)\,,\quad U(0)=1\,.}$$

あるいは、ハミルトニアンから正しい運動方程式を得るためには、これらの演算子は可換でなければならないと主張することもできる。これは、古典理論における対応するポアソン括弧が、正しいハミルトン方程式を生成するために消滅しなければならないのと同様である。場の方程式の形式解は次のようになる。 $${\displaystyle a_{\mathbf {k} \lambda }(t)=a_{\mathbf {k} \lambda }(0)e^{-i\omega _{k}t}+ie{\sqrt {\frac {2\pi }{\hbar \omega _{k}V}}}\int _{0}^{t}dt'\,e_{\mathbf {k} \lambda }\cdot \mathbf {\dot {x}} (t')e^{i\omega _{k}\left(t'-t\right)}}$$したがって、 ȧ _{k λ} の式は次のように書ける。 $${\displaystyle \mathbf {\ddot {x}} +\omega _{0}^{2}\mathbf {x} ={\frac {e}{m}}\mathbf {E} _{0}(t)+{\frac {e}{m}}\mathbf {E} _{RR}(t)}$$ どこ $${\displaystyle \mathbf {E} _{0}(t)=i\sum _{\mathbf {k} \lambda }{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{k}}{V}}}\left[a_{\mathbf {k} \lambda }(0)e^{-i\omega _{k}t}-a_{\mathbf {k} \lambda }^{\dagger }(0)e^{i\omega _{k}t}\right]e_{\mathbf {k} \lambda }}$$ そして $${\displaystyle \mathbf {E} _{RR}(t)=-{\frac {4\pi e}{V}}\sum _{\mathbf {k} \lambda }\int _{0}^{t}dt'\left[e_{\mathbf {k} \lambda }\cdot \mathbf {\dot {x}} \left(t'\right)\right]\cos \omega _{k}\left(t'-t\right)}$$

放射反応場において、質量mを「観測された」質量とみなせば、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{RR}(t)={\frac {2e}{3c^{3}}}\mathbf {\ddot {x}} }$$

双極子に作用する全電場は、E ₀ ( t )とE _RR ( t )_の2 つの部分から構成されます。E 0 ( t )は、双極子に作用する自由電場または零点電場です。これは、双極子に作用する電場に関するマクスウェル方程式の同次解、すなわち、双極子の位置における波動方程式の解です。 $${\displaystyle \left[\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right]\mathbf {E} =0}$$ （ソースのない）真空中の場によって満たされる。このため、E ₀ ( t )はしばしば「真空場」と呼ばれるが、もちろん、t = 0で適切な場の状態に作用するハイゼンベルク描像演算子である。E RR ( t )はソース場であり、双極子によって生成され、双極子に作用する場で_ある。

上記の式E _RR ( t )を用いると、ハイゼンベルク描像演算子の式が得られる。${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$これは形式的には、線形双極子振動子の古典的な方程式と同じである。 $${\displaystyle \mathbf {\ddot {x}} +\omega _{0}^{2}\mathbf {x} -\tau \mathbf {\overset {...}{x}} ={\frac {e}{m}}\mathbf {E} _{0}(t)}$$ ここでτ = ⁠ 2 e ² / 3 mc ³ ⁠ です。この場合、外部場が作用しない真空中の双極子を考えました。上記の式における外部場の役割は、双極子に作用する真空電場によって果たされます。

古典的には、真空中の双極子は「外部」場の影響を受けません。双極子自身以外の発生源がない場合、双極子に作用する唯一の場は、双極子自身の放射反作用場です。しかし、量子論では常に「外部」場、すなわち発生源のない真空場E ₀ ( t )が存在します。

先に述べたk _λ ( t )の式によれば、_t = 0では自由場のみが存在する。これは、双極子と場の相互作用が「オン」になる時刻である。したがって、 t = 0における双極子-場系の状態ベクトルは次のようになる 。$${\displaystyle |\Psi \rangle =|{\text{vac}}\rangle |\psi _{D}\rangle \,,}$$ ここで、_| vac⟩は場の真空状態、| ψD⟩は双極子振動子の初期状態である。したがって、自由場の期待値は常にゼロとなる。 $${\displaystyle \langle \mathbf {E} _{0}(t)\rangle =\langle \Psi |\mathbf {E} _{0}(t)|\Psi \rangle =0}$$なぜなら、 k _λ (0)|vac⟩ = 0 で_ある からである。しかし、自由場に関連するエネルギー密度は無限大である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4\pi }}\left\langle \mathbf {E} _{0}^{2}(t)\right\rangle &={\frac {1}{4\pi }}\sum _{\mathbf {k} \lambda }\sum _{\mathbf {k'} \lambda '}{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{k}}{V}}}{\sqrt {\frac {2\pi \hbar \omega _{k'}}{V}}}\times \left\langle a_{\mathbf {k} \lambda }(0)a_{\mathbf {k'} \lambda '}^{\dagger }(0)\right\rangle \\&={\frac {1}{4\pi }}\sum _{\mathbf {k} \lambda }\left({\frac {2\pi \hbar \omega _{k}}{V}}\right)\\&=\int _{0}^{\infty }dw\,\rho _{0}(\omega )\end{aligned}}}$$

ここで重要なのは、零点場エネルギーH _{F は}c 数または定数 (つまり演算子ではなく通常の数) であり、k λ と可換であるため、k _{λのハイゼンベルク}方程式に影響を与えない_ということです。したがって、通常のようにハミルトニアンから零点場エネルギーを削除できます。しかし、零点場は場の方程式の同次解として再び現れます。したがって、真空中の荷電粒子は常に無限密度の零点場を見ることになります。これが量子電磁力学の無限大の 1 つの原因であり、場のハミルトニアンから項Σ _{k λ} ⁠ ħω _k / 2 ⁠を単純に削除しても解消できません。

自由場は、理論の形式的な整合性を保つために実際に必要である。特に、量子論における時間発展のユニタリによって要求される交換関係の維持に必要である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[z(t),p_{z}(t)\right]&=\left[U^{\dagger }(t)z(0)U(t),U^{\dagger }(t)p_{z}(0)U(t)\right]\\&=U^{\dagger }(t)\left[z(0),p_{z}(0)\right]U(t)\\&=i\hbar U^{\dagger }(t)U(t)\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$

演算子の運動方程式の形式解から [ z ( t ), pz ( t )]を計算できます_。$${\displaystyle \mathbf {\ddot {x}} +\omega _{0}^{2}\mathbf {x} -\tau \mathbf {\overset {...}{x}} ={\frac {e}{m}}\mathbf {E} _{0}(t)}$$

事実を利用して $${\displaystyle \left[a_{\mathbf {k} \lambda }(0),a_{\mathbf {k'} \lambda '}^{\dagger }(0)\right]=\delta _{\mathbf {kk'} }^{3},\delta _{\lambda \lambda '}}$$ また、同時刻の粒子演算子と場演算子が可換であると仮定すると、次の式が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}[z(t),p_{z}(t)]&=\left[z(t),m{\dot {z}}(t)\right]+\left[z(t),{\frac {e}{c}}A_{z}(t)\right]\\&=\left[z(t),m{\dot {z}}(t)\right]\\&=\left({\frac {i\hbar e^{2}}{2\pi ^{2}mc^{3}}}\right)\left({\frac {8\pi }{3}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {d\omega \,\omega ^{4}}{\left(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\right)^{2}+\tau ^{2}\omega ^{6}}}\end{aligned}}}$$

検討対象の双極子振動子については、放射減衰率は固有振動数に比べて小さい、すなわちτω ₀ ≪ 1であると仮定できる。すると、上記の被積分関数はω = ω ₀で鋭いピークを持ち、次のようになる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[z(t),p_{z}(t)\right]&\approx {\frac {2i\hbar e^{2}}{3\pi mc^{3}}}\omega _{0}^{3}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{x^{2}+\tau ^{2}\omega _{0}^{6}}}\\&=\left({\frac {2i\hbar e^{2}\omega _{0}^{3}}{3\pi mc^{3}}}\right)\left({\frac {\pi }{\tau \omega _{0}^{3}}}\right)\\&=i\hbar \end{aligned}}}$$ 真空場の必要性は、小さな減衰近似を行うことによっても理解できる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {\ddot {x}} +\omega _{0}^{2}\mathbf {x} -\tau \mathbf {\overset {...}{x}} ={\frac {e}{m}}\mathbf {E} _{0}(t)\\&\mathbf {\ddot {x}} \approx -\omega _{0}^{2}\mathbf {x} (t)&&\mathbf {\overset {...}{x}} \approx -\omega _{0}^{2}\mathbf {\dot {x}} \end{aligned}}}$$ そして $${\displaystyle \mathbf {\ddot {x}} +\tau \omega _{0}^{2}\mathbf {\dot {x}} +\omega _{0}^{2}\mathbf {x} \approx {\frac {e}{m}}\mathbf {E} _{0}(t)}$$

この方程式に自由場E ₀ ( t )がない場合、演算子x ( t )は指数関数的に減衰し、[ z ( t ), p _z ( t )]のような交換子はt ≫ 1 / τω ² ₀のときにゼロに近づきます。しかし、真空場を含めると、ユニタリ性によって要求されるように、また先ほど示したように、交換子は常にiħ になります。双極子振動子の代わりに自由粒子の場合についても、同様の結果が容易に得られます。^{[ 97 ]}

ここで取り上げるのは、「ゆらぎ散逸の高揚」の一例です。一般に、システムが実質的に不可逆的な方法でシステムからエネルギーを奪うことができる熱浴と結合している場合、熱浴もまたゆらぎを引き起こします。ゆらぎと散逸は密接に関係しており、どちらか一方だけが存在することはありません。この例では、双極子振動子と電磁場の結合には、零点（真空）場という形で散逸成分があります。放射反作用が存在することを考えると、正準交換関係とそのすべての意味を維持するためには、真空場も存在しなければなりません。

真空場のスペクトル密度は放射反応場の形状によって決まるか、あるいはその逆である。放射反応場はxの 3 階微分で変化するため、 [ z ( t ), p _z ( t )]が成り立つためには、真空場のスペクトルエネルギー密度はωの 3 乗に比例しなければならない。一方、 ẋに比例する散逸力の場合、ゆらぎ力は に比例しなければならない。${\displaystyle \omega }$正準交換関係を維持するために。^{[ 97 ]}散逸の形式とゆらぎのスペクトル密度の間のこの関係は、ゆらぎ散逸定理の本質である。^{[ 76 ]}

真空場に結合した調和振動子の正準交換関係が保存されるという事実は、振動子の零点エネルギーが保存されることを意味する。数回の減衰時間の後、振動子の零点運動は実際には駆動零点場によって維持されることが容易に示される。^{[ 98 ]}