量子ホール効果

ホール伝導率の量子化（${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$）は、極めて精密であるという重要な特性を持っています。^{[ 4 ]}ホール伝導率の実際の測定値は、10億分の1よりも高い精度で e 2 / h の整数倍または分数倍であることがわかっています。[ ⁵ ]これにより^{、フォン・}クリッツィング定数R _Kで与えられる抵抗量子に基づいて、電気抵抗の新しい実用的な標準を定義することが可能になりました。これは、正確な量子化の発見者であるクラウス・フォン・クリッツィングにちなんで名付けられました。量子ホール効果はまた、量子電磁力学で根本的に重要な量である微細構造定数の極めて精密な独立した決定を提供します。

1990年には、固定された慣習値R _K-90 =25 812 .807  Ω は、世界中の抵抗校正で使用するために定義されました。 ^{[ 6 ]}その後、 SI の 2019 年改訂により、 hとeの正確な値が固定され、結果として正確なR _K = ⁠ h / e ² ⁠ =となりました25 812 .807 45 ...  Ω . ^{[ 7 ]}

二次元系において、古典的な電子が磁場にさらされると、サイクロトロン円軌道を描きます。この系を量子力学的に扱うと、これらの軌道は量子化されます。エネルギー準位の値を決定するには、シュレーディンガー方程式を解く必要があります。

システムは磁場にさらされているため、シュレーディンガー方程式に電磁ベクトルポテンシャルとして導入する必要があります。考慮されるシステムは、x方向とy方向には自由に移動できるがz方向には強く閉じ込められている電子ガスです。次に、z方向に磁場が印加され、ランダウゲージによれば電磁ベクトルポテンシャルは次のようになります。${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$そしてスカラーポテンシャルは${\displaystyle \phi =0}$したがって、電荷を持つ粒子のシュレーディンガー方程式は次のようになる。 ${\displaystyle q}$有効質量${\displaystyle m^{*}}$このシステムでは、次のようになります。

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

どこ${\displaystyle \mathbf {p} }$ は正準運動量であり、演算子に置き換えられます。${\displaystyle -i\hbar \nabla }$そして${\displaystyle \varepsilon }$これは総エネルギーです。

この方程式を解くには、磁場がx軸とy軸に沿った運動にのみ影響するため、これを2つの方程式に分離することが可能です。すると、全エネルギーは2つの寄与の合計になります。${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$z軸における対応する方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

物事を単純化するために、解決策は${\displaystyle V(z)}$は無限井戸とみなされる。したがって、z 方向の解はエネルギーである。${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$、${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$ そして波動関数は正弦波である。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$方向によっては、シュレーディンガー方程式の解は、平面波の積として選択できる。${\displaystyle y}$-未知の関数を持つ方向${\displaystyle x}$つまり、${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$これは、ベクトルポテンシャルが${\displaystyle y}$そして運動量演算子${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$したがって、ハミルトニアンと可換である。この仮説をシュレーディンガー方程式に代入すると、中心が の1次元調和振動子方程式が得られる。${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$。

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

どこ${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$はサイクロトロン周波数として定義され、${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$磁気長。エネルギーは以下のとおりです。

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$、 ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

そして、運動の波動関数は${\displaystyle xy}$平面は、平面波の積によって与えられる。${\displaystyle y}$ガウス関数によって減衰されたエルミート多項式${\displaystyle x}$これらは調和振動子の波動関数である。

ランダウ準位の式から、エネルギーは${\displaystyle n_{x}}$、ではない${\displaystyle k_{y}}$同じ州${\displaystyle n_{x}}$しかし異なる${\displaystyle k_{y}}$退廃的だ。

ゼロ磁場では、スピンによる縮退を考慮した二次元電子ガスの単位表面積あたりの状態密度はエネルギーに依存しない。

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$。

電場がオンになると、状態密度は定数からディラック櫛、一連のディラック${\displaystyle \delta }$ランダウ準位に対応する関数${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$しかし、有限温度では、ランダウ準位は幅を持つようになる。${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$ いる$\displaystyle \tau _{i}}$ 散乱事象間の時間間隔。一般的に、ランダウ準位の正確な形状はガウス分布またはローレンツ分布であると仮定される。

もう一つの特徴は、波動関数が平行な帯を形成することです。${\displaystyle y}$-方向に沿って等間隔に配置されています${\displaystyle x}$-軸に沿って、${\displaystyle \mathbf {A} }$方向に関して特別なことは何もないので、${\displaystyle xy}$ベクトルポテンシャルを異なる方法で選択した場合、円対称性が見られるはずです。

次元のサンプルが与えられた場合${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$そして周期境界条件を適用すると、${\displaystyle y}$-方向${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$、${\displaystyle j}$が整数であるため、各放物線ポテンシャルは値に配置されることがわかる。${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$。

各ランダウレベルの状態数と${\displaystyle k}$試料を通過する全磁束と、ある状態に対応する磁束との比率から計算することができる。

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

したがって、単位表面積あたりの状態密度は

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$。

状態密度が磁場に依存することに注目してください。磁場が強いほど、各ランダウ準位に存在する状態の数が増えます。その結果、占有されるエネルギー準位が少なくなるため、系内の閉じ込め効果が高まります。

最後の式を書き換えると${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$各ランダウ準位には、 2DEGと同じ数の状態が含まれていることは明らかです。${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$。

電子はフェルミオンであるという事実を考慮すると、ランダウ準位で利用可能な各状態は、スピンの各値を持つ2つの電子に対応します。${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$しかし、大きな磁場が印加されると、スピンと磁場の整列に伴う磁気モーメントにより、エネルギーは2つのレベルに分裂します。エネルギーの差は${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$いる${\displaystyle g}$ 材料に依存する要因（${\displaystyle g=2}$自由電子の場合）${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$ボーア磁子。${\displaystyle +}$ スピンが磁場と平行なときに取得され、${\displaystyle -}$ 反平行の場合。スピン分裂と呼ばれるこの事実は、各準位の状態密度が半分になることを意味します。${\displaystyle \Delta E}$ は磁場に比例するため、磁場が大きいほど、分割の重要性が増します。

占有されているランダウ準位の数を求めるために、いわゆる充填率を定義する。${\displaystyle \nu }$2DEGにおける状態密度とランダウ準位における状態密度の比として定義される。

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

一般的に充填率は${\displaystyle \nu }$は整数ではありません。ランダウ準位が正確に満たされている場合にのみ整数になります。最上位準位が完全に占有されていない場合は、非整数になります。実際の実験では、磁場を変化させて電子密度を固定するか（フェルミエネルギーは固定しません！）、または電子密度を変化させて磁場を固定します。どちらの場合も、充填率の連続的な変化に対応します。${\displaystyle \nu }$そして期待できない${\displaystyle \nu }$整数であるため。${\displaystyle n_{B}\propto B}$磁場を強くすると、ランダウ準位のエネルギーが上昇し、各準位の状態数が増加するため、最上位準位を占める電子の数が減り、最終的には最上位準位が空になります。磁場が強くなり続けると、最終的にはすべての電子が最低ランダウ準位（${\displaystyle \nu <1}$）そしてこれは磁気量子限界と呼ばれます。

充填率を抵抗率、ひいてはシステムの導電率と関連付けることが可能です。${\displaystyle \nu }$ は整数で、フェルミエネルギーはキャリアが利用できる状態がないランダウ準位の間にあるため、伝導率はゼロになります（磁場はランダウ準位間に重なりがないほど十分に大きいと考えられます。そうでなければ電子が少なくなり、伝導率はほぼ になります）。${\displaystyle 0}$その結果、抵抗率もゼロになります（非常に強い磁場では、縦方向の導電率と抵抗率が比例することが証明されています）。^{[ 20 ]}

導電率${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$見つける

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

縦方向の抵抗率がゼロで横方向の抵抗率が有限の場合、${\displaystyle \det \rho \neq 0}$したがって、縦方向の導電率と抵抗率はともにゼロになる。

代わりに、${\displaystyle \nu }$ が半整数の場合、フェルミエネルギーはランダウ準位の密度分布のピークに位置します。これは、散乱が増加するため、抵抗率が最大値を持つことを意味します。

この最小値と最大値の分布は、シュブニコフ・ド・ハース振動と呼ばれる「量子振動」に対応しており、磁場が強くなるにつれてその重要性が増します。磁場が強くなると状態密度が増加するため、抵抗率に寄与するキャリアが増え、ピークの高さも大きくなるのは明らかです。興味深いことに、磁場が非常に小さい場合、縦方向の抵抗率は一定となり、古典的な結果が得られます。

横方向抵抗率の古典的な関係から${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$そして代入する${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ 横方向の抵抗率と導電率の量子化が明らかになる。

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

したがって、横方向抵抗率は、いわゆるコンダクタンス量子の逆数の倍数であると結論付けられる。${\displaystyle e^{2}/h}$充填率が整数の場合。ただし、実験では充填値のプラトー全体がプラトーとして観察される。${\displaystyle \nu }$これは、ランダウ準位間に実際に電子状態が存在することを示しています。これらの状態は、例えば物質中の不純物などに局在しており、軌道に閉じ込められているため、導電率に寄与しません。そのため、ランダウ準位間では抵抗率が一定に保たれます。また、磁場が減少すると、抵抗率が磁場に比例するという古典的な結果が得られます。