意味 相互作用表示における演算子と状態ベクトルは、基底変換（ユニタリ変換 ）によって、シュレーディンガー表示における同じ演算子と状態ベクトルと関連付けられる。
相互作用表示に切り替えるために、シュレーディンガー表示のハミルトニアンを 2つの部分に分割します。
H S = H 0 、 S + H 1 、 S 。 {\displaystyle H_{\text{S}}=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}.}
どのような部品を選択しても有効な相互作用図が得られますが、相互作用図が問題の分析を簡略化するのに役立つためには、通常、H 0,S が十分に理解され、厳密に解けるように部品が選択され、H 1,S にはこのシステムに対する分析がより困難な摂動が含まれるようになります。
ハミルトニアンに明示的な時間依存性 がある場合（例えば、量子系が時間とともに変化する外部電場と相互作用する場合）、通常は、明示的な時間依存項をH 1,S に含め、H 0,S を 時間非依存のままにしておく方が有利です。
H S （ t ） = H 0 、 S + H 1 、 S （ t ） 。 {\displaystyle H_{\text{S}}(t)=H_{0,{\text{S}}}+H_{1,{\text{S}}}(t).}
我々はこれが事実であると仮定して先に進む。H 0,S が時間依存であるのが妥当な状況がある場合、 それ を置き換えることで先に進むことができる。 e ± 私 H 0 、 S t / ℏ {\displaystyle \mathrm {e} ^{\pm \mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }} 時間発展演算子 によって。
状態ベクトル させて| ψ S （ t ） ⟩ = e − 私 H S t / ℏ | ψ （ 0 ） ⟩ {\displaystyle |\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{\text{S}}t/\hbar }|\psi (0)\rangle } | ψ 私 （ t ） ⟩ {\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle } [ 5 ]
| ψ 私 （ t ） ⟩ = e 私 H 0 、 S t / ℏ | ψ S （ t ） ⟩ 。 {\displaystyle |\psi _{\text{I}}(t)\rangle ={\text{e}}^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }|\psi _{\text{S}}(t)\rangle .}
オペレーター 相互作用図における演算子は次のように定義される。
A 私 （ t ） = e 私 H 0 、 S t / ℏ A S （ t ） e − 私 H 0 、 S t / ℏ 。 {\displaystyle A_{\text{I}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }A_{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.}
A S ( t ) は通常 t に依存せず、単にA S と書き換えることができることに注意してください。演算子が「明示的な時間依存性」を持つ場合、例えば、外部から印加される時間変動電場に依存する場合のみ、t に依存します 。明示的な時間依存性の別の例としては、 A S ( t ) が密度行列である場合が挙げられます (下記参照)。
ハミルトニアン演算子 オペレーター向けH 0 {\displaystyle H_{0}}
H 0 、 私 （ t ） = e 私 H 0 、 S t / ℏ H 0 、 S e − 私 H 0 、 S t / ℏ = H 0 、 S 。 {\displaystyle H_{0,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{0,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }=H_{0,{\text{S}}}.} これは、演算子がそれ自身の微分可能な関数と可換である という事実から容易に理解できます。この特定の演算子は次のように呼ばれます。H 0 {\displaystyle H_{0}}
摂動ハミルトニアンの場合H 1 、 私 {\displaystyle H_{1,{\text{I}}}}
H 1 、 私 （ t ） = e 私 H 0 、 S t / ℏ H 1 、 S e − 私 H 0 、 S t / ℏ 、 {\displaystyle H_{1,{\text{I}}}(t)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }H_{1,{\text{S}}}\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar },} 相互作用図の摂動ハミルトニアンは、[ H 1,S , H 0,S ] = 0 でない限り、時間依存ハミルトニアンとなる。
時間依存ハミルトニアンH 0,S ( t ) の相互作用表示も得ることができますが、指数関数はH 0,S ( t ) によって生成される時間発展のユニタリー伝播関数、またはより具体的には時間順序付き指数積分に置き換える必要があります。
密度行列 密度行列は、 他の演算子と同様に相互作用表示に変換できることが示せる。特に、ρ I ρ S ψ n p n
ρ 私 （ t ） = ∑ n p n （ t ） | ψ n 、 私 （ t ） ⟩ ⟨ ψ n 、 私 （ t ） | = ∑ n p n （ t ） e 私 H 0 、 S t / ℏ | ψ n 、 S （ t ） ⟩ ⟨ ψ n 、 S （ t ） | e − 私 H 0 、 S t / ℏ = e 私 H 0 、 S t / ℏ ρ S （ t ） e − 私 H 0 、 S t / ℏ 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{\text{I}}(t)&=\sum _{n}p_{n}(t)\left|\psi _{n,{\text{I}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{I}}}(t)\right|\\&=\sum _{n}p_{n}(t)\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\left|\psi _{n,{\text{S}}}(t)\right\rangle \left\langle \psi _{n,{\text{S}}}(t)\right|\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\\&=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }\rho _{\text{S}}(t)\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} H_{0,{\text{S}}}t/\hbar }.\end{aligned}}}
時間発展
状態の時間発展 シュレーディンガー方程式を 相互作用表示に変換すると、
私 ℏ d d t | ψ 私 （ t ） ⟩ = H 1 、 私 （ t ） | ψ 私 （ t ） ⟩ 、 {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =H_{1,{\text{I}}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle ,} これは、相互作用表示において、量子状態は相互作用表示で表現されるハミルトニアンの相互作用部分によって進化すると述べています。[ 6 ] [ 7 ]
演算子の時間発展 演算子A S が時間に依存しない場合（つまり、「明示的な時間依存性」を持たない場合。上記参照）、対応するA I ( t ) の時間発展は次のように与えられる。
私 ℏ d d t A 私 （ t ） = [ A 私 （ t ） 、 H 0 、 S ] 。 {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].} 相互作用表示では、演算子はハミルトニアンH ' = H 0 を持つハイゼンベルク表示 の演算子のように時間とともに進化します。
密度行列の時間発展 相互作用図における密度行列 の進化は
私 ℏ d d t ρ 私 （ t ） = [ H 1 、 私 （ t ） 、 ρ 私 （ t ） ] 、 {\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],} 相互作用描写におけるシュレーディンガー方程式と整合している。
期待値 一般事業者向けA {\displaystyle A}
⟨ A 私 （ t ） ⟩ = ⟨ ψ 私 （ t ） | A 私 （ t ） | ψ 私 （ t ） ⟩ = ⟨ ψ S （ t ） | e − 私 H 0 、 S t e 私 H 0 、 S t A S e − 私 H 0 、 S t e 私 H 0 、 S t | ψ S （ t ） ⟩ = ⟨ A S （ t ） ⟩ 。 {\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{I}}(t)|A_{\text{I}}(t)|\psi _{\text{I}}(t)\rangle =\langle \psi _{\text{S}}(t)|e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}\,A_{\text{S}}\,e^{-iH_{0,{\text{S}}}t}e^{iH_{0,{\text{S}}}t}|\psi _{\text{S}}(t)\rangle =\langle A_{\text{S}}(t)\rangle .} 期待値の密度行列表現を用いると、
⟨ A 私 （ t ） ⟩ = Tr （ ρ 私 （ t ） A 私 （ t ） ） 。 {\displaystyle \langle A_{\text{I}}(t)\rangle =\operatorname {Tr} {\big (}\rho _{\text{I}}(t)\,A_{\text{I}}(t){\big )}.}
相互作用表現という用語はシュウィンガー によって考案されました。[ 8 ] [ 9 ] 朝永 -シュウィンガー方程式に直接つながります。[ 10 ] [ 9 ]
私 h c ∂ Ψ [ σ ] ∂ σ （ x ） = H ^ （ x ） Ψ （ σ ） {\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )} H ^ （ x ） = − 1 c j μ （ x ） A μ （ x ） {\displaystyle {\hat {H}}(x)=-{\frac {1}{c}}j_{\mu }(x)A^{\mu }(x)} この場合のハミルトニアンは QED 相互作用ハミルトニアンですが、一般的な相互作用でもあり、σ {\displaystyle \sigma } x {\displaystyle x} x {\displaystyle x} [ 11 ]
このアプローチは、ファインマン図の「積分」と「粒子」アプローチとは対照的に、シュウィンガーによって「微分」と「場」のアプローチと呼ばれています。[ 12 ] [ 13 ]
核心的な考え方は、相互作用の結合定数が小さい場合（つまり、電磁気学の場合は微細構造定数のオーダー）、連続する摂動項は結合定数のべき乗となり、したがって小さくなるということである。[ 14 ]
すべての画像における進化の概要比較 時間に依存しないハミルトニアンH S の場合、H 0,S は自由ハミルトニアンであり、
参考文献 ↑ ダック、イアン；スダルシャン 、ECG ( 1998)。「第6章：ディラックによる量子場理論の発明」。パウリとスピン統計定理 。ワールド・サイエンティフィック・パブリッシング。pp. 149–167。ISBN 978-9810231149 。 ↑ 「相互作用表現」 (PDF) . courses.physics.illinois . 2024年5月24日にオリジナルから アーカイブされました (PDF) 。 ↑ アルバート・メサイア (1966).量子力学 、ノース・ホランド、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ。ISBN 0486409244 JJ Sakurai (1994).現代量子力学 ISBN 9780201539295 。↑ JW Negele、H. Orland (1988)、量子多粒子系、 ISBN 0738200522 。 ↑ 「相互作用図、ニューヨーク大学の講義ノート」 。 2013年9月4日に オリジナル からアーカイブされました。 ↑ 才能あるアマチュアのための量子場理論、第 18 章 - これがシュウィンガー・朝永方程式と呼ばれているのを見た方へ。これはシュウィンガー・朝永方程式ではありません。それは、時空の任意の空間的葉層構造に対するシュレーディンガー方程式の一般化です。 ↑ フェッター、アレクサンダー・L.、ワレカ、ジョン・ダーク（1971）。 多粒子系の量子論 。マグロウヒル。55 ページ 。ISBN 978-0-07-020653-3 。↑ Schwinger, J. (1958), Selected papers on Quantum Electrodynamics , Dover, p. 151, ISBN 0-486-60444-6 1 2 Schwinger, J. (1948), "量子電気力学。I. 共変定式化。" , Physical Review , 74 (10): 1439–1461 , Bibcode : 1948PhRv...74.1439S , doi : 10.1103/PhysRev.74.1439 ↑ Schwinger, J. (1958), Selected papers on Quantum Electrodynamics , Dover, p. 151,163,170,276, ISBN 0-486-60444-6 ↑ 脇田仁（1976） 「朝永・シュウィンガー方程式の積分」 『 数理物理学コミュニケーションズ 』 50 （1）： 61–68 、 Bibcode ： 1976CMaPh..50...61W 、 doi ： 10.1007/BF01608555 、 S2CID 122590381 ↑ シュウィンガーのノーベル賞受賞講演 （PDF） 、 140 ページ。 シュウィンガーは非公式に微分を局所的アプローチ、積分を大域的アプローチの一種と呼んでいる。ここでいう「大域的」という用語は、積分領域に関して用いられている。 ↑ Schwinger, J. (1958), Selected papers on Quantum Electrodynamics , Dover, p. preface xiii, ISBN 0-486-60444-6 、↑ Schwinger, J. (1958), Selected papers on Quantum Electrodynamics , Dover, p. 152, ISBN 0-486-60444-6 1 2 3 Sakurai, JJ; Napolitano, Jim (2010), Modern Quantum Mechanics (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0805382914
さらに読む L.D. ランダウ 、E.M. リフシッツ (1977) 『量子力学：非相対論的理論 』第 3巻（第3 版）。パーガモン・ プレス 。ISBN 978-0-08-020940-1 。タウンゼント、ジョン・S. (2000).量子力学への現代的アプローチ 版）. カリフォルニア州サウサリート：ユニバーシティ・サイエンス・ブックス. ISBN 1-891389-13-0 。 
![{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}A_{\text{I}}(t)=[A_{\text{I}}(t),H_{0,{\text{S}}}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16855fbb0074eb48752032691ec84675bf5a5dd0)
![{\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\text{I}}(t)=[H_{1,{\text{I}}}(t),\rho _{\text{I}}(t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa5ec127bfe1d67bf6801adc15ba84cf60efcee3)
![{\displaystyle ihc{\frac {\partial \Psi [\sigma ]}{\partial \sigma (x)}}={\hat {H}}(x)\Psi (\sigma )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49199dc4a274002f608bd123df791d32d8db5335)
