音楽的同型性

{ e _i }は接束T Mの移動接フレーム(滑らかなフレームも参照) であり、双対フレーム(双対基底も参照)として移動コフレーム(コ接束の移動接フレーム)があると仮定します。${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$（共フレームも参照）{ e ⁱ }。すると、2共変テンソル場である擬リーマン計量は、アインシュタインの総和記法を用いて、この共フレーム内で局所的にg = g _ij e ⁱ ⊗ e ^jと書くことができる。

ベクトル場X = X ⁱ e _iが与えられ、 g _ij X ⁱ = X _jと表記すると、その平坦は

${\displaystyle X^{\ flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}}$。

これはインデックスを下げることと呼ばれ、Xのコンポーネントは上付きインデックスX ⁱで書かれ、${\displaystyle X^{\flat }}$は、より小さいインデックスX _jで記述されます。

同様に、共ベクトル場ω = ω _i e ⁱが与えられ、 g ^ij ω _i = ω ^jと表記すると、そのシャープは

${\displaystyle \omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}}$、

ここで、g ^ijは逆計量テンソルの成分です( g _ijの逆行列のエントリによって与えられます)。共ベクトル場のシャープを取ることは、インデックスを上げることと呼ばれます。

音楽的同型写像は、各r、s、kに対して、束間の同型写像に拡張することもできます。

${\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{s}{\rm {T}}M\otimes \bigotimes _{j=1}^{r}{\rm {T}}^{*}M}$

の${\displaystyle (r,s)}$テンソルと束${\displaystyle (rk,s+k)}$テンソル。ここで、k は正または負の値をとることができますが、r - k ≥ 0かつs + k ≥ 0 である必要があります。

指数を下げる${\displaystyle (r,s)}$テンソルは${\displaystyle (r-1,s+1)}$テンソル、インデックスを上げると${\displaystyle (r+1,s-1)}$どちらの指数を上げるか下げるかを指定する必要があります。

例えば、(0, 2)テンソルX = X _ij e ⁱ ⊗ e ^jを考えてみましょう。2 番目の添え字を上げると、(1, 1)テンソルが得られます。

${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$

言い換えれば、構成要素${\displaystyle X_{i}^{k}}$の${\displaystyle X^{\sharp }}$は

${\displaystyle X_{i}^{k}=g^{jk}X_{ij}.}$

他の階数のテンソルについても同様の公式が利用可能です。たとえば、${\displaystyle (0,n)}$テンソルX では、すべてのインデックスが次のように上げられます: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle X^{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}=g^{j_{1}i_{1}}g^{j_{2}i_{2}}\cdots g^{j_{n}i_{n}}X_{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}.}$

のために${\displaystyle (n,0)}$テンソルXにおいて、すべての添え字は以下のように下げられます。

${\displaystyle X_{j_{1}j_{2}\cdots j_{n}}=g_{j_{1}i_{1}}g_{j_{2}i_{2}}\cdots g_{j_{n}i_{n}}X^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}.}$

次数 の混合テンソルの場合${\displaystyle (n,m)}$、すべての下位指数は上昇し、すべての上位指数は低下する。

${\displaystyle {X_{p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}}^{q_{1}q_{2}\cdots q_{m}}=g_{p_{1}i_{1}}g_{p_{2}i_{2}}\cdots g_{p_{n}i_{n}}g^{q_{1}j_{1}}g^{q_{2}j_{2}}\cdots g^{q_{m}j_{m}}{X^{i_{1}i_{2}\cdots i_{n}}}_{j_{1}j_{2}\cdots j_{m}}.}$

適切に定式化された式は、アインシュタインの総和記法の規則によって制約されます。任意の添え字は最大で2回までしか出現できず、さらに、上げられた添え字は下げられた添え字と縮約されなければなりません。これらの規則により、次のような式がすぐにわかります。${\displaystyle g_{ij}v^{i}u^{j}}$ よく練られているが${\displaystyle g_{ij}v_{i}u_{j}}$そうではない。

外積代数の文脈では、音楽演算子の拡張は⋀ Vとその双対⋀ V ^*上で定義でき、これらは再び相互逆である: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \flat$ :\bigwedge _{i=1}^{k}V\to \bigwedge _{i=1}^{k}V^{*},}

${\displaystyle \sharp$ :\bigwedge _{i=1}^{k}V^{*}\to \bigwedge _{i=1}^{k}V,}

定義される

${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },}$

${\displaystyle (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$

この拡張では、♭ はkベクトルをk 共ベクトルに写像し、 ♯ はk共ベクトルをkベクトルに写像するため、完全反対称テンソルのすべての添え字が同時に上げ下げされるため、添え字を指定する必要はありません。 $${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i_{1}\dots i_{j}}\mathbf {e} ^{i_{1}}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{i_{j}})^{\sharp }=g^{i_{1}r_{1}}\dots g^{i_{j}r_{s}}\,Y_{i_{1}\dots i_{k}}\,\mathbf {e} _{r_{1}}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{r_{s}}.}$$

これは、線形代数の文脈におけるkベクトルだけでなく、 （擬似）リーマン多様体の文脈におけるk形式にも適用できます。

${\displaystyle \flat$ :\bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}M\to \bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}^{*}M,}

${\displaystyle \sharp$ :\bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}^{*}M\to \bigwedge _{i=1}^{k}{\rm {T}}M,}

より一般的に言えば、束計量を持つベクトル束とその双対の間には、常に音楽的な同型が存在する。

共変4位は次のように与えられる。

${\displaystyle X_{\mu }=(-ct,x,y,z)}$

構成要素：

${\displaystyle X_{0}=-ct,\quad X_{1}=x,\quad X_{2}=y,\quad X_{3}=z}$

（ここでx、y、zは通常のデカルト座標である）そして、計量符号(− + + +) を持つミンコフスキー計量テンソルは次のように定義される。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

構成要素:

${\displaystyle \eta _{00}=-1,\quad \eta _{i0}=\eta _{0i}=0,\quad \eta _{ij}=\delta _{ij}\,(i,j\neq 0).}$

インデックスを上げるには、テンソルを乗算して縮約します。

${\displaystyle X^{\lambda }=\eta ^{\lambda \mu }X_{\mu }=\eta ^{\lambda 0}X_{0}+\eta ^{\lambda i}X_{i}}$

次にλ = 0の場合：

${\displaystyle X^{0}=\eta ^{00}X_{0}+\eta ^{0i}X_{i}=-X_{0}}$

λ = j = 1, 2, 3の場合：

${\displaystyle X^{j}=\eta ^{j0}X_{0}+\eta ^{ji}X_{i}=\delta ^{ji}X_{i}=X_{j}\,.}$

したがって、インデックスを上げた反変4位は次のようになります。

${\displaystyle X^{\mu }=(ct,x,y,z)\,.}$

この演算は行列の乗算に相当します

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

2つのベクトルが与えられた場合、${\displaystyle X^{\mu }}$そして${\displaystyle Y^{\mu }}$それらの（擬似）内積は、次の2つの方法で記述できます。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }X^{\mu }Y^{\nu }.}$

添え字を下げることで、この式は次のように書けます。

${\displaystyle X_{\mu }Y^{\mu }.}$

行列表記では、最初の式は次のように書ける。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}}$

2つ目は、${\displaystyle X^{\mu }}$、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-X^{0}&X^{1}&X^{2}&X^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Y^{0}\\Y^{1}\\Y^{2}\\Y^{3}\end{pmatrix}}.}$

(0,2)テンソルの場合、^{[ 3 ]}逆計量テンソルで2回縮約し、異なるインデックスで縮約すると、各インデックスが上昇します。

${\displaystyle A^{\mu \nu }=g^{\mu \rho }g^{\nu \sigma }A_{\rho \sigma }.}$

同様に、計量テンソルで2回縮約し、異なるインデックスで縮約すると、各インデックスが低下します。

${\displaystyle A_{\mu \nu }=g_{\mu \rho }g_{\nu \sigma }A^{\rho \sigma }}$

これを電磁気学の理論に当てはめてみましょう。

(+ − − −)シグネチャの反変電磁テンソルは[ ^{5 ]で}与えられる。

${\displaystyle F^{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$

構成要素では、

${\displaystyle F^{0i}=-F^{i0}=-{\frac {E^{i}}{c}},\quad F^{ij}=-\varepsilon ^{ijk}B_{k}}$

共変テンソルF _αβを得るには、逆計量テンソルと縮約します。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\eta _{\alpha \gamma }\eta _{\beta \delta }F^{\gamma \delta }\\&=\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta 0}F^{00}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}F^{i0}+\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}F^{0i}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}\end{aligned}}}$

また、F ⁰⁰ = 0およびF ^{0 i} = − F ^{i 0}であるため、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle F_{\alpha \beta }=\left(\eta _{\alpha i}\eta _{\beta 0}-\eta _{\alpha 0}\eta _{\beta i}\right)F^{i0}+\eta _{\alpha i}\eta _{\beta j}F^{ij}}$

α = 0、β = k = 1, 2, 3の場合：

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{0k}&=\left(\eta _{0i}\eta _{k0}-\eta _{00}\eta _{ki}\right)F^{i0}+\eta _{0i}\eta _{kj}F^{ij}\\&={\bigl (}0-(-\delta _{ki}){\bigr )}F^{i0}+0\\&=F^{k0}=-F^{0k}\\\end{aligned}}}$

また反対称性により、α = k = 1, 2, 3の場合、β = 0 となる。

${\displaystyle F_{k0}=-F^{k0}}$

そして最後に、α = k = 1, 2, 3、β = l = 1, 2, 3の場合。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{kl}&=\left(\eta _{ki}\eta _{l0}-\eta _{k0}\eta _{li}\right)F^{i0}+\eta _{ki}\eta _{lj}F^{ij}\\&=0+\delta _{ki}\delta _{lj}F^{ij}\\&=F^{kl}\\\end{aligned}}}$

（共変）下添え字テンソルは次のようになります。

${\displaystyle F_{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}}$

この演算は行列の乗算に相当します

${\displaystyle {\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&{\frac {E_{x}}{c}}&{\frac {E_{y}}{c}}&{\frac {E_{z}}{c}}\\-{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}.}$