導入 波動方程式は、進行波と定常波を 含む波を記述する双曲型偏微分方程式です。定常波は、反対方向に進行する波の 線形重ね合わせ と考えることができます。この記事では主に、スカラー関数によってスカラー で波を記述するスカラー波動方程式に焦点を当てます。u = u （ x 、 y 、 z 、 t ） {\displaystyle u=u(x,y,z,t)} t {\displaystyle t} x 、 y 、 z {\displaystyle x,y,z} 電場、磁場、磁気ベクトルポテンシャル 、弾性 波などの波をベクトル で記述するベクトル波動方程式も存在する。ベクトル波動方程式と比較すると、スカラー波動方程式はベクトル波動方程式の特殊な場合と見なすことができる。デカルト座標系 では、スカラー波動方程式は各成分（各座標軸、例えば、x {\displaystyle x} x 軸成分。例えば、デカルト座標系では、（ E x 、 E y 、 E z ） {\displaystyle (E_{x},E_{y},E_{z})} E → {\displaystyle {\vec {E}}} E 私 、 私 = x 、 y 、 z 、 {\displaystyle E_{i},i=x,y,z,} u は、液体や気体の圧力、振動する固体の粒子が静止（平衡）位置から特定の方向に 変位する 量 など、スカラー で表される物理量に関するものである。
スカラー波動方程式は
∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 （ ∂ 2 u ∂ x 2 + ∂ 2 u ∂ y 2 + ∂ 2 u ∂ z 2 ） {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)}
どこ
c {\displaystyle c} 伝播速度 を表す固定された非負の実数 係数である。 u {\displaystyle u} 圧力 や密度 ）を表すスカラー場 である。x 、 y 、 {\displaystyle x,y,} z {\displaystyle z} t {\displaystyle t} この式は、任意の時点での 2 階微分がu {\displaystyle u} u {\displaystyle u}
ベクトル解析 の記法を用いると、波動方程式は次のように簡潔に記述できる。 u t t = c 2 Δ u 、 {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\Delta u,} ◻ u = 0 、 {\displaystyle \Box u=0,} 微分を表す。 Δ {\displaystyle \Delta } ラプラス演算子 であり、◻ {\displaystyle \Box } 演算子は 次のように定義される。 u t t = ∂ 2 u ∂ t 2 、 Δ = ∂ 2 ∂ x 2 + ∂ 2 ∂ y 2 + ∂ 2 ∂ z 2 、 ◻ = 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − Δ 。 \displaystyle u_{tt}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}},\qquad \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}},\qquad \Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .}
この（双方向）波動方程式の解は非常に複雑になる可能性がある。しかし、伝播方向と波長は異なるが伝播速度はすべて同じ正弦 波平面波 である単純な解の線形結合として解析することができる。 c {\displaystyle c} 線形かつ同次であるため、解の任意の倍数もまた解となり、任意の2つの解の和もまた解となるからである。この性質は、物理学において 重ね合わせの原理 と呼ばれる。
波動方程式だけでは物理的な解は特定できません。通常、波の振幅と位相を規定する初期条件などの追加条件を問題に与えることで、一意の解が得られます。 境界条件 によって指定される閉鎖空間における問題も重要な分類の一つであり、その解は定常波 、あるいは楽器の倍音に類似した倍音を表します。
1次元空間における波動方程式 フランスの科学者ジャン＝バティスト・ル・ロン・ダランベールは、 1次元空間における波動方程式を発見した。[ 1 ] 1次元空間における波動方程式は、次のように記述できる。 ∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.} x {\displaystyle x} 独立変数 は時間だけだからである。t {\displaystyle t}
導出 1次元空間における波動方程式は、さまざまな物理的設定で導出できます。最も有名なのは、張力 によって各要素が反対方向に引っ張られる2次元平面で振動する弦 の場合です。[ 2 ]
1次元空間における波動方程式の導出のためのもう1つの物理的設定として、フックの法則 が用いられます。弾性理論 において、フックの法則は特定の材料に対する近似法則であり、物質が変形する量（ひずみ） は、変形を引き起こす力（応力 ）と線形関係にあることを示しています。
一次元の場合の波動方程式は、フックの法則 から次のように導出できます。質量が小さいおもりの配列を想像してください。m {\displaystyle m} 長さの質量のない h {\displaystyle h} 定数 は 。 k {\displaystyle k}
ここで従属変数u （ x ） {\displaystyle u(x)} 位置 x {\displaystyle x} u （ x ） {\displaystyle u(x)} m {\displaystyle m} x + h {\displaystyle x+h} F フック = F x + 2 h − F x = k [ u （ x + 2 h 、 t ） − u （ x + h 、 t ） ] − k [ u （ x + h 、 t ） − u （ x 、 t ） ] 。 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}}
後者の式を等しくすることで F ニュートン = m 1 （ t ） = m ∂ 2 ∂ t 2 u （ x + h 、 t ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Newton}}&=m\,a(t)=m\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t),\end{aligned}}}
位置における重りの x + h {\displaystyle x+h} ∂ 2 ∂ t 2 u （ x + h 、 t ） = k m [ u （ x + 2 h 、 t ） − u （ x + h 、 t ） − u （ x + h 、 t ） + u （ x 、 t ） ] 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].} N {\displaystyle N} L = N h {\displaystyle L=Nh} の M = N m {\displaystyle M=Nm} のばね定数 は K = k / N {\displaystyle K=k/N} 。 ∂ 2 ∂ t 2 u （ x + h 、 t ） = K L 2 M [ u （ x + 2 h 、 t ） − 2 u （ x + h 、 t ） + u （ x 、 t ） ] h 2 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.}
限界まで行くN → ∞ 、 h → 0 {\displaystyle N\rightarrow \infty ,h\rightarrow 0} ∂ 2 u （ x 、 t ） ∂ t 2 = K L 2 M ∂ 2 u （ x 、 t ） ∂ x 2 、 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial t^{2}}}={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}}},} これは、 2階微分 の定義から得られるものです。K L 2 / M {\displaystyle KL^{2}/M}
1次元定常波は、反対方向に伝播する2つの波の重ね合わせとして表される。
一般的な解決策
代数的アプローチ 一次元波動方程式については、比較的単純な一般解が見つかる可能性がある。新しい変数を定義する[ 3 ] ξ = x − c t 、 η = x + c t {\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=x-ct,\\\eta &=x+ct\end{aligned}}} ∂ 2 u ∂ ξ ∂ η （ x 、 t ） = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}(x,t)=0,} u （ x 、 t ） = F （ ξ ） + G （ η ） = F （ x − c t ） + G （ x + c t ） 。 {\displaystyle u(x,t)=F(\xi )+G(\eta )=F(x-ct)+G(x+ct).}
言い換えれば、解は右向きに進む関数の和である。F {\displaystyle F} G {\displaystyle G} 「移動」とは、これらの個々の任意関数の形状がx に関して一定のままであるが、関数が時間とともに左右に一定の速度で移動することを意味する。c {\displaystyle c} これはジャン・ル・ロン・ダランベール によって導き出されたものである。[ 4 ]
この結果を得るもう一つの方法は、2つの1階微分演算子を用いて波動方程式を因数分解することです。 [ ∂ ∂ t − c ∂ ∂ x ] [ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] u = 0. {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.} v ≡ ∂ u ∂ t + c ∂ u ∂ x 、 {\displaystyle v\equiv {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}},} ∂ v ∂ t − c ∂ v ∂ x = 0. {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}-c{\frac {\partial v}{\partial x}}=0.}
この移流方程式は 、方向微分 がv {\displaystyle v} （ 1 、 − c ） {\displaystyle (1,-c)} v {\displaystyle v} x + ct = x 0 特性 線上では一定であり、したがってv {\displaystyle v} x + ct H ( x + ct )v {\displaystyle v} u に対して、上記と同様の論理により、その同次解はF ( x - ct )G ( x + ct )
[ ∂ ∂ t + c ∂ ∂ x ] G （ x + c t ） = H （ x + c t ） 。 {\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).}
左辺を展開し、項を整理し、変数変換s = x + ct
G ′ （ s ） = H （ s ） 2 c 。 {\displaystyle G'(s)={\frac {H(s)}{2c}}.}
これは、積分によって目的の形式の特定の解G を見つけることができることを意味します。したがって、 u が u ( x , t ) = F ( x - ct ) + G ( x + ct )[ 5 ]
初期値問題 の場合、任意の関数F とGは、 初期条件を満たすように決定できます。 u （ x 、 0 ） = f （ x ） 、 {\displaystyle u(x,0)=f(x),} u t （ x 、 0 ） = g （ x ） 。 {\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}
その結果がダランベールの公式 である。 u （ x 、 t ） = f （ x − c t ） + f （ x + c t ） 2 + 1 2 c ∫ x − c t x + c t g （ s ） d s 。 {\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds.}
古典的な意味では、f ( x ) ∈ C k g ( x ) ∈ C k −1u ( t , x ) ∈ C k F とG は、デルタ関数などの 一般化関数 である場合もあります。その場合、解は右または左に伝わるインパルスとして解釈できます。
基本的な波動方程式は線形微分方程式であるため、 重ね合わせの原理 に従います。これは、2つ以上の波によって引き起こされる正味の変位は、それぞれの波が個別に引き起こすであろう変位の合計であることを意味します。さらに、波の挙動は、波を成分に分解することによって解析できます。例えば、フーリエ変換は 波を正弦波成分に分解します。
平面波固有モード 一次元波動方程式を解くもう一つの方法は、まずその周波数固有モード を解析することです。いわゆる固有モードとは、時間とともに明確に定義された一定の 角周波数ω で振動する解であり、波動関数の時間部分はe − iωt = cos( ωt ) − i sin( ωt )xの関数 f ( x )変数分離が実現されます。 u ω （ x 、 t ） = e − 私 ω t f （ x ） 。 {\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x).}
これにより、空間部分f ( x )に関する 常微分方程式 が得られます。 ∂ 2 u ω ∂ t 2 = ∂ 2 ∂ t 2 （ e − 私 ω t f （ x ） ） = − ω 2 e − 私 ω t f （ x ） = c 2 ∂ 2 ∂ x 2 （ e − 私 ω t f （ x ） ） 。 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right)=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left(e^{-i\omega t}f(x)\right).}
したがって、 d 2 d x 2 f （ x ） = − （ ω c ） 2 f （ x ） 、 {\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}f(x),} f ( x ) の固有値方程式 であり、そのため固有モードという名前が付けられています。ヘルムホルツ方程式 として知られ、よく知られた平面波 解を 持ちます。f （ x ） = A e ± 私 k x 、 {\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx},} k = ω / c
この固有モードの全波動関数は、線形結合である。 u ω （ x 、 t ） = e − 私 ω t （ A e − 私 k x + B e 私 k x ） = A e − 私 （ k x + ω t ） + B e 私 （ k x − ω t ） 、 {\displaystyle u_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}\left(Ae^{-ikx}+Be^{ikx}\right)=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)},} A 、B は一般に問題の初期条件および境界条件に依存する。
固有モードは波動方程式の完全な解を構築する上で有用である。なぜなら、それぞれの固有モードは位相因子とともに時間的に自明に変化するからである。 e − 私 ω t 、 {\displaystyle e^{-i\omega t},} 完全な解を固有モード展開 に分解できるようにする： u （ x 、 t ） = ∫ − ∞ ∞ s （ ω ） u ω （ x 、 t ） d ω 、 {\displaystyle u(x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }s(\omega )u_{\omega }(x,t)\,d\omega ,} u （ x 、 t ） = ∫ − ∞ ∞ s + （ ω ） e − 私 （ k x + ω t ） d ω + ∫ − ∞ ∞ s − （ ω ） e 私 （ k x − ω t ） d ω = ∫ − ∞ ∞ s + （ ω ） e − 私 k （ x + c t ） d ω + ∫ − ∞ ∞ s − （ ω ） e 私 k （ x − c t ） d ω = F （ x − c t ） + G （ x + c t ） 、 {\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}\,d\omega \\&=\int _{-\infty }^{\infty }s_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}\,d\omega +\int _{-\infty }^{\infty }s_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}\,d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}} s ± ( ω )はフーリエ成分 として知られており、初期条件と境界条件によって決定されます。これは、 FDTD法などの 波束 u ( x , t ) の直接的な時間領域 伝播に代わる、いわゆる周波数領域 法であり、時間膨張がない場合の波の表現には完全です。時間膨張がある場合の波の表現に対するフーリエ展開の完全性は、ω の時間変化を許容するチャープ 波解によって疑問視されています。[ 6 ] チャープ波解は、フライバイ異常 における非常に大きいがこれまで説明できなかったレーダー残差によって特に示唆されているようで、正弦波解とは異なり、ソースの過去のチャープ状態に対応する比例的にシフトした周波数と時間膨張でのみ任意の距離で受信可能です。
3次元空間におけるスカラー波動方程式 スイスの数学者で物理学者のレオンハルト・オイラー （1707年生まれ）は、3次元空間における波動方程式を発見した。[ 1 ] 3次元空間における波動方程式の初期値問題の解は、球面波に対する対応する解から得られる。そして、その結果を用いて、2次元空間における同じ解を求めることもできる。
球面波 周波数が一定の解を得るには、フーリエ変換を適用する。 Ψ （ r 、 t ） = ∫ − ∞ ∞ Ψ （ r 、 ω ） e − 私 ω t d ω 、 {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\Psi (\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\,d\omega ,} 楕円型偏微分方程式に変換されます。 （ ∇ 2 + ω 2 c 2 ） Ψ （ r 、 ω ） = 0. {\displaystyle \left(\nabla ^{2}+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,\omega )=0.}
これはヘルムホルツ方程式であり、 変数分離法 を用いて解くことができます。球面座標 では、これにより動径変数と角度変数が分離され、解は次のように表されます。[ 10 ] Ψ （ r 、 ω ） = ∑ l 、 m f l m （ r ） Y l m （ θ 、 ϕ ） 。 {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,\omega )=\sum _{l,m}f_{lm}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi ).} 球面調和関数 の形をとり、動径関数は以下を満たす。 [ d 2 d r 2 + 2 r d d r + k 2 − l （ l + 1 ） r 2 ] f l （ r ） = 0. {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.} m {\displaystyle m} k 2 = ω 2 / c 2 {\displaystyle k^{2}=\omega ^{2}/c^{2}} f l （ r ） = 1 r u l （ r ） 、 {\displaystyle f_{l}(r)={\frac {1}{\sqrt {r}}}u_{l}(r),} [ d 2 d r 2 + 1 r d d r + k 2 − （ l + 1 2 ） 2 r 2 ] u l （ r ） = 0 、 {\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,} ベッセル方程式 です。
例 l = 0Ψ( r , t ) → u ( r , t ) となります。この場合、波動方程式は次のように簡略化されます。（ ∇ 2 − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ） Ψ （ r 、 t ） = 0 、 {\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\Psi (\mathbf {r} ,t)=0,} （ ∂ 2 ∂ r 2 + 2 r ∂ ∂ r − 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 ） u （ r 、 t ） = 0. {\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u(r,t)=0.}
この方程式は次のように書き換えることができます。 ∂ 2 （ r u ） ∂ t 2 − c 2 ∂ 2 （ r u ） ∂ r 2 = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0,} ru u （ r 、 t ） = 1 r F （ r − c t ） + 1 r G （ r + c t ） 、 {\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),} F とGは 一次元波動方程式の一般解であり、それぞれ外向きおよび内向きの球面波として解釈できます。外向き波は点源から生成でき、 rの 増加に伴って振幅が減少するだけで形状が変化する鋭い信号を生成します（右上の球面波の図を参照）。このような波は、奇数次元の空間の場合にのみ存在します。
角度依存性を持つ3次元波動方程式の解の物理的な例については、双極子放射を 参照してください。
単色球面波 点光源から伝搬する波長10単位の球面波面の断面図 「単色」という言葉は、周波数が明確に定義された光や電磁波を 指すため、厳密には正確ではありませんが、その趣旨は、3次元における波動方程式の固有モードを発見することです。前のセクションでの平面波固有モードの導出に倣い、解を時間的に明確に定義され た一定の 角周波数ω で振動する球面波に限定すると、変換された関数ru ( r , t )r u （ r 、 t ） = A e 私 （ ω t ± k r ） 、 {\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)},} u （ r 、 t ） = A r e 私 （ ω t ± k r ） 。 {\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i(\omega t\pm kr)}.}
このことから、球面波振動のピーク強度は、波の振幅の二乗として特徴付けられることがわかる。 私 = | u （ r 、 t ） | 2 = | A | 2 r 2 、 {\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}},} 1/ r² に比例する速度で減少する。これ は逆二乗法則 の一例である。
一般初期値問題の解法 波動方程式はu に関して線形であり、空間と時間の平行移動によって変化しません。したがって、球面波を平行移動して加算することで、非常に多様な解を生成できます。φ ( ξ , η , ζ ) を Fを デルタ関数 とします。球面波の族の中心が( ξ , η , ζ ) にあるとし、r を その点からの半径方向の距離とします。したがって
r 2 = （ x − ξ ） 2 + （ y − η ） 2 + （ z − ζ ） 2 。 {\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.}
u が 重み関数φ を持つそのような波の重ね合わせである場合、 u （ t 、 x 、 y 、 z ） = 1 4 π c ∭ φ （ ξ 、 η 、 ζ ） δ （ r − c t ） r d ξ d η d ζ ; {\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}\,d\xi \,d\eta \,d\zeta ;} 4πcは 便宜上のものです。
デルタ関数の定義から、uは 次のように書くこともできます。 u （ t 、 x 、 y 、 z ） = t 4 π ∬ S φ （ x + c t α 、 y + c t β 、 z + c t γ ） d ω 、 {\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )\,d\omega ,} α 、β 、γ は単位球面S 上の座標であり、ωは S 上の面積要素である。この結果は、 u ( t , x )がx を中心とする半径ct φ の平均値のt 倍であると解釈できる。 u （ t 、 x 、 y 、 z ） = t M c t [ φ ] 。 {\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].}
したがって、 u （ 0 、 x 、 y 、 z ） = 0 、 u t （ 0 、 x 、 y 、 z ） = φ （ x 、 y 、 z ） 。 {\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u_{t}(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z).}
平均値はt の偶関数であり、したがって v （ t 、 x 、 y 、 z ） = ∂ ∂ t （ t M c t [ φ ] ） 、 {\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},} v （ 0 、 x 、 y 、 z ） = φ （ x 、 y 、 z ） 、 v t （ 0 、 x 、 y 、 z ） = 0. {\displaystyle v(0,x,y,z)=\varphi (x,y,z),\quad v_{t}(0,x,y,z)=0.}
これらの公式は、波動方程式の初期値問題の解を提供します。これらの公式は、与えられた点Pにおける解 ( t , x , y , z )が、 P から後方に引かれた光円錐 ct ません 。したがって、球の内部は解の欠落部分です。この現象は ホイヘンスの原理 と呼ばれます。これは空間次元が奇数の場合にのみ真であり、1 次元の場合は、ディラック測度 に関する区間の境界上で積分が実行されます。
2次元空間におけるスカラー波動方程式 2次元空間では、波動方程式は次のようになる。
u t t = c 2 （ u x x + u y y ） 。 {\displaystyle u_{tt}=c^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right).}
uを 3次元空間における3次元に依存しない関数とみなせば、3次元理論を用いてこの問題を解決できる。
u （ 0 、 x 、 y ） = 0 、 u t （ 0 、 x 、 y ） = ϕ （ x 、 y ） 、 {\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),}
すると、3次元解の公式は次のようになる。
u （ t 、 x 、 y ） = t M c t [ ϕ ] = t 4 π ∬ S ϕ （ x + c t α 、 y + c t β ） d ω 、 {\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,}
ここで、α とβは 単位球上の最初の2つの座標であり、dωは 球上の面積要素である。この積分は、中心( x , y ) 、半径ct D上の 二重積分 として書き直すことができる。
u （ t 、 x 、 y ） = 1 2 π c ∬ D ϕ （ x + ξ 、 y + η ） （ c t ） 2 − ξ 2 − η 2 d ξ d η 。 {\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint _{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .}
( t , x , y ) における解は、光円錐上のデータだけでなく、 （ x − ξ ） 2 + （ y − η ） 2 = c 2 t 2 、 {\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},}
u : R n × (0, ∞) → R u tt − Δ u = 0u ( x , 0) = g ( x ) およびu t ( x , 0) = h ( x ) とする。
奇妙な寸法 n ≥ 3m = ( n + 1)/2 に対してg ∈ C m +1R n h ∈ C m ( R n n = 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( n − 2) とし、
u （ x 、 t ） = 1 γ n [ ∂ t （ 1 t ∂ t ） n − 3 2 （ t n − 2 1 | ∂ B t （ x ） | ∫ ∂ B t （ x ） g d S ） + （ 1 t ∂ t ） n − 3 2 （ t n − 2 1 | ∂ B t （ x ） | ∫ ∂ B t （ x ） h d S ） ] {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]}
それから
u ∈ C 2 （ R n × [ 0 、 ∞ ） ） {\displaystyle u\in C^{2}{\big (}\mathbf {R} ^{n}\times [0,\infty ){\big )}} u t t − Δ u = 0 {\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0} R n × （ 0 、 ∞ ） {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}\times (0,\infty )} リム （ x 、 t ） → （ x 0 、 0 ） u （ x 、 t ） = g （ x 0 ） {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})} リム （ x 、 t ） → （ x 0 、 0 ） u t （ x 、 t ） = h （ x 0 ） {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}
偶数寸法 n ≥ 2m = ( n + 2)/2 に対してg ∈ C m +1R n h ∈ C m ( R n n = 2 × 4 × ⋯ × n 、
u （ x 、 t ） = 1 γ n [ ∂ t （ 1 t ∂ t ） n − 2 2 （ t n 1 | B t （ x ） | ∫ B t （ x ） g （ t 2 − | y − x | 2 ） 1 2 d y ） + （ 1 t ∂ t ） n − 2 2 （ t n 1 | B t （ x ） | ∫ B t （ x ） h （ t 2 − | y − x | 2 ） 1 2 d y ） ] {\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}
それから
u ∈ C 2 ( R n u tt − Δ u = 0はR n × (0, ∞) で成り立つリム （ x 、 t ） → （ x 0 、 0 ） u （ x 、 t ） = g （ x 0 ） {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)=g(x^{0})} リム （ x 、 t ） → （ x 0 、 0 ） u t （ x 、 t ） = h （ x 0 ） {\displaystyle \lim _{(x,t)\to (x^{0},0)}u_{t}(x,t)=h(x^{0})}
非斉次波動方程式を考える1 + D {\displaystyle 1+D} （ ∂ t t − c 2 ∇ 2 ） u = s （ t 、 x ） {\displaystyle (\partial _{tt}-c^{2}\nabla ^{2})u=s(t,x)} c = 1 {\displaystyle c=1}
波動方程式（ ∂ t t − ∇ 2 ） u = s （ t 、 x ） {\displaystyle (\partial _{tt}-\nabla ^{2})u=s(t,x)} 時間的に2次の波動であり、2つのインパルス応答 、すなわち加速度インパルスと速度インパルスが存在する。加速度インパルスを与えると、波の速度が急激に変化する。∂ t u {\displaystyle \partial _{t}u} u {\displaystyle u}
加速インパルスの場合、s （ t 、 x ） = δ D + 1 （ t 、 x ） {\displaystyle s(t,x)=\delta ^{D+1}(t,x)} δ {\displaystyle \delta } これはディラックのデルタ関数 です。この場合の解はグリーン関数と呼ばれます。 G {\displaystyle G}
速度インパルスの場合、s （ t 、 x ） = ∂ t δ D + 1 （ t 、 x ） {\displaystyle s(t,x)=\partial _{t}\delta ^{D+1}(t,x)} G {\displaystyle G} ∂ t G {\displaystyle \partial _{t}G}
グリーン関数の主な用途は、同次系と非同次系の両方の場合において、デュアメルの原理 を用いて初期値問題を解くことである。
グリーン関数が与えられた場合G {\displaystyle G} u （ 0 、 x ） 、 ∂ t u （ 0 、 x ） {\displaystyle u(0,x),\partial _{t}u(0,x)} [ 14 ]である。 u = （ ∂ t G ） * u + G * ∂ t u {\displaystyle u=(\partial _{t}G)\ast u+G\ast \partial _{t}u} 畳み込みを表します。より具体的には、 u （ t 、 x ） = ∫ （ ∂ t G ） （ t 、 x − x ′ ） u （ 0 、 x ′ ） d x ′ + ∫ G （ t 、 x − x ′ ） （ ∂ t u ） （ 0 、 x ′ ） d x ′ 。 {\displaystyle u(t,x)=\int (\partial _{t}G)(t,x-x')u(0,x')dx'+\int G(t,x-x')(\partial _{t}u)(0,x')dx'.} 時空 上の畳み込みによる項が1つ追加されます。∬ t ′ < t G （ t − t ′ 、 x − x ′ ） s （ t ′ 、 x ′ ） d t ′ d x ′ 。 {\displaystyle \iint _{t'<t}G(t-t',x-x')s(t',x')dt'dx'.}
特定の次元における解決策 グリーン関数は次のように関連付けることができます。D {\displaystyle D} D + n {\displaystyle D+n} [ 17 ]
寸法を下げる 関数が与えられた場合s （ t 、 x ） {\displaystyle s(t,x)} u （ t 、 x ） {\displaystyle u(t,x)} （ 1 + D ） {\displaystyle (1+D)} （ 1 + D + n ） {\displaystyle (1+D+n)} n {\displaystyle n} s （ t 、 x 1 : D 、 x D + 1 : D + n ） = s （ t 、 x 1 : D ） 、 u （ t 、 x 1 : D 、 x D + 1 : D + n ） = u （ t 、 x 1 : D ） 。 {\displaystyle s(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=s(t,x_{1:D}),\quad u(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})=u(t,x_{1:D}).} s {\displaystyle s} u {\displaystyle u} （ 1 + D + n ） {\displaystyle (1+D+n)} （ 1 + D ） {\displaystyle (1+D)} G D （ t 、 x 1 : D ） = ∫ R n G D + n （ t 、 x 1 : D 、 x D + 1 : D + n ） d n x D + 1 : D + n 。 {\displaystyle G_{D}(t,x_{1:D})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}G_{D+n}(t,x_{1:D},x_{D+1:D+n})d^{n}x_{D+1:D+n}.}
境界線に関する問題
空間次元1つ
入射波が一方の媒質（波速がc 1 c 2
入射波の角周波数 ω の成分を考えます。その波形は次のようになります。 u 株式会社 （ x 、 t ） = A e 私 （ k 1 x − ω t ） 、 A ∈ C 。 {\displaystyle u^{\text{inc}}(x,t)=Ae^{i(k_{1}x-\omega t)},\quad A\in \mathbb {C} .} t = 0x = 0u 反射 （ x 、 t ） = B e 私 （ − k 1 x − ω t ） 、 u 翻訳 （ x 、 t ） = C e 私 （ k 2 x − ω t ） 、 B 、 C ∈ C 。 {\displaystyle u^{\text{refl}}(x,t)=Be^{i(-k_{1}x-\omega t)},\quad u^{\text{trans}}(x,t)=Ce^{i(k_{2}x-\omega t)},\quad B,C\in \mathbb {C} .} u 株式会社 （ 0 、 t ） + u 反射 （ 0 、 t ） = u 翻訳 （ 0 、 t ） 、 u x 株式会社 （ 0 、 t ） + u x 参照 （ 0 、 t ） = u x 翻訳 （ 0 、 t ） 。 {\displaystyle u^{\text{inc}}(0,t)+u^{\text{refl}}(0,t)=u^{\text{trans}}(0,t),\quad u_{x}^{\text{inc}}(0,t)+u_{x}^{\text{ref}}(0,t)=u_{x}^{\text{trans}}(0,t).} A + B = C 、 A − B = k 2 k 1 C = c 1 c 2 C 、 {\displaystyle A+B=C,\quad A-B={\frac {k_{2}}{k_{1}}}C={\frac {c_{1}}{c_{2}}}C,} B A = c 2 − c 1 c 2 + c 1 、 C A = 2 c 2 c 2 + c 1 。 {\displaystyle {\frac {B}{A}}={\frac {c_{2}-c_{1}}{c_{2}+c_{1}}},\quad {\frac {C}{A}}={\frac {2c_{2}}{c_{2}+c_{1}}}.} c 2 < c 1 B / A < 0 であるため、反射波は180° の反射位相変化 を持ちます。エネルギー保存則は次のように検証できます。 B 2 c 1 + C 2 c 2 = A 2 c 1 。 {\displaystyle {\frac {B^{2}}{c_{1}}}+{\frac {C^{2}}{c_{2}}}={\frac {A^{2}}{c_{1}}}.} ω に関係なく、あらゆるコンポーネントに当てはまります。
c 2 = 0c 2 → ∞
2点x = 0x = L t > 00 < x < L のとき波動方程式を満たします。境界点では、u は さまざまな境界条件を満たす可能性があります。応用に適した一般的な形式は次のとおりです。
− u x （ t 、 0 ） + 1 u （ t 、 0 ） = 0 、 u x （ t 、 L ） + b u （ t 、 L ） = 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}-u_{x}(t,0)+au(t,0)&=0,\\u_{x}(t,L)+bu(t,L)&=0,\end{aligned}}}
ここで、a とb は非負である。uが 端点（すなわち「固定端」）でゼロになる必要がある場合とは、対応するa またはbが無限大に近づくときのこの条件の極限である。 変数分離 法は、この問題の解を特別な形式で求めることである。 u （ t 、 x ） = T （ t ） v （ x ） 。 {\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).}
その結果として T 」 c 2 T = v 」 v = − λ 。 {\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .}
境界値問題に非自明な解が存在するように、固有値λを決定しなければ ならない 。 v 」 + λ v = 0 、 − v ′ （ 0 ） + 1 v （ 0 ） = 0 、 v ′ （ L ） + b v （ L ） = 0. {\displaystyle {\begin{aligned}v''+\lambda v=0,&\\-v'(0)+av(0)&=0,\\v'(L)+bv(L)&=0.\end{aligned}}}
これは、 シュトゥルム・リウヴィル理論 の一般問題の特殊なケースです。aとbが正の場合、 固有値 はすべて正となり、解は三角関数に なります。uとu_t の二乗 可積分な初期条件を満たす解は、これらの関数を適切な三角級数に展開することによって得られます。
複数の空間次元 外縁全体に沿って変位ゼロの境界条件を持つ2次元波動方程式の解 1次元の初期境界値理論は、任意の次元の空間に拡張できる。m次元x空間における境界Bを持つ領域Dを考える。 この とき、x が D 内 にあり、t > 0で ある場合、波動方程式が満たされる。Dの境界上では、解uは 以下 を満たす。
∂ u ∂ n + 1 u = 0 、 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,}
ここで、nは B に対する単位外向き法線ベクトルであり、aは B 上で定義された非負関数である。uが B 上でゼロになる場合、 a が無限大に近づく極限 の場合である。初期条件は次のとおりである。
u （ 0 、 x ） = f （ x ） 、 u t （ 0 、 x ） = g （ x ） 、 {\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u_{t}(0,x)=g(x),}
ここで、f とgは D で定義される。この問題は、境界条件を満たすD のラプラシアンの固有関数でf とg を展開することによって解決できる。したがって、固有関数vは 以下を満たす。
∇ ⋅ ∇ v + λ v = 0 {\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0}
D では、
∂ v ∂ n + 1 v = 0 {\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0}
B について。
2次元空間の場合、固有関数は境界B に張られたドラムヘッドの振動モードとして解釈できます。Bが円の場合、これらの固有関数は、極角 θの三角関数に、半径方向成分の ベッセル関数 （整数次）を乗じた角度成分を持ちます。詳細はヘルムホルツ方程式 を参照してください。
境界が3次元空間における球面である場合、固有関数の角度成分は球面調和関数 であり、半径成分は半整数 次のベッセル関数 である。
1次元における非斉次波動方程式 1次元の非斉次波動方程式は u t t （ x 、 t ） − c 2 u x x （ x 、 t ） = s （ x 、 t ） {\displaystyle u_{tt}(x,t)-c^{2}u_{xx}(x,t)=s(x,t)} u （ x 、 0 ） = f （ x ） 、 {\displaystyle u(x,0)=f(x),} u t （ x 、 0 ） = g （ x ） 。 {\displaystyle u_{t}(x,0)=g(x).}
関数s ( x , t )電磁気学 のローレンツゲージ における電荷密度や電流密度 などがあります。
（上記のように初期値を与えて）初期値問題を解く方法の一つは、奇数次元空間における波動方程式の特別な性質、すなわち解が因果律を尊重するという性質を利用することです。つまり、任意の点( x i , t i )に対して、 u ( x i , t i )f ( x i + ct i )f ( x i − ct i )( x i − ct i ) と( x i + ct i ) の間の関数g ( x )の値のみに依存します。これは、上記のダランベールの公式 で確認でき、これらの量だけが公式に現れます。物理的には、最大伝播速度がc であれば、ある時点までに特定の点に到達できない波のどの部分も、同じ点と時点の振幅に影響を与えることはできません。
解を求めるという観点から、この因果律の性質は、考慮対象の線上の任意の点について、考慮する必要がある領域は、その点に因果的に影響を与える可能性のあるすべての点を含む領域のみであることを意味します。点( x i , t i )に因果的に影響を与える領域を R C ∬ R C （ c 2 u x x （ x 、 t ） − u t t （ x 、 t ） ） d x d t = ∬ R C s （ x 、 t ） d x d t 。 {\displaystyle \iint _{R_{C}}{\big (}c^{2}u_{xx}(x,t)-u_{tt}(x,t){\big )}\,dx\,dt=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.}
これを大幅に簡略化するために、グリーンの定理を 用いて左辺を簡略化すると、次のようになります。 ∫ L 0 + L 1 + L 2 （ − c 2 u x （ x 、 t ） d t − u t （ x 、 t ） d x ） = ∬ R C s （ x 、 t ） d x d t 。 {\displaystyle \int _{L_{0}+L_{1}+L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}=\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt.}
左辺は、因果関係領域の境界に沿った3つの線積分の合計となる。これらは比較的簡単に計算できることがわかる。 ∫ x 私 − c t 私 x 私 + c t 私 − u t （ x 、 0 ） d x = − ∫ x 私 − c t 私 x 私 + c t 私 g （ x ） d x 。 {\displaystyle \int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}-u_{t}(x,0)\,dx=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.}
上記では、時間に関して積分する項は、関係する時間間隔がゼロであるため消え、したがってdt = 0 と
領域の残りの2辺については、x ± ct x i ± ct i であることに注意する価値がある。ここで、符号は適切に選択されている。これを利用して、 d x ± c d t = 0 という関係式を得ることができる。ここでも、適切な符号を選択している。 ∫ L 1 （ − c 2 u x （ x 、 t ） d t − u t （ x 、 t ） d x ） = ∫ L 1 （ c u x （ x 、 t ） d x + c u t （ x 、 t ） d t ） = c ∫ L 1 d u （ x 、 t ） = c u （ x 私 、 t 私 ） − c f （ x 私 + c t 私 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{1}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=\int _{L_{1}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=c\int _{L_{1}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i}).\end{aligned}}}
そして、最後の境界セグメントについても同様です。 ∫ L 2 （ − c 2 u x （ x 、 t ） d t − u t （ x 、 t ） d x ） = − ∫ L 2 （ c u x （ x 、 t ） d x + c u t （ x 、 t ） d t ） = − c ∫ L 2 d u （ x 、 t ） = c u （ x 私 、 t 私 ） − c f （ x 私 − c t 私 ） 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{L_{2}}{\big (}{-}c^{2}u_{x}(x,t)\,dt-u_{t}(x,t)\,dx{\big )}&=-\int _{L_{2}}{\big (}cu_{x}(x,t)\,dx+cu_{t}(x,t)\,dt{\big )}\\&=-c\int _{L_{2}}\,du(x,t)\\&=cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i}).\end{aligned}}}
3つの結果を足し合わせて元の積分に戻すと、 ∬ R C s （ x 、 t ） d x d t = − ∫ x 私 − c t 私 x 私 + c t 私 g （ x ） d x + c u （ x 私 、 t 私 ） − c f （ x 私 + c t 私 ） + c u （ x 私 、 t 私 ） − c f （ x 私 − c t 私 ） = 2 c u （ x 私 、 t 私 ） − c f （ x 私 + c t 私 ） − c f （ x 私 − c t 私 ） − ∫ x 私 − c t 私 x 私 + c t 私 g （ x ） d x 。 {\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{R_{C}}s(x,t)\,dx\,dt&=-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})+cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})\\&=2cu(x_{i},t_{i})-cf(x_{i}+ct_{i})-cf(x_{i}-ct_{i})-\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx.\end{aligned}}}
u ( x i , t i )u （ x 私 、 t 私 ） = f （ x 私 + c t 私 ） + f （ x 私 − c t 私 ） 2 + 1 2 c ∫ x 私 − c t 私 x 私 + c t 私 g （ x ） d x + 1 2 c ∫ 0 t 私 ∫ x 私 − c （ t 私 − t ） x 私 + c （ t 私 − t ） s （ x 、 t ） d x d t 。 {\displaystyle u(x_{i},t_{i})={\frac {f(x_{i}+ct_{i})+f(x_{i}-ct_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int _{x_{i}-ct_{i}}^{x_{i}+ct_{i}}g(x)\,dx+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t_{i}}\int _{x_{i}-c(t_{i}-t)}^{x_{i}+c(t_{i}-t)}s(x,t)\,dx\,dt.}
一連の最後の式では、ソース関数に関する積分の範囲が明示されています。波動方程式と互換性のあるすべての選択肢( x i , t i ) に対して有効なこの解を見ると、最初の 2 つの項は、1 次元の同次波動方程式の解として上述したように、ダランベールの公式に等しいことがわかります。違いは、ソースに関する積分である第 3 項にあります。
さらなる一般化
弾性波 3次元の弾性波動方程式（ナビエ・コーシー方程式とも呼ばれる）は、 等方性 均質 弾性媒体における波の伝播を記述する。ほとんどの固体材料は弾性体であるため、この方程式は 地球 の地震波 や材料の欠陥を検出するために使用される超音波 などの現象を記述する。この方程式は線形ではあるが、縦方向と横方向の両方の運動を考慮する必要があるため、上記の方程式よりも複雑な形式をとる。 ρ u ¨ = f + （ λ + 2 μ ） ∇ （ ∇ ⋅ u ） − μ ∇ × （ ∇ × u ） 、 {\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ),}
λ とμ は、媒体の弾性特性を表すいわゆるラメ定数である。 ρ は密度であり、f u ∇ × (∇ × u ) = ∇(∇ ⋅ u ) − ∇ ⋅ ∇ u = ∇(∇ ⋅ u ) − ∆ u を用いることで、弾性波動方程式はより一般的なナビエ・コーシー方程式の形式に書き換えることができる。
弾性波動方程式では、力と変位の両方がベクトル 量であることに注意してください。そのため、この方程式はベクトル波動方程式と呼ばれることもあります。理解を助けるために、f ∇ ⋅ u を ゼロに設定すると、これは（実質的に）横波のみを含む電場 E
分散関係 分散 波現象では、波の伝播速度は波の波長によって変化し、これは分散関係によって反映される。
ω = ω （ k ） 、 {\displaystyle \omega =\omega (\mathbf {k} ),}
ここで、ω は角周波数 、k は平面波 解を表す波数ベクトル である。光波の場合、分散関係はω = ± c | k | cは可変 位相速度 に置き換えられる。
v p = ω （ k ） k 。 {\displaystyle v_{\text{p}}={\frac {\omega (k)}{k}}.}
注記 1 2 シュパイザー、デイヴィッド。『力学の原理の発見 1600–1800 』、p. 191（バーゼル：ビルクハウザー、2008）。 ↑ ティプラー、ポール、モスカ、ジーン。『科学者と技術者のための物理学、第1巻：力学、振動と波動；熱力学』 、470～471ページ （マクミラン、2004年）。 ↑ エリック・W・ワイスタイン 。「ダランベールの解決策」。マスワールド 。2009 年 1 月 21 日 に取得 。↑ D'Alembert (1747)「Recherches sur la courbe que forme unecorde tenduë misse en vibration」 (振動に設定されたとき、緊張したコードが形成する曲線に関する研究)、 Histoire de l'académie Royale des Sciences et belles lettres de Berlin 、vol. 3、p. 214～219。 参照: D'Alembert (1747) 「Suite des recherches sur la courbe que forme unecorde tenduë mise envibration」 (振動に設定されたとき、緊張したコードが形成する曲線についてさらに研究)、Histoire de l'académie Royale des Sciences et belles lettres de Berlin 、vol. 3、p. 220～249。 参照: D'Alembert (1750) 「Addition au mémoire sur la courbe que forme unecorde tenduë misse envibration」、Histoire de l'académie Royale des Sciences et belles lettres de Berlin 、vol. 6、p. 355～360。 ↑ 「1次および2次の線形波動方程式」 (PDF) . math.arizona.edu . 2017年12月15日に オリジナル (PDF) からアーカイブされました。 ↑ V. Guruprasad (2015). "距離に比例したシフトを伴う進行波モードの観測的証拠". EPL . 110 (5) 54001. arXiv : 1507.08222 . Bibcode : 2015EL....11054001G . doi : 10.1209/0295-5075/110/54001 . S2CID 42285652 . ↑ Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (2021年4月) 「球面一方向波動方程式」 . Acoustics . 3 (2): 309– 315. doi : 10.3390/acoustics3020021 . ↑ Raida, Hans-Joachim (2022年10月). 「一方向波動演算子」 . Acoustics . 4 (4): 885– 893. doi : 10.3390/acoustics4040053 . ↑ Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (2021年12月). "Factorized One-way Wave Equations" . Acoustics . 3 (4): 714– 722. doi : 10.3390/acoustics3040045 . ↑ ジャクソン、ジョン・デイビッド（1998年8月14日）。 古典電磁気学 （第3 版）。ワイリー。425 ページ 。ISBN 978-0-471-30932-1 。1 2 Barnett, Alex H. (2006 年 12 月 28 日). "波動方程式のグリーン関数" (PDF) . users.flatironinstitute.org . 2024 年 8 月 25 日 取得 . ↑ 「波動方程式のグリーン関数」 (PDF) . julian.tau.ac.il . 2024年9月3日 取得 . 1 2 Taylor, Michael E. (2023), "ラプラス方程式と波動方程式" , Taylor, Michael E. (編), 偏微分方程式 I: 基礎理論 , 応用数学科学, vol. 115, Cham: Springer International Publishing, pp. 137–205 , doi : 10.1007/978-3-031-33859-5_2 , ISBN 978-3-031-33859-5 2024年8月20日 取得1 2 3 Soodak, Harry; Tiersten, Martin S. (1993-05-01). "N次元における航跡と波" . American Journal of Physics . 61 (5): 395– 401. Bibcode : 1993AmJPh..61..395S . doi : 10.1119/1.17230 . ISSN 0002-9505 . 1 2クーラント 、 リチャード；ヒルベルト、デイヴィッド (2009)。 数理物理学の方法。2：偏微分方程式 / R. クーラント著 （第2版 ）。ヴァインハイム：Wiley-VCH。ISBN 978-0-471-50439-9 。
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![{\displaystyle {\begin{aligned}F_{\text{Hooke}}&=F_{x+2h}-F_{x}=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)]-k[u(x+h,t)-u(x,t)].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f4d4f3e46aee4d260f9bdad249d854e52f6215b)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {k}{m}}[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db4ae6c7bae9fa8d7b11d4a8e884ce0725ff48d1)
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x+h,t)={\frac {KL^{2}}{M}}{\frac {[u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t)]}{h^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85d493338551c094ced2b6e6d539ad69e796552f)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad8cead9701a68a974539667b8333914f362b7b9)
![{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]G(x+ct)=H(x+ct).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43e35b78eecddc65cd790ef0c6438337b0ee1240)
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {l(l+1)}{r^{2}}}\right]f_{l}(r)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7c3d04e77be2e0fc9e582bbf92a1e3b81af8c9)
![{\displaystyle \left[{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {d}{dr}}+k^{2}-{\frac {(l+{\frac {1}{2}})^{2}}{r^{2}}}\right]u_{l}(r)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccaf6696c68f910778c40389d5e55b1ab2cdd96)
![{\displaystyle u(t,x,y,z)=tM_{ct}[\varphi ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bedd0178e6882558f41976952da37b1d4ebffa15)
![{\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}{\big (}tM_{ct}[\varphi ]{\big )},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be9fa5c15539383bfb3d1bc146ace46235c6268c)
![{\displaystyle u(t,x,y)=tM_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint _{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )\,d\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e133130561c75cecfdccb3884614ee68819e8f23)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}g\,dS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}{\frac {1}{|\partial B_{t}(x)|}}\int _{\partial B_{t}(x)}h\,dS\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9cb9693a286a167df47269190d8f646e39a5bd6)
![{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma _{n}}}\left[\partial _{t}\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {g}{(t^{2}-|yx|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial _{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}{\frac {1}{|B_{t}(x)|}}\int _{B_{t}(x)}{\frac {h}{(t^{2}-|yx|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5820790386d503931f0a6ca3236f912e5d617a1d)
![{\displaystyle G(t,x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0^{+}}{\frac {C_{D}}{D-1}}\operatorname {Im} \left[\|x\|^{2}-(ti\epsilon )^{2}\right]^{-(D-1)/2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f231989fb034ada3bf69c573790c15ca99b4e248)
