ソースフィールド

理論物理学において、ソースは、ジュリアン・シュウィンガーによって開発された抽象的な概念であり、別の粒子の生成または破壊に関与する周囲の粒子の物理的効果に着想を得ています。^{[ 1 ]}したがって、ソースは、生成または破壊された粒子が持つ物理的性質の起源として捉えることができ、この概念を使用して、時空に局在する性質や、現象のエネルギー形態（質量と運動量）を含むすべての量子過程を研究することができます。生成または崩壊する粒子の確率振幅は、ソースが局在した時空領域に及ぼす影響によって定義され、影響を受けた粒子は、ソースのテンソル^{[ 2 ]}およびスピノール^{[ 3 ]}の性質に応じてその物理的性質を捉えます。ジュリアン・シュウィンガーが言及した例は、$\displaystyle \eta ^{*}}$5つの質量相関による中間子${\displaystyle \pi }$中間子。^{[ 4 ]}

同じ考え方は、ソースフィールドを定義する際にも使用できます。数学的には、ソースフィールドは背景フィールドです。${\displaystyle J}$元の場に結合${\displaystyle \phi }$として $${\displaystyle S_{\text{source}}=J\phi .}$$この項はリチャード・ファインマンの経路積分定式化の 作用に現れ、理論の相互作用の原因となっている。衝突反応では、衝突中の他の粒子がソースとなる可能性がある。^{[ 5 ]}したがって、ソースは理論のグリーン関数相関関数の両側から作用する真空振幅に現れる。 ^{[ 1 ]}

シュウィンガーのソース理論はシュウィンガーの量子作用原理に由来し、ソース自体に関する変化として経路積分定式化と関連付けることができる。${\displaystyle \delta J}$分野に対応${\displaystyle \phi }$すなわち^{[ 6 ]}

$${\displaystyle \delta J=\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left(-i\!\int \!d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right).}$$

また、ソースは時空のある領域で効果的に作用します^{[ 7 ]} 。以下の例でわかるように、ソース場は運動方程式（通常は2階偏微分方程式）の右辺に現れます。${\displaystyle \phi }$. フィールド${\displaystyle \phi }$はそれぞれ電磁ポテンシャルまたは計量テンソルであり、ソース場はそれぞれ電流または応力エネルギーテンソルである。^{[ 8 ] [ 9 ]}

統計的および非相対論的応用の観点から、シュウィンガーのソース定式化は多くの非平衡システムを理解する上で重要な規則を担っている。^{[ 10 ] [ 11 ]}ソース理論は、発散正則化も繰り込みも必要としないため、理論的に重要である。^{[ 5 ]}

正規化を用いたファインマンの経路積分定式化において${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv Z[J=0]}$分割関数^{[ 12 ]}は次のように与えられる。

$${\displaystyle Z[J]={\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[-i\left(\int dt~{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+\int d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right)\right].}$$

指数部の現在の項を展開すると $${\displaystyle {\mathcal {N}}\int {\mathcal {D}}\phi ~\exp \left(-i\int d^{4}x\,J(x,t)\phi (x,t)\right)={\mathcal {N}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}\int d^{4}x_{1}\cdots \int d^{4}x_{n}J(x_{1})\cdots J(x_{1})\left\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\right\rangle }$$

グリーン関数（相関関数）を生成する$${\displaystyle G(t_{1},\cdots ,t_{n})={\left(-i\right)}^{n}\left.{\frac {\delta ^{n}Z[J]}{\delta J(t_{1})\cdots \delta J(t_{n})}}\right|_{J=0},}$$ 期待値関数内のフィールド${\displaystyle \langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\rangle }$それらはハイゼンベルク描像にある。一方、高次の項の相関関数を定義することもできる。例えば、${\textstyle {\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$項、結合定数は${\displaystyle m}$時空依存ソースへと昇格する${\displaystyle \mu (x)}$そのため $${\displaystyle i{\frac {1}{\mathcal {N}}}\left.{\frac {\delta }{\delta \mu ^{2}}}Z[J,\mu ]\right|_{m^{2}=\mu ^{2}}=\left\langle {\tfrac {1}{2}}\phi ^{2}\right\rangle .}$$

量子変分法を実装して、${\displaystyle J}$外部駆動源${\displaystyle \phi }$確率論の観点からは、${\displaystyle Z[J]}$関数の期待値と見なすことができる${\displaystyle e^{J\phi }}$このことから、強制調和振動子のハミルトニアンを玩具モデルとして考える動機が生まれる。

$${\displaystyle {\mathcal {H}}=E{\hat {a}}^{\dagger }{\hat {a}}-{\frac {1}{\sqrt {2E}}}\left(J{\hat {a}}^{\dagger }+J^{*}{\hat {a}}\right)}$$どこ${\displaystyle E^{2}=m^{2}+\mathbf {p} ^{2}}$。

実際、電流は実在する、つまり${\displaystyle J=J^{*}}$[ ^{13 ]}ラグランジアン^は${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\hat {a}}^{\dagger }\partial _{0}({\hat {a}})-{\mathcal {H}}}$今後は帽子とアスタリスクは省略します。正準量子化状態を思い出してください。${\displaystyle \phi \sim (a^{\dagger }+a)}$分配関数とその相関関数の関係を考慮すると、真空振幅の変化は次のようになる。

$${\displaystyle \delta _{J}\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\rangle _{J}=i\left\langle 0,x'_{0}\right|\int _{x''_{0}}^{x'_{0}}dx_{0}~\delta J{\left(a^{\dagger }+a\right)}{\left|0,x''_{0}\right\rangle }_{J},}$$どこ${\displaystyle x_{0}'>x_{0}>x_{0}''}$。

積分は時間領域にあるため、生成/消滅演算子とともにフーリエ変換することができ、振幅は最終的に^{[ 6 ]となる。}

$${\displaystyle {\left\langle 0,x'_{0}|0,x''_{0}\right\rangle }_{J}=\exp {\left({\frac {i}{2\pi }}\int df~J(f){\frac {1}{f-E}}J(-f)\right)}.}$$

特異点が存在することは容易に気づくことができる。${\displaystyle f=E}$そうすれば、${\displaystyle i\varepsilon }$処方箋と極の移動${\displaystyle f-E+i\varepsilon }$そのため、${\displaystyle x_{0}>x_{0}'}$グリーンの機能が明らかになる

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left\langle 0|0\right\rangle }_{J}=\exp {\left({\frac {i}{2}}\int dx_{0}\,dx'_{0}\,J(x_{0})\Delta (x_{0}-x'_{0})J(x'_{0})\right)}\\[1ex]&\Delta (x_{0}-x'_{0})=\int {\frac {df}{2\pi }}{\frac {e^{-if\left(x_{0}-x'_{0}\right)}}{f-E+i\varepsilon }}\end{aligned}}}$$

最後の結果は、相互作用するスカラー場に対するシュウィンガーのソース理論であり、任意の時空領域に一般化できる。^{[ 7 ]}以下で議論する例は、計量に従う。${\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(1,-1,-1,-1)}$。

因果摂動理論は、弱い発生源がどのように作用するかを説明する。スピン0の粒子を放出する弱い発生源の場合${\displaystyle J_{e}}$真空状態に確率振幅で作用することによって${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J_{e}}\sim 1}$運動量を持つ単一の粒子${\displaystyle p}$振幅${\displaystyle \langle p|0\rangle _{J_{e}}}$特定の時空領域内で生成される${\displaystyle x'}$そして、別の弱い情報源${\displaystyle J_{a}}$別の時空領域にその単一粒子を吸収する${\displaystyle x}$振幅が${\displaystyle \langle 0|p\rangle _{J_{a}}}$^{[ 5 ]}したがって、完全な真空振幅は次のように与えられる。

$${\displaystyle {\left\langle 0|0\right\rangle }_{J_{e}+J_{a}}\sim 1+{\frac {i}{2}}\int dx\,dx'\,J_{a}(x)\Delta (x-x')J_{e}(x')}$$

どこ${\displaystyle \Delta (x-x')}$はソースのプロパゲーター（相関関数）です。最後の振幅の第2項は、自由スカラー場理論の分配関数を定義します。また、ある相互作用理論では、スカラー場のラグランジアンは次のようになります。${\displaystyle \phi }$電流に結合${\displaystyle J}$^{[ 14 ]}で与えられる

$${\displaystyle {\mathcal {L}}={\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\tfrac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+J\phi .}$$

追加すると${\displaystyle -i\varepsilon }$質量項にフーリエ変換すると、${\displaystyle J}$そして${\displaystyle \phi }$運動量空間では、真空振幅は次のようになる。

$${\displaystyle \langle 0|0\rangle =\exp {\left({\frac {i}{2}}\int {\frac {d^{4}p}{{\left(2\pi \right)}^{4}}}\left[{\tilde {\phi }}(p)\left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}(-p)+J(p){\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon }}J(-p)\right]\right)},}$$

どこ$${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)=\phi (p)+{\frac {J(p)}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon }}.}$$容易に気づくことができるのは、${\displaystyle {\tilde {\phi }}(p)\left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}(-p)}$上記の振幅の項はフーリエ変換すると次のようになる。${\displaystyle {\tilde {\phi }}(x)\left(\Box +m^{2}\right){\tilde {\phi }}(x)={\tilde {\phi }}(x)\,J(x)}$すなわち、運動方程式${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right){\tilde {\phi }}=J}$自由作用の変動として、項の変動${\textstyle {\frac {1}{2}}\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}}$運動方程式が得られるので、グリーン関数を演算子の逆関数として再定義することができる。${\textstyle G(x_{1},x_{2})\equiv {\left(\Box +m^{2}\right)}^{-1}}$そのため${\displaystyle \left(\Box _{x_{1}}+m^{2}\right)G(x_{1},x_{2})=\delta (x_{1}-x_{2})}$かつその場合に限り${\textstyle \left(p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}\right)G(p)=1}$これは、機能的誘導体の一般的な役割を直接応用したものである。${\displaystyle {\frac {\delta J(x_{2})}{\delta J(x_{1})}}=\delta (x_{1}-x_{2})}$したがって、生成汎関数は、以下のように分配関数から得られます。^{[ 8 ]}最後の結果から、分配関数を次のように読み取ることができます。${\textstyle Z[J]=Z[0]\exp \left({\tfrac {i}{2}}\left\langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\right\rangle \right)}$、 どこ$${\displaystyle Z[0]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\,\exp \left(-i\int dt\left[{\tfrac {1}{2}}\partial _{\mu }{\tilde {\phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\phi }}-{\tfrac {1}{2}}\left(m^{2}-i\varepsilon \right){\tilde {\phi }}^{2}\right]\right),}$$そして${\displaystyle \langle J(y)\Delta (y-y')J(y')\rangle }$は、ソースから得られる真空振幅です。${\displaystyle \langle 0|0\rangle _{J}}$したがって、プロパゲーターは、以下のように分割関数を変化させることによって定義されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\left.{\frac {-1}{Z[0]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(x')}}\right\vert }_{J=0}&={\frac {-1}{2Z[0]}}{\frac {\delta }{\delta J(x)}}{\left[Z[J]\left(\int d^{4}y'\,\Delta (x'-y')J(y')+\int d^{4}y\,J(y)\Delta (y-x')\right)\right]}_{J=0}\\[1.5ex]&={\left.{\frac {Z[J]}{Z[0]}}\Delta (x-x')\right\vert }_{J=0}\\[1.5ex]&=\Delta (x-x').\end{aligned}}}$$

このことから、以下では平均場近似について議論する。

シュウィンガーのソース理論に基づいて、スティーブン・ワインバーグは物理学者の間で広く評価されている有効場理論の基礎を確立した。「靴事件」にもかかわらず、ワインバーグはこの理論的枠組みのきっかけを作った功績をシュウィンガーに帰した。^{[ 15 ]}

すべてのグリーン関数は、ソース場の関数として考えられる分割和のテイラー展開によって形式的に求めることができます。この方法は、量子場理論の経路積分定式化で一般的に使用されています。量子力学、統計力学、およびその他のシステムの両方でプロパゲーターを得るためにこのようなソース場を利用する一般的な方法は、次のように概説されます。ウィック回転振幅の観点から分割関数を再定義すると、${\displaystyle W[J]=-i\ln(\langle 0|0\rangle _{J})}$分割関数は次のようになる${\displaystyle Z[J]=e^{iW[J]}}$紹介することができます${\displaystyle F[J]=iW[J]}$これは熱場理論におけるヘルムホルツ自由エネルギーとして振る舞い、^{[ 16 ]}複素数を吸収し、したがって${\displaystyle \ln Z[J]=F[J]}$. 機能${\displaystyle F[J]}$これは縮約量子作用とも呼ばれます。^{[ 17 ]}また、ルジャンドル変換の助けを借りて、「新しい」有効エネルギー汎関数^{[ 18 ]}、または有効作用を考案することができます。

$${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-\int d^{4}x\,J(x){\bar {\phi }}(x),}$$変換^{[ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\delta W}{\delta J}}={\bar {\phi }}~,&&{\frac {\delta W}{\delta J}}{\Bigg |}_{J=0}=\langle \phi \rangle ~,\\[1.2ex]&{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{J}=-J~,&&{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}{\Bigg |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=0.\end{aligned}}}$$

有効作用の定義における積分は、以下の和に置き換えることができる。${\displaystyle \phi }$つまり、${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]=W[J]-J_{a}(x){\bar {\phi }}^{a}(x)}$[ ^{20 ]}最後の式は熱力学的関係に似て^いる${\displaystyle F=E-TS}$ヘルムホルツ自由エネルギーとエントロピーの間。熱場理論と統計場理論は、根本的に関数積分と関数微分から生じることが明らかになった。ルジャンドル変換に戻ると、

の${\displaystyle \langle \phi \rangle }$明らかに平均場と呼ばれるのは、${\displaystyle \langle \phi \rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi ~e^{-i[\int dt~{\mathcal {L}}(t;\phi ,{\dot {\phi }})+\int dx^{4}J(x,t)\phi (x,t)]}~\phi ~}{Z[J]/{\mathcal {N}}}}}$、 その間${\displaystyle {\bar {\phi }}}$は背景となる古典場である。^{[ 17 ]}場${\displaystyle \phi }$古典的な部分に分解される${\displaystyle {\bar {\phi }}}$および変動部分${\displaystyle \eta }$つまり、${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\eta }$真空振幅は次のように再導入できます。

$${\displaystyle e^{i\Gamma [{\bar {\phi }}]}={\mathcal {N}}\int \exp \left[i\left(S[\phi ]-{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}\eta \right)\right]d\phi ,}$$

およびあらゆる機能${\displaystyle {\mathcal {F}}[\phi ]}$は次のように定義される。

$${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}[\phi ]\rangle =e^{-i\Gamma [{\bar {\phi }}]}~{\mathcal {N}}\int {\mathcal {F}}[\phi ]\exp \left[i\left(S[\phi ]-{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}}}\eta \right)\right]d\phi ,}$$

どこ${\displaystyle S[\phi ]}$は自由ラグランジアンの作用です。最後の 2 つの積分は、あらゆる有効場理論の柱です。^{[ 20 ]}この構成は、散乱 ( LSZ 縮小公式)、自発的対称性の破れ、^{[ 19 ] [ 21 ]}ワード恒等式、非線形シグマモデル、および低エネルギー有効理論の研究に不可欠です。^{[ 16 ]}さらに、この理論的枠組みは、主にシュウィンガーの博士課程の学生であったブライス・デウィットによって公表された、量子重力の正準量子化有効理論の開発に関する一連の思考の出発点となります。^{[ 22 ]}

アクションのグリーン機能に戻ります。${\displaystyle \Gamma [{\bar {\phi }}]}$はルジャンドル変換です${\displaystyle F[J]}$、 そして${\displaystyle F[J]}$N個の点が接続された相関器を定義する${\displaystyle G_{F[J]}^{N,~c}={\frac {\delta F[J]}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{N})}}{\Big |}_{J=0}}$すると、対応する相関関数は${\displaystyle F[J]}$頂点関数として知られる は、次のように与えられる。${\displaystyle G_{\Gamma [J]}^{N,~c}=\left.{\frac {\delta \Gamma [{\bar {\phi }}]}{\delta {\bar {\phi }}(x_{1})\cdots \delta {\bar {\phi }}(x_{N})}}\right|_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }}$したがって、1粒子既約グラフ（通常1PIと略記される）では、連結2点${\displaystyle F}$-相関関数は2点相関関数の逆数として定義される。${\displaystyle \Gamma }$-相関係数、つまり通常の縮小相関係数は${\displaystyle G_{F[J]}^{(2)}={\frac {\delta {\bar {\phi }}(x_{1})}{\delta J(x_{2})}}{\Big |}_{J=0}={\frac {1}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}}}$、そして有効相関は${\displaystyle G_{\Gamma [\phi ]}^{(2)}={\frac {\delta J(x_{1})}{\delta {\bar {\phi }}(x_{2})}}{\Big |}_{{\bar {\phi }}=\langle \phi \rangle }=p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}}$。 のために${\displaystyle J_{i}=J(x_{i})}$接続されたN点間の最も一般的な関係${\displaystyle F[J]}$そして${\displaystyle Z[J]}$ファ・ディ・ブルーノの公式から得られます

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\delta ^{N}F}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}Z[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta Z[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&-{\Big \{}{\frac {1}{Z^{2}[J]}}{\frac {\delta ^{2}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}Z[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {1}{Z^{3}[J]}}{\frac {\delta ^{3}Z[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}Z[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}-\cdots \end{aligned}}}$$

そして

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{Z[J]}}{\frac {\delta ^{N}Z[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}=&{\frac {\delta ^{N}F[J]}{\delta J_{1}\cdots \delta J_{N}}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta ^{N-1}F[J]}{\delta J_{2}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{1}}}{\frac {\delta F[J]}{\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \\&+{\Big \{}{\frac {\delta ^{2}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}}}{\frac {\delta ^{N-2}F[J]}{\delta J_{3}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+{\Big \{}{\frac {\delta ^{3}F[J]}{\delta J_{1}\delta J_{2}\delta J_{3}}}{\frac {\delta ^{N-3}F[J]}{\delta J_{4}\cdots \delta J_{N}}}+{\text{perm}}{\Big \}}+\cdots \end{aligned}}}$$