毛細管波

毛細管波は流体の相境界に沿って伝わる波であり、そのダイナミクスと位相速度は表面張力の影響によって左右されます。

表面張力波は自然界では一般的で、しばしば波紋と呼ばれます。水面上の表面張力波の波長は通常数センチメートル未満で、位相速度は 0.2～0.3 メートル/秒を超えます。

流体界面の波長が長くなると、表面張力と重力の両方の影響と流体の慣性によって影響を受ける重力波が発生します。通常の重力波はさらに長い波長を持ちます。

外洋で弱い風によって発生する波は、海事用語で猫の手波と呼ばれます。このような小さな波紋を巻き起こす微風は、猫の手波と呼ばれることもあります。外洋では、風によって発生した小さな波紋が合体して 、はるかに大きな海面波(波とうねり) が発生することがあります。

分散関係は、波の波長と周波数の関係を表します。表面張力の影響が完全に支配する純粋な表面張力波と、重力の影響も受ける重力表面張力波を区別できます。

表面張力波の分散関係は

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}\,|k|^{3},}$

ここで、は角周波数、表面張力、重い流体の密度、軽い流体の密度、波数です。波長は、 流体 と真空（自由表面）の境界では、分散関係は次のように簡略化されます 。${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}}.}$

${\displaystyle \omega^{2}={\frac{\sigma}{\rho}}\,|k|^{3}.}$

表面張力波が重力の影響も大きく受ける場合、重力表面張力波と呼ばれる。その分散関係は、無限深度の2つの流体間の界面における波の場合、次のようになる。^{[1] [2]}

${\displaystyle \omega ^{2}=|k|\left({\frac {\rho -\rho '}{\rho +\rho '}}g+{\frac {\sigma }{\rho +\rho '}}k^{2}\right),}$

ここで、は重力加速度、は2つの流体の密度です。最初の項の係数はアトウッド数です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \rho '}$${\displaystyle (\rho >\rho ')}$${\displaystyle (\rho -\rho ')/(\rho +\rho ')}$

波長が大きい場合（ が小さい場合）、最初の項のみが関係し、重力波になります。この制限では、波の群速度は位相速度の半分になります。つまり、グループ内の単一の波の波頭を追って、波がグループの後ろに現れ、成長して最終的にグループの前部で消えることがわかります。 ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

より短い（大きい）波（例えば、水と空気の界面では 2 mm）は、適切な毛細管波であり、その逆の動作をします。つまり、個々の波がグループの先頭に現れ、グループの中心に向かって移動しながら大きくなり、最終的にグループの後部で消えます。この制限では、位相速度はグループ速度の 3 分の 2 になります。 ${\displaystyle k}$

これら 2 つの限界の間には、重力による分散が毛細管効果による分散を打ち消す点があります。特定の波長では、群速度は位相速度に等しくなり、分散はありません。まさにこの同じ波長で、重力毛細管波の位相速度は波長 (または波数) の関数として最小になります。この臨界波長よりもはるかに短い波長の波は表面張力によって支配され、はるかに長い波長の波は重力によって支配されます。この波長の値とそれに関連する最小位相速度は次のとおりです。^[1]${\displaystyle \lambda_{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

${\displaystyle \lambda _{m}=2\pi {\sqrt {\frac {\sigma }{(\rho -\rho ')g}}}\quad {\text{および}}\quad c_{m}={\sqrt {\frac {2{\sqrt {(\rho -\rho ')g\sigma }}}{\rho +\rho '}}}.}$

空気と水の界面では1.7cm（0.67インチ）、速度は0.23m/s（0.75フィート/秒）であることがわかりました。^[1]${\displaystyle \lambda_{m}}$${\displaystyle c_{m}}$

小さな石や液滴を液体の中に落とすと、波は静止した流体の拡大円の外側に伝播します。この円は最小群速度に対応するコースティックです。 ^[3]

リチャード・ファインマンは「誰でも簡単に見ることができ、初等教育で波の例としてよく使われる[水の波]は、最悪の例である[...]。波が持つ可能性のあるすべての複雑さを持っている。」と述べています。 ^[4]したがって、一般的な分散関係の導出は非常に複雑です。^[5]

エネルギーへの寄与は、重力、表面張力、流体力学の 3 つがあります。最初の 2 つは位置エネルギーで、と の出現から明らかなように、括弧内の 2 つの項の原因です。重力については、流体の密度が一定 (つまり、非圧縮性) であると仮定し、同様に(波は重力が著しく変化するほど高くない) であると仮定します。表面張力については、平面性からの偏差 (表面の導関数で測定) は小さいと想定します。一般的な波については、両方の近似で十分です。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle g}$

3 番目の寄与は、流体の運動エネルギーに関係します。これは最も複雑で、流体力学の枠組みを必要とします。ここでも非圧縮性が関係します (これは、波の速度が媒体内の音速よりもはるかに遅い場合に満たされます)。また、流れは非回転であり、その場合流れは位置的です。これらは、一般的な状況では通常、適切な近似値でもあります。

結果として得られるポテンシャルの方程式 (ラプラス方程式) は、適切な境界条件で解くことができます。一方では、速度は表面よりかなり下で消えなければなりません (「深海」の場合、これは私たちが検討しているケースです。そうでない場合は、より複雑な結果が得られます。海洋表面波を参照してください)。他方では、その垂直成分は表面の動きに一致する必要があります。この寄与は 、括弧の外側の余分な の原因となり、 の低い値と高い値の両方ですべての領域が分散的になります(2 つの分散が打ち消される 1 つの値の周辺を除く)。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$

• 毛細管現象
• 分散（水波）
• 海面波
• 熱表面波
• 二相流
• 波状の波紋

• 
  アメンボが作る水面の波紋
• 
  湖の水面に微風が波紋を呼ぶ

• Longuet-Higgins, MS (1963). 「急勾配重力波による毛細管波の発生」。流体力学ジャーナル。16 (1): 138–159。Bibcode : 1963JFM ....16..138L。doi : 10.1017 /S0022112063000641。ISSN 1469-7645。S2CID  119740891  。
• ラム、H. (1994)。流体力学（第6版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-45868-9。
• フィリップス、OM (1977)。上層海洋のダイナミクス（第2版）。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-29801-6。
• Dingemans, MW (1997)。不均一な底部における水波の伝播。海洋工学上級シリーズ。第 13 巻。World Scientific、シンガポール。第 2 部、967 ページ。ISBN 981-02-0427-2。
• サフラン、サミュエル (1994)。表面、界面、膜の統計熱力学。アディソン・ウェズリー。
• Tufillaro, NB; Ramshankar, R.; Gollub, JP (1989). 「毛細管波紋における秩序-無秩序遷移」. Physical Review Letters . 62 (4): 422–425. Bibcode :1989PhRvL..62..422T. doi :10.1103/PhysRevLett.62.422. PMID  10040229.

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• sklogwiki の毛細管波エントリ