脱臼

材料科学において、転位またはテイラー転位は、結晶構造内の線状の結晶学的欠陥または不規則性であり、原子の配置が急激に変化する。転位の動きにより、低応力レベルで原子が互いに滑ることができ、すべりまたは滑りとして知られている。すべり転位の両側で結晶秩序は回復されるが、片側の原子は1つ位置移動する。部分的な転位では結晶秩序は完全には回復しない。転位は、材料の滑り領域と滑りのない領域の境界を定義し、その結果、完全なループを形成するか、他の転位または欠陥と交差するか、結晶の端まで延びる必要がある。^{[1] [2]転位は、}バーガースベクトルによって定義される、原子に引き起こす移動の距離と方向によって特徴付けられる。材料の塑性変形は、多くの転位の生成と移動によって発生する。転位の数と配置は、材料の多くの特性に影響を及ぼします。

転位には主に2つの種類があり、動かない転位である固着転位と、動く滑動転位である。^[3]固着転位の例としては、階段状転位やロマー・コットレル接合がある。動く転位の主な2つの種類は、刃状転位とらせん転位である。

刃状転位は、結晶の中央にある原子の面が終端することによって生じるものとして考えることができます。このような場合、周囲の面は直線ではなく、終端面の端の周りで曲がっているため、結晶構造はどちらの側でも完全に整列しています。この現象は、紙の束の中に半分の紙を挿入した場合、その束の欠陥は半分の紙の端でのみ目立ちます。

欠陥の弾性場を記述する理論は、もともと1907 年にVito Volterraによって開発されました。1934 年に、 Egon Orowan、Michael Polanyi、およびGI Taylor は、当時の理論的予測と比較して塑性変形を生じることが観察された低い応力は、転位の理論によって説明できると提案しました。

欠陥の弾性場を記述する理論は、もともと1907年にヴィト・ヴォルテラによって開発されました。 ^[4]原子スケールの欠陥を指す「転位」という用語は、1934年にGIテイラーによって造られました。 ^[5]

1930 年代以前、材料科学における永続的な課題の 1 つは、可塑性を微視的な観点から説明することでした。完全な結晶において隣接する原子面が互いに滑り合うせん断応力を計算する単純な試みでは、せん断弾性率の材料の場合、せん断強度はおおよそ次の式で与えられることが示唆されています。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \tau_{m}}$

${\displaystyle \tau_{m}={\frac{G}{2\pi}}.}$

金属のせん断弾性率は通常 20,000 ～ 150,000 MPa の範囲内にあり、予測されるせん断応力は 3,000 ～ 24,000 MPa です。これを 0.5 ～ 10 MPa の範囲の測定されたせん断応力と一致させることは困難でした。

1934 年、エゴン・オロワン、マイケル・ポラニー、GI テイラーはそれぞれ独立して、塑性変形は転位の理論で説明できると提唱しました。転位は、周囲の平面の 1 つにある原子が結合を切断し、終端の原子と再結合すると移動します。実際には、せん断応力に応じて、1 列 (または数列) の結合を 1 つずつ切断して再形成することで、原子の半平面が移動します。結合の列を切断するために必要なエネルギーは、原子の平面全体のすべての結合を一度に切断するために必要なエネルギーよりもはるかに小さいです。転位を移動させるために必要な力のこの単純なモデルでさえ、完全な結晶よりもはるかに低い応力で塑性が可能であることを表しています。多くの材料、特に延性材料では、転位が塑性変形の「キャリア」であり、転位を移動させるために必要なエネルギーは、材料を破壊するために必要なエネルギーよりも小さいです。

転位は結晶構造内の線状の結晶学的欠陥または不規則性であり、原子の配置が突然変化する。転位の両側では結晶秩序が回復するが、片側の原子は移動または滑り落ちている。転位は、物質の滑り領域と滑り落ちていない領域の境界を定義し、格子内で終わることはできず、自由端まで伸びるか、結晶内でループを形成する必要がある。^[1]転位は、格子内の原子に生じる移動距離と方向によって特徴付けられ、バーガースベクトルと呼ばれる。転位のバーガースベクトルは、転位の形状が変わっても一定のままである。^[要出典]

転位にはさまざまな種類があり、可動転位は滑動転位と呼ばれ、不動転位は静止転位と呼ばれます。可動転位の動きにより、低応力レベルで原子が互いに滑ることができ、滑りまたはスリップとして知られています。転位の動きは、結晶内の他の元素の存在によって促進または阻害される場合があり、時間の経過とともに、これらの元素が転位に拡散してコットレル雰囲気を形成する場合があります。これらの元素による固定と離脱により、鋼に見られる異常な降伏挙動の一部が説明されます。水素と転位の相互作用は、水素脆化を説明するために提案されているメカニズムの 1 つです。^[要出典]

転位は結晶材料内で別個の実体であるかのように振る舞い、ある種の転位は材料内を移動して曲がったり、屈曲したり、形状を変えたり、結晶内の他の転位や特徴と相互作用したりします。転位は金属などの結晶材料を変形させることで生成され、特に応力集中部の表面や材料内部の欠陥や粒界から転位が発生します。転位の数と配置によって、延性、硬度、降伏強度など、金属の多くの特性が決まります。熱処理、合金含有量、冷間加工によって転位の数と配置が変化し、転位がどのように移動して相互作用するかが変わり、有用な特性が生まれます。^[要出典]

金属が冷間加工（材料の絶対融点に比べて比較的低い温度、つまり通常は 未満での変形）を受けると、新しい転位の形成により転位密度が増加します。その結果、隣接する転位のひずみ場の重なりが増加するため、転位のさらなる動きに対する抵抗が徐々に増加します。これにより、変形が進むにつれて金属が硬化します。この効果は、ひずみ硬化または加工硬化として知られています。 ${\displaystyle T_{m}}$${\displaystyle 0.4T_{m}}$

材料内の 転位密度は、次の関係により塑性変形によって増加します。${\displaystyle \rho}$

${\displaystyle \tau \propto {\sqrt {\rho }}}$。

転位密度は塑性変形によって増加するため、材料内で転位を生成するメカニズムが活性化される必要があります。転位形成の 3 つのメカニズムは、均質核生成、粒界開始、格子と表面、析出物、分散相、または強化繊維との界面です。

均質核生成による転位の生成は、格子内の線に沿った原子結合の破壊の結果である。格子内の平面が剪断され、2 つの反対向きの半平面または転位が生じる。これらの転位は、格子を通って互いに離れる方向へ移動する。均質核生成は完全な結晶から転位を形成し、多くの結合を同時に破壊する必要があるため、均質核生成に必要なエネルギーは高い。たとえば、銅の均質核生成に必要な応力は であることがわかっている。ここで、は銅の剪断弾性率 (46 GPa) である。 を解くと、必要な応力は 3.4 GPa であることがわかる。これは、結晶の理論的な強度に非常に近い。したがって、従来の変形では、均質核生成には集中応力が必要であり、起こる可能性は非常に低い。粒界開始と界面相互作用は、転位のより一般的な発生源である。 ${\displaystyle {\frac {\tau _{\text{hom}}}{G}}=7.4\times 10^{-2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \tau _{\text{hom}}\,\!}$

材料の粒界の不規則性により転位が生じ、それが粒内に伝播することがあります。粒界の段差や突起は、塑性変形の初期段階で転位が発生する重要な原因となります。

フランク・リード源は、転位の固定された部分から転位の流れを生成できるメカニズムです。応力により転位部分が曲がり、転位ループが形成されて源から離れるまで拡大します。

結晶の表面は、結晶に転位を生じさせる可能性があります。ほとんどの結晶の表面には小さな段差があるため、表面の一部の領域における応力は、格子内の平均応力よりもはるかに大きくなります。この応力が転位につながります。転位は、その後、粒界の開始と同じ方法で格子内に伝播します。単結晶では、転位の大部分は表面で形成されます。材料の表面から 200 マイクロメートルのところにある転位密度は、バルク内の密度の 6 倍であることがわかっています。ただし、多結晶材料では、ほとんどの粒子が表面に接触していないため、表面ソースは大きな影響を及ぼしません。

金属と酸化物の界面では、転位の発生数が大幅に増加する可能性があります。酸化物層は、酸素原子が格子に押し込まれ、圧縮されているため、金属表面に張力をかけます。これにより、金属表面の応力が大幅に増加し、その結果、表面に形成される転位の量が増加します。表面段差の応力が増加すると、界面から形成され放出される転位が増加します。^[6]

転位は、2 つの結晶間の界面にも形成され、残ることがあります。これは、2 つの結晶の格子間隔が一致せず、界面で格子の不整合が生じる場合に発生します。格子の不整合によって生じる応力は、規則的な間隔の不整合転位を形成することによって解放されます。不整合転位は、転位線が界面にあり、バーガース ベクトルが界面法線の方向にある刃状転位です。不整合転位を含む界面は、たとえば基板上のエピタキシャル結晶成長の結果として形成されることがあります。 ^[7]

転位ループは、高エネルギー放射線による損傷で形成されることがある。^{[8] [9]}柱状転位ループは、余分な（または欠けている）原子の崩壊した円盤として理解でき、格子間原子または空孔が密集したときに形成される可能性がある。これは、単一または複数の衝突カスケードの結果として直接発生する可能性があり、^[10]その結果、格子間原子と空孔の密度が局所的に高くなります。ほとんどの金属では、柱状転位ループは、エネルギー的に最も好ましい自己格子間原子のクラスターです。

幾何学的に必要な転位とは、結晶材料の限られた程度の塑性曲げに対応できる転位の配置です。転位の絡み合いは変形の初期段階で見られ、明確に定義されていない境界として現れます。動的回復のプロセスにより、最終的には 15° 未満の方位差を持つ境界 (低角粒界) を含むセル構造が形成されます。

合金元素など、転位の動きを抑制する固定点を追加すると、固定応力を克服して転位の動きを継続するためにより高い応力を加える必要があり、最終的に材料を強化する応力場が生じる可能性があります。

転位の蓄積によるひずみ硬化の影響と、高ひずみで形成された結晶構造は、材料の 回復とその後の再結晶を促進する適切な熱処理（アニーリング）によって除去できます。

加工硬化と焼鈍処理を組み合わせた処理技術により、転位密度、転位の絡み合いの程度、そして最終的には材料の 降伏強度を制御できます。

材料を繰り返しサイクルさせると、転位が比較的少ない領域に囲まれて生成され、集積することがあります。このパターンは、永続的滑り帯（PSB）として知られる梯子のような構造を形成します。^[11] PSBは、研磨で除去しても、サイクルを繰り返すと同じ場所に金属の表面に跡を残すため、このように呼ばれています。

PSB壁は主に刃状転位で構成されています。壁の間では、塑性はらせん転位によって伝達されます。^[11]

PSBが表面と接する部分には押し出しや侵入が形成され、繰り返しの荷重を受けると疲労亀裂の発生につながる可能性がある。^[12]

転位は、転位線とバーガースベクトルの両方を含む平面、いわゆるすべり面を滑ることができます。^[13]らせん転位の場合、転位線とバーガースベクトルは平行であるため、転位は転位を含むどの平面でも滑ることができます。刃状転位の場合、転位とバーガースベクトルは垂直であるため、転位が滑ることができる平面は1つあります。

転位上昇は、刃状転位が滑り面から外れる転位運動の代替メカニズムです。転位上昇の原動力は、結晶格子を通る空孔の移動です。刃状転位を形成する余分な原子の半平面の境界の隣を空孔が移動すると、半平面内の空孔に最も近い原子がジャンプして空孔を埋めることができます。この原子の移動により、空孔が原子の半平面に沿って移動し、転位の移動、つまり正の上昇が起こります。原子の半平面の境界で空孔が生成されるのではなく吸収されるプロセスは、負の上昇として知られています。転位上昇は個々の原子が空孔にジャンプすることによって発生するため、上昇は単一の原子直径の増分で発生します。

正の上昇中は、半平面から原子が除去されるため、結晶は追加の原子の半平面に垂直な方向に収縮します。負の上昇では半平面に原子が追加されるため、結晶は半平面に垂直な方向に成長します。したがって、半平面に垂直な方向の圧縮応力は正の上昇を促進し、引張応力は負の上昇を促進します。これは、滑りと上昇の主な違いの 1 つです。滑りはせん断応力によってのみ発生します。

転位の滑りと上昇のもう 1 つの違いは、温度依存性です。上昇は、空孔の動きが増加するため、低温よりも高温でより急速に発生します。一方、滑りは温度にほとんど依存しません。

転位雪崩は、複数の転位が同時に動くときに発生します。

転位速度はせん断応力と温度に大きく依存し、多くの場合、べき乗関数を使用して近似することができます。^[14]

${\displaystyle v=A\tau ^{m}}$

ここで、は材料定数、は適用されるせん断応力、は温度の上昇とともに減少する定数です。せん断応力が増加すると転位速度が増加し、温度が上昇すると通常は転位速度が減少します。高温でフォノン散乱が大きくなると、転位の動きを遅くする減衰力が増加すると考えられています。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle m}$

可動転位には、エッジ転位とスクリュー転位の 2 つの主な種類があります。実際の材料で見つかる転位は通常、混合転位であり、両方の特性を備えています。

結晶質材料は、格子面に配置された規則的な原子配列で構成されています。刃状転位は、結晶の途中で余分な半原子面が導入され、近くの原子面を歪ませる欠陥です。結晶構造の片側から十分な力がかかると、この余分な面は原子面を通過し、原子との結合を切断したり結合したりしながら、結晶粒界に到達します。転位には、余分な半面の底部に沿った方向である線方向と、格子の歪みの大きさと方向を表すバーガース ベクトルという 2 つの特性があります。刃状転位では、バーガース ベクトルは線方向に垂直です。

刃状転位によって生じる応力は、その固有の非対称性のために複雑である。これらの応力は3つの式で記述される：^[15]

${\displaystyle \sigma _{xx}={\frac {-\mu \mathbf {b} }{2\pi (1-\nu )}}{\frac {y(3x^{2}+y^{ 2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle \sigma _{yy}={\frac {\mu \mathbf {b} }{2\pi (1-\nu )}}{\frac {y(x^{2}-y^{2 })}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{xy}={\frac {\mu \mathbf {b} }{2\pi (1-\nu )}}{\frac {x(x^{2}-y^{2 })}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}}$

ここで、は材料のせん断弾性係数、はバーガースベクトル、はポアソン比、および は座標です。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

これらの方程式は、転位の周囲に垂直方向の応力ダンベルが存在することを示唆しており、余分な面の近くの原子は圧縮を受け、欠けている面の近くの原子は張力を受ける。^[15]

らせん転位は、結晶を平面に沿って切断し、格子ベクトルによって片方の半分をもう一方の半分に滑り込ませると、欠陥を残さずに半分が元通りにぴったりと合うことで視覚化できます。切断が結晶の途中までで、その後滑った場合、切断の境界がらせん転位です。これは、結晶格子の原子面によって線状欠陥（転位線）の周囲にらせん状の経路が描かれる構造で構成されます。純粋ならせん転位では、バーガースベクトルは線の方向と平行です。 ^[16] らせん転位の配列は、ねじれ境界と呼ばれるものを引き起こす可能性があります。ねじれ境界では、材料内のらせん転位の累積効果により、隣接する結晶粒間のずれが発生します。これらの転位は、隣接する粒子間の回転方向のずれを引き起こし、境界に沿ってねじれのような変形を引き起こします。ねじれ境界は、材料の機械的および電気的特性に大きな影響を与え、粒界滑り、クリープ、破壊挙動などの現象に影響を与える可能性があります^[17] らせん転位によって発生する応力は刃状転位の応力よりも複雑ではなく、対称性により1つの半径座標を使用できるため、1つの方程式のみが必要です。^[15]

${\displaystyle \tau _{r}={\frac {-\mu \mathbf {b} }{2\pi r}}}$

ここで、は材料のせん断弾性率、はバーガースベクトル、 はラジアル座標です。この式は、長い円筒状の応力が円筒から外側に放射状に広がり、距離とともに減少することを示唆しています。この単純なモデルでは、転位のコアの値が で無限大になるため、転位のコアの外側の応力に対してのみ有効です。^{[15]バーガースベクトルが非常に大きい場合、コアは実際には空であり、}シリコンカーバイドでよく見られるマイクロパイプになります。 ${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=0}$

多くの材料では、線方向とバーガース ベクトルが垂直でも平行でもない場所に転位が見つかります。これらの転位は混合転位と呼ばれ、らせん状と刃状の両方の性質を持ちます。混合転位は、線方向とバーガース ベクトルの間の角度によって特徴付けられます 。ここで、純粋な刃状転位の場合は 、 らせん状転位の場合は です。 ${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \varphi =\pi /2}$${\displaystyle \varphi =0}$

部分転位は積層欠陥を残す。部分転位には、定着性のフランク部分転位と滑動性のショックレー部分転位の2種類がある。 ^[3]

フランク部分転位は、{111}面上の原子層を挿入または除去することによって形成され、その後フランク部分転位によって境界が定められる。密に詰まった層の除去は固有積層欠陥と呼ばれ、層の挿入は外在積層欠陥と呼ばれる。バーガースベクトルは{111}すべり面に対して垂直であるため、転位はすべることができず、登り方向のみで移動することができる。^[1]

格子全体のエネルギーを下げるために、刃状転位とらせん転位は通常、2つのショックレー部分転位によって囲まれた積層欠陥に解離します。 ^[18]この積層欠陥領域の幅は、材料の積層欠陥エネルギーに比例します。この複合効果は拡張転位として知られ、ユニットとして滑ることができます。ただし、解離したらせん転位は、交差滑りを行う前に再結合する必要があり、これらの転位が障壁を回避するのは困難です。積層欠陥エネルギーの低い材料は、転位の解離が最も大きいため、冷間加工が容易です。

異なる{111}面にある2つのすべり転位がショックレー転位に分裂して交差すると、頂点にロマー・コットレル転位を持つ階段ロッド転位が発生します。 ^[19]これは階段でカーペットを固定するロッドに似ているため、 階段ロッドと呼ばれています。

ジョグとは、結晶構造のすべり面にない転位線の段差のことである。^[18]転位線は一様に真っ直ぐなことはめったになく、多くの場合、ピンポイントまたは核形成点として作用して、転位の動きを妨げたり促進したりする多くの曲線と段差を含む。ジョグはすべり面から外れているため、せん断下ではすべり（すべり面に沿った動き）によって動くことができない。代わりに、空孔拡散によって促進される上昇を利用して格子内を移動する必要がある。^[20]材料の融点から離れると、空孔拡散はゆっくりとしたプロセスであるため、ほとんどの金属では、ジョグは室温では動かない障壁として機能する。^[21]

ジョグは通常、2つの非平行転位が滑り中に交差するときに形成されます。材料にジョグが存在すると、転位の容易な滑りを防ぐことで降伏強度が増加します。転位内の動かないジョグのペアは、せん断下でフランク・リード源として機能し、材料の全体的な転位密度を増加させます。^{[21]材料の降伏強度が転位密度の増加によって増加した場合、特に機械的な作業によって行われた場合、それは}加工硬化と呼ばれます。高温では、空孔によって促進されたジョグの移動は非常に速いプロセスになり、転位の移動を阻止する全体的な効果が低下します。

キンクは、すべり面と平行な転位線の段差です。ジョグとは異なり、キンクは転位運動の核生成点として機能してすべりを促進します。核生成点からキンクが横方向に広がることで、一度に数個の原子しか動かさずに転位が前方に伝播し、すべりに対する全体的なエネルギー障壁が減少します。

2次元 (2D) では、2D結晶の溶融に中心的な役割を果たす刃状転位のみが存在し、らせん転位は存在しません。これらの転位は位相的な点欠陥であり、六方晶を無限遠まで (または少なくとも境界まで) 切断せずにアフィン変換で孤立して作成することはできないことを意味します。転位は、反平行バーガースベクトルを持つペアでのみ作成できます。多くの転位が、たとえば熱励起されると、結晶の離散的な並進秩序が破壊されます。同時に、剪断弾性率とヤング率が消失し、これは結晶が流体相に溶融していることを意味します。配向秩序はまだ破壊されておらず (一方向の格子線で示されるように)、液晶に非常によく似た、典型的には6倍のディレクターフィールドを持つ流体相が見られます。このいわゆる六次相には、依然として配向剛性があります。転位が孤立した5回および7回回折に解離すると、等方性流体相が出現する。^{[22]この2段階溶融は}、コスターリッツ・サウレス型転移の2つの段階に基づく、いわゆるコスターリッツ・サウレス・ハルペリン・ネルソン・ヤング理論（KTHNY理論）で説明される。

透過型電子顕微鏡は、材料の微細構造内の転位を観察するために使用できます。 ^[23] 材料の薄い箔を準備して、顕微鏡の電子ビームを透過させます。電子ビームは規則的な結晶格子面によって回折されて回折パターンになり、この回折によって（厚さの変化、さまざまな歪み、その他のメカニズムによっても）画像にコントラストが生成されます。転位は局所的な原子構造が異なり、歪み場を生成するため、顕微鏡内の電子はさまざまな方法で散乱します。図では、転位線が材料の厚さを通過するときに特徴的な「波打つ」コントラストが見られます（転位は結晶内で終わることはなく、画像は2D投影であるため、これらの転位は表面で終わっています）。

転位はランダムな構造を持たず、転位の局所的な原子構造はバーガース ベクトルによって決定されます。転位イメージングにおける TEM の非常に有用な用途の 1 つは、バーガース ベクトルを実験的に決定できることです。バーガース ベクトルの決定は、(「g ドット b」) 分析と呼ばれる方法で行われます。^{[24] TEM で}暗視野顕微鏡検査を実行する場合、回折スポットを選択してイメージを形成し (前述のように、格子面はビームをスポットに回折します)、その回折スポットの原因となる面によって回折された電子のみを使用してイメージを形成します。透過スポットから回折スポットまでの回折パターンのベクトルがベクトルです。転位のコントラストは、このベクトルとバーガース ベクトル ( ) のドット積の係数によってスケーリングされます。その結果、バーガース ベクトルとベクトルが垂直であれば、転位からの信号はなく、転位はイメージにまったく表示されません。したがって、異なる g ベクトルを持つスポットから形成された異なる暗視野画像を調べることによって、バーガース ベクトルを決定することができます。 ${\displaystyle {\vec {g}}\cdot {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {g}}}$${\displaystyle {\vec {g}}\cdot {\vec {b}}}$${\displaystyle {\vec {g}}}$

電界イオン顕微鏡法と原子プローブ法は、はるかに高い倍率（通常 300 万倍以上）を実現し、原子レベルでの転位の観察を可能にする方法を提供します。表面起伏を原子段のレベルまで分解できる場合、らせん転位は特徴的な螺旋状の特徴として現れます。これにより、結晶成長の重要なメカニズムが明らかになります。表面段差がある場合、原子は結晶に簡単に追加され、らせん転位に関連する表面段差は、追加される原子の数に関係なく破壊されることはありません。

転位線が金属材料の表面と交差すると、関連するひずみ場によって材料の酸エッチングに対する相対的な感受性が局所的に高まり、規則的な幾何学的形状のエッチピットが生じます。このようにして、たとえばシリコンの転位は、干渉顕微鏡を使用して間接的に観察できます。転位に関連するエッチピットの形状によって結晶の向きを判断できます。

材料を変形し、繰り返し再エッチングすると、問題の転位の動きを効果的に追跡する一連のエッチピットが生成されます。

結晶格子への外部応力の結果としての転位運動は、転位線に垂直に作用する仮想内部力を使用して記述できます。ピーチ-ケーラー方程式^{[25] [26] [27]}は、バーガースベクトル、応力、およびセンスベクトルの関数として、転位にかかる単位長さあたりの力を計算するために使用できます。 ${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {b} \cdot \sigma )\times \mathbf {s} }$

転位の単位長さあたりの力は、応力の一般状態、およびセンスベクトル、の関数です。 ${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {s} }$

${\displaystyle \mathbf {f} =\mathbf {F} \times \mathbf {s} ={\begin{vmatrix}{\hat {\imath }}&{\hat {\jmath }}&{\hat {k}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\\s_{x}&s_{y}&s_{z}\end{vmatrix}}}$

応力場の成分は、バーガースベクトル、法線応力、およびせん断応力から得ることができます。 ${\displaystyle \sigma}$${\displaystyle \tau}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=b_{x}\sigma _{xx}+b_{y}\tau _{xy}+b_{z}\tau _{xz}\\F_{y}&=b_{x}\tau _{yx}+b_{y}\sigma _{yy}+b_{z}\tau _{yz}\\F_{z}&=b_{x}\tau _{zx}+b_{y}\tau _{zy}+b_{z}\sigma _{zz}\end{aligned}}}$

転位間の力は、転位の相互作用のエネルギーから導き出すことができます。これは、選択した軸に平行に切断面を移動させることによって行われる仕事で、別の変位の応力場に 1 つの転位を作成します。および方向の場合: ${\displaystyle U_{\rm {int}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\rm {int}}&=\int _{x}^{\infty }(b_{x}\tau _{xy}+b_{y}\sigma _{yy}+b_{z}\sigma _{zy})\,dx\\U_{\rm {int}}&=\int _{y}^{\infty }(b_{x}\sigma _{xx}+b_{y}\tau _{yx}+b_{z}\sigma _{zx})\,dy\end{aligned}}}$

次に導関数を取ることによって力を求めます。

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{x}&=-{\frac {\partial U_{\rm {int}}}{\partial x}}\\F_{y}&=-{\frac {\partial U_{\rm {int}}}{\partial y}}\end{aligned}}}$

転位は、ひずみエネルギーが低いため、自由表面に向かって移動する傾向があります。この架空の力は、成分がゼロのらせん転位の場合、次のように表すことができます。 ${\displaystyle y}$

${\displaystyle F_{x}=b\tau _{zy}=-{\frac {Gb^{2}}{4\pi d}}}$

ここで、は方向の自由表面からの距離です。刃状転位の力は次のように表すことができます。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=0}$

${\displaystyle F_{x}=b\tau _{xy}=-{\frac {Gb^{2}}{4\pi (1-\nu )d}}}$

• 結晶の欠陥/ヘルムート・フェル教授のウェブサイト 第 5 章には転位に関する豊富な情報が含まれています。
• DoITPoMS 転位に関するオンラインチュートリアル（バブルラフト内の転位の動画を含む）
• 刃状転位とらせん転位の違い 刃状転位とらせん転位の違いの詳細。
• 走査型トンネル顕微鏡 - ギャラリー オーストリア、ウィーン工科大学物理学部の表面物理学グループによる、金属表面の原子レベルで観察された転位ページを含む画像ギャラリー。
• ヴォルテラ、V.、「多重連結体の平衡について」、DHデルフェニッチ訳
• ソミリアーナ、C.、「弾性変形の理論について」、DHデルフェニッチ訳