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二切頂立方ハニカムは、ユークリッド 3 次元空間における、切頂八面体(または二切頂立方体)で構成された空間充填モザイク(またはハニカム) です。各頂点の周りには 4 つの切頂八面体があります。完全に切頂八面体で構成されているため、セル推移的です。また、各辺に 2 つの六角形と 1 つの正方形があり、辺推移的であり、頂点推移的です。28 個の均一なハニカムのうちの 1 つです。
ジョン・ホートン・コンウェイは、彼の著書『建築と反射光学的モザイク分割リスト』の中で、このハニカムを切頂八面体と呼び、その双対を扁平四面体、あるいは二蝶形四面体ハニカムと呼んでいます。正四面体だけでは空間をモザイク状に分割できませんが、この双対には二等辺三角形の面 を持つ同一の二蝶形四面体セルがあります。
幾何学
これは、体心立方格子のボロノイ分割として実現できます。ケルビン卿は、二切立方ハニカムの変形(曲面と辺を持ち、同じ組み合わせ構造) が最適なシャボン玉の泡であると推測しました。しかし、その後、より対称性の低い構造の方がより効率的なシャボン玉の泡であることがわかり、その中でもウィア・フェラン構造が最も優れているようです。
ハニカムは、3 次元空間の順列八面体分割を表します。1 つの八面体の頂点の座標は、4 次元空間の整数の超平面、具体的には (1,2,3,4) の順列を表します。分割は、超平面内の平行移動されたコピーによって形成されます。
このモザイク分割は、3 次元空間における 平行面体の最も高度なモザイク分割です。
予測
二面切頂立方ハニカムは、さまざまな対称配置でユークリッド平面に直交投影できます。最も高い (六角形の) 対称形式は、不均一な菱形三六角形のタイルに投影されます。正方形対称投影は、重なり合った 2 つの切頂正方形のタイルを形成し、面取りされた正方形のタイルとして結合します。
対称
このハニカムの頂点図形は二面体四面体であり、コクセター群のグルサ四面体（基本領域）でもあります。このハニカムには 4 つの均一な構成があり、切頂八面体セルは異なるコクセター群とウィトフ構成を持ちます。これらの均一な対称性は、各構成のセルを異なる色で表示することで表すことができます。
関連する多面体とハニカム
[4,3,4]、
コクセター群は、一様なタイル張りの 15 通りの順列を生成し、そのうち 9 通りは交互立方ハニカムを含む異なる形状をしています。拡張立方ハニカム (ランシネーテッド テッセラティック ハニカムとも呼ばれる) は、立方ハニカムと形状的に同一です。
[4,3 1,1 ]、
コクセター群は、一様なタイル張りの 9 つの順列を生成します。そのうち 4 つは、交互立方ハニカムを含む異なる形状を持ちます。
このハニカムは、コクセターグループによって構築された5つの異なる均一なハニカム[1]のうちの1つです。この対称性は、コクセター-ディンキン図のリングの対称性と掛け合わせることができます。
代替形式
このハニカムは交互に配置することができ、切頂八面体から黄鉄鉱二十面体を作成し、隙間に二面体四面体セルを作成します。3 つの関連するCoxeter-Dynkin 図から 3 つの構成があります。
、
、 そして
これらはそれぞれ対称性[4,3 + ,4]、[4,(3 1,1 ) + ]、[3 [4] ] +を持ちます。最初の対称性と最後の対称性は、[[4,3 + ,4]]と[[3 [4] ]] +と2倍になります。
二重ハニカムは、ダイヤモンド十面体と呼ばれるセルで構成されています。
このハニカム構造はα菱面体結晶のホウ素原子で表現される。二十面体の中心は格子のfcc位置に位置する。[2]
関連する多面体
[4,3,4]対称性と2種類の切頂八面体を持つ不均一な変種は、2種類の切頂八面体を配置することで2倍になり、切頂八面体と六角柱（二角台形柱）を持つ不均一なハニカムを生成することができる。その頂点図形は、 C 2v対称の三角両錐体である。
このハニカムを交互に重ねると、黄銅面体二十面体、八面体（三角形の裏柱として）、四面体（蝶形として）からなる不均一なハニカムが作られます。その頂点図形はC 2v対称性を持ち、2 つの五角形、4 つの長方形、4 つの二等辺三角形（2 つずつ 2 セットに分割）、および 4 つの不等辺三角形で構成されます。
参照
ウィキメディア・コモンズには、 Bitruncated cubic honeycombに関連するメディアがあります。
注記
- ^ [1]、A000029 6-1 の場合、マークがゼロの場合は 1 つスキップ
- ^ ウィリアムズ、1979年、199ページ、図5-38。
参考文献
- John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss、(2008) The Symmetries of Things、ISBN 978-1-56881-220-5 (第 21 章、アルキメデスとカタロニアの多面体とタイルの命名、建築的および反射的モザイク、p 292-298、すべての非プリズム形状を含む)
- ジョージ・オルシェフスキー、均一な全倍数体テトラコーム、原稿 (2006) (11 個の凸均一タイリング、28 個の凸均一ハニカム、および 143 個の凸均一テトラコームの完全なリスト)
- Branko Grünbaum、「3次元空間の均一タイリング」、Geombinatorics 4(1994)、49 - 56。
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [2]
- (論文 22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 一様空間充填)
- A. Andreini、Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (多面体の正則および半正則ネットおよび対応する相関ネットについて)、Mem.イタリア科学協会、Ser.3、14 (1905) 75–129。
- Klitzing、Richard。「3D ユークリッド ハニカム o4x3x4o - バッチ - O16」。
- 3 スペースの均一なハニカム: 05 バッチ
- ウィリアムズ、ロバート(1979)。自然構造の幾何学的基礎: デザインのソースブック。Dover Publications、Inc. ISBN 0-486-23729-X。
外部リンク
- Weisstein、Eric W.「空間充填多面体」。MathWorld。